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2.3 一元二次方程的应用 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．2022年底，新冠疫情持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有441人感染，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程
A． B．
C． D．
2．如图，学校课外小组的试验园地是长20米、宽15米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为252平方米，设小道宽为米，根据题意，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
3．随着国内疫情防控政策的不断优化，全国各地已逐步放开，市场的口罩需求量也在逐渐增加．某口罩厂9月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量增大，11月份的产量增加到121万只，则该厂10，11月份的口罩产量的月平均增长率为
A． B． C． D．
4．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了，另一边减少了，剩余面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为
A． B． C． D．
5．某型号的手机经过连续两次降价后，每部售价由原来的2185元降到1580元，若设平均每次降价的百分率为，则可列出正确的方程是
A． B．
C． D．
6．下列方程中，有实数根的是
A． B． C． D．．
7．某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价
A．10元 B．15元 C．20元 D．25元
8．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，利用“降次法”解决下面的问题：已知，，且，则的值为
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
9．2022年10月16日上午，举世瞩目的中共二十大召开．非凡十年、沧桑巨变．我国人均从约3.6万元增加到8.1万元（新华网）．假如每一个5年里人均增长率不变，则人均增长率约为多少？设人均增长率为，根据题意可列方程 ．
10．有一个人患了流感，两轮传染后共有121人患了流感，则平均每人传染 人．
11．关于的方程的解是 ．
12．如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇宽的门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ．
三．解答题（共3小题）
13．如图，在宽为长为的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为．若设路宽为，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
14．把一根长8米的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形面积的和等于2平方米，应该怎么剪？
（2）这两个正方形面积的和可能等于平方米吗？请说明理由．
15．滑雪运动是一种有氧运动，能锻炼人的意志，增强人体的平衡能力，锻炼协调能力，增强心肺功能，振奋低落的情绪，大众参与度也逐年增高．丰都南天湖滑雪场推出了一种滑雪套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买4张套票的费用比现场购买2张套票的费用多80元，从网上购买点2张套票的费用和现场购买3张套票的费用共520元．
（1）求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元；
（2）2023年元旦当天，该滑雪场按各自的价格在网上和现场售出的总票数为300张．元旦刚过，玩滑雪的人数下降，于是该滑雪场决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发现现场购票每降价2元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加6张，经统计，1月3日的总票数中有通过现场售出，其余均由网上平台售出，且当天该滑雪场的总销售额为29700元．请问该滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了多少元？
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2.3 一元二次方程的应用 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．2022年底，新冠疫情持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有441人感染，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程
A． B．
C． D．
解：第1轮传染后共有人感染，
第2轮传染后共有人感染，
，
故选：．
2．如图，学校课外小组的试验园地是长20米、宽15米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为252平方米，设小道宽为米，根据题意，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
解：根据题意知：小道的宽为米，则
，
故选：．
3．随着国内疫情防控政策的不断优化，全国各地已逐步放开，市场的口罩需求量也在逐渐增加．某口罩厂9月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量增大，11月份的产量增加到121万只，则该厂10，11月份的口罩产量的月平均增长率为
A． B． C． D．
解：设11月份的口罩产量的月平均增长率为，由题意，得：，
解得：或（舍掉），
该厂10，11月份的口罩产量的月平均增长率为；
故选：．
4．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了，另一边减少了，剩余面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为
A． B． C． D．
解：设原正方形的边长为，依题意有
，
解得：，（不合题意，舍去），
即：原正方形的边长．
故选：．
5．某型号的手机经过连续两次降价后，每部售价由原来的2185元降到1580元，若设平均每次降价的百分率为，则可列出正确的方程是
A． B．
C． D．
解：设平均每次降价的百分率为，由题意得．
故选：．
6．下列方程中，有实数根的是
A． B． C． D．．
解：．，
△，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
．，
方程两边都乘，得，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
．，
算术平方根是非负数，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
．，
，
，
即方程有实数根，故本选项符合题意；
故选：．
7．某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价
A．10元 B．15元 C．20元 D．25元
解：设每件衬衫应降价元．
根据题意得：，
整理，得，
解得，，
题目要求扩大销售量，减少库存，
应略去，
取．
故选：．
8．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，利用“降次法”解决下面的问题：已知，，且，则的值为
A． B． C． D．
解：，
，
，
，
解得或，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．2022年10月16日上午，举世瞩目的中共二十大召开．非凡十年、沧桑巨变．我国人均从约3.6万元增加到8.1万元（新华网）．假如每一个5年里人均增长率不变，则人均增长率约为多少？设人均增长率为，根据题意可列方程 ．
解：依题意得：．
故答案为：．
10．有一个人患了流感，两轮传染后共有121人患了流感，则平均每人传染 10 人．
解：设平均每人传染个人，
由题意得：，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
答：平均每人传染10人．
故答案为：10．
11．关于的方程的解是 ．
解：，
或，
方程两边平方得：或，
解得：或，
经检验是原方程的解，不是原方程的解，
所以原方程的解是，
故答案为：．
12．如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇宽的门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 8 ．
解：设所围矩形与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
，
所围矩形与墙垂直的一边长为．
故答案为：8．
三．解答题（共3小题）
13．如图，在宽为长为的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为．若设路宽为，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
解：设路宽为，
则耕地的长应该为，宽应该为；
根据面积公式可得：．
整理得出：．
14．把一根长8米的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形面积的和等于2平方米，应该怎么剪？
（2）这两个正方形面积的和可能等于平方米吗？请说明理由．
解：（1）设剪成的一段为米，则另一段就为米，
由题意得，
解得：．
答：剪成的一段为4米，则另一段就为4米；
（2）设剪成的一段为米，则另一段就为米，
由题意得，
变形为：，
解得：，舍去，，舍去，
即：这两个正方形面积的和不可能等于．
15．滑雪运动是一种有氧运动，能锻炼人的意志，增强人体的平衡能力，锻炼协调能力，增强心肺功能，振奋低落的情绪，大众参与度也逐年增高．丰都南天湖滑雪场推出了一种滑雪套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买4张套票的费用比现场购买2张套票的费用多80元，从网上购买点2张套票的费用和现场购买3张套票的费用共520元．
（1）求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元；
（2）2023年元旦当天，该滑雪场按各自的价格在网上和现场售出的总票数为300张．元旦刚过，玩滑雪的人数下降，于是该滑雪场决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发现现场购票每降价2元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加6张，经统计，1月3日的总票数中有通过现场售出，其余均由网上平台售出，且当天该滑雪场的总销售额为29700元．请问该滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了多少元？
解：（1）设网上购买套票的价格为元，现场购买套票的价格为元，
由题意得：，
解得：，
答：网上购买套票的价格为80元，现场购买套票的价格为120元；
（2）设滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了元，会多卖出张套票，
依题意得：，
整理得：，
解得：或（不合题意舍去），
，
答：滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了10元．
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