2.4一元二次方程根与系数的关系 同步练习（含解析）

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浙教版（2012）八年级数学下册 同步练习
2.4一元二次方程根与系数的关系
一、选择题
1．若方程的两个实数根为，，则的值为 （ ）
A．12 B．3 C．7 D．4
2．下列一元二次方程中，两根积为2的是 （　　）
A． B．
C． D．
3．若，是一元二次方程的两个实根，则的值是 （ ）
A．1 B．11 C．19 D．29
4．一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是 （　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有两个正的实数根
5．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为 （ ）
A．6 B． C．8 D．
二、填空题
6．已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为________.
7．已知，，且，则______．
8．为一元二次方程的两根，则______．
9．已知关于x的一元二次方程，若方程的两根之和等于两根之积，则k的值为____
10．关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是 _____．
三、解答题
11．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，求的值．
12．已知、是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围：
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求m的值．
14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断是否是“倍根方程”．
(2)若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值．
15．阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
【材料2】
已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为 ；
(2)间接应用：
已知实数，满足：，且，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案.
【解析】解：∵方程的两个实数根为，，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握根与系数关系的内容是解题的关键.
2．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行求解即可．
【解析】解：A、∵，
∴，
∴此方程无实数根，不符合题意；
B、∵，
∴，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴两根之积为2，符合题意；
C、∵，
∴，
∴此方程有两个相等的实数根，
∴两根之积为，不符合题意；
D、∵，
∴，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴两根之积为，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
3．C
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合即可求出答案．
【解析】解：∵，是一元二次方程的两个实根，
∴，，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记：“一元二次方程的两个实数根为，那么，”是解本题关键．
4．C
【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据判断根的符号情况．
【解析】∵，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵，
∴两根异号，
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后代入求解即可．
【解析】解：∵一元二次方程即的两根分别为，，
∴，，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
6．
【分析】由关于的一元二次方程的一个根为，设方程另一个根为，则根据一元二次方程根与系数的关系，得到，解方程即可得到，从而得到答案．
【解析】解：设方程另一个根为，
关于的一元二次方程的一个根为，
，解得，
它的另一个根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记若一元二次方程有两个实数根，则是解决问题的关键．
7．
【分析】已知，，且，则a，b就是方程的两根，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
【解析】解：根据题意得：a，b就是方程的两根
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程中根与系数之间的关系，正确理解a，b就是方程的两根是解决本题的关键．
8．##
【分析】由根与系数关系得到和的值，代入即可得到答案．
【解析】解：∵为一元二次方程的两根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
9．
【分析】设方程的两根为，根据根的判别式得到，解得，根据根与系数的关系得到，则，可解得，然后根据的取值范围可确定满足条件的的值．
【解析】解∶设方程的两根为，
根据题意得，解得，
方程的两根之和等于两根之积，
，
，
而，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系∶若方程两个为，则．也考查了一元二次方程根的判别式．
10．6
【分析】根据根与系数的关系得到，根据得到， ，推出，根据推出，代入，推出的最大值是6．
【解析】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根、，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
，
∵，
∴当时，有最大值6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值．
11．
【分析】已知一元二次方程两实数根，根据韦达定理可知，，且，由此即可求出两个实数根，代入一元二次方程即可求解．
【解析】解：∵一元二次方程两实数根，且，，，
∴，，
∵，
∵，
∴，则，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理求一元二次方程两个根的关系是解题的关键．
12．的值为1.
【分析】由题意先根据根与系数的关系得到，，再变形已知条件得到，解得，然后根据判别式的意义确定k的值．
【解析】解：由已知定理得：，，
∴，
即，解得：，
当时，△=，
∴舍去；
当时， △=，
∴的值为1．
【点睛】本题考查根与系数的关系与根的判别式，注意掌握若、是一元二次方程的两根时，．
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，代入已知等式中，求出m值即可．
【解析】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）∵，是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
14．(1)是
(2)26或5
(3)13或
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断；
（2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义，然后把代入所求的代数式中进行分式的运算即可；
（3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值．
【解析】（1），
，
，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2），
或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为，
根据根与系数的关系得 ，
解得 或，
∴m的值为13或．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力．
15．(1)x1，x2，x3，x4；
(2)．
【分析】（1）利用换元法解方程，设y＝x2，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，解关于y的方程得到y1＝2，y2＝3，则x2＝2或x2＝3，然后分别解两个元二次方程即可；
（2）根据已知条件，把a2、b2看作方程2x2﹣7x+1＝0的两不相等的实数根，然后根据根与系数的关系求解．
【解析】（1）解：，
设，则原方程可化为，
解得，，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
所以原方程的解为，，，．
故答案为：，，，；
（2）解：实数，满足：，且，
、可看作方程的两不相等的实数根，
，；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用“换元法”把高次方程转化为一元二次方程，韦达定理，完全平方公式，其中转化思想是解决问题的关键．
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