第2章一元二次方程 单元测试卷（含解析）

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浙教版（2012）八年级数学下册 同步练习
第2章 一元二次方程
时间：100分 总分120分
1、 选择题（每题3分，共24分）
1．下列是一元二次方程的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．如果关于的一元二次方程有一个根是2，那么c的值是 （ ）
A． B．－4 C．2 D．－2
3．下列方程中有两个相等实数根的是 （　　）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程配方后可变形为 （ ）
A． B． C． D．
5．金山银山不如绿水青山，绿水青山就是金山银山，为了绿化荒山，某地区政府提出了森林覆盖计划．已知2020年该地区森林覆盖率已达到，若要在2022年使该地区荒山的森林覆盖率达到．设从2020年起该地区荒山的森林覆盖率的年平均增长率为，则可列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知a是方程的一个解，则的值为 （ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
7．已知关于x的多项式的最大值为7，则m的值可能是 （　　）
A．2 B．4 C．3 D．5
8．已知正数x，y满足方程，求 （ ）
A． B． C．0 D．1
二、填空题（每题3分，共24分）
9．一元二次方程的一次项系数是______．
10．若是方程的两个根，则的值是___________.
11．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为______．
12．如果关于的一元二次方程的根的判别式的值为，那么 ____．
13．已知实数a、b满足，则的值为______．
14．已知某等腰三角形的底边长为5，而腰长是方程的根，那么该等腰三角形的周长是___________．
15．对于任意实数，定义一种运算：，若，则的值为______．
16．已知关于的一元二次方程的两根为、，则方程的两根为__________．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．若是一元二次方程的一个根，求的值和方程的另一个根．
19．已知是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)求的取值范围；
(2)已知等腰的一边长为，若恰好是另外两边的边长，求的值和的周长．
20．我们定义一种新的运算符号“”：，如：．
(1)若，求x的值； (2)若，求x的值．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
22．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，的面积为？
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么的面积能否为？并说明理由．
23．某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品，经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0．1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的倍．
(1)当每个纪念品定价为元时，每天可卖出________件，日销售利润为_______元：
(2)若每个纪念品售价上涨m元，商店每天能卖出__________件；（用含m的代数式表示）
(3)如果商店要实现每天800元的销售利润，求每件纪念品的售价．
24．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式；
(2)若可配方成（m，n为常数），求mn的值；
(3)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．
25．在平面直角坐标系中，过原点O及点、作矩形OABC，的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，求当t为多少秒时，为直角三角形．
参考答案：
1．A
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.根据定义判断即可．
【解析】A．只有一个未知数，且未知数最高次数为2，属于一元二次方程，故符合题意；
B．有两个未知数，不属于一元二次方程，故不符题意；
C．化简得：，是一元一次方程，故不符合题意；
D．最高次为-2次，不属于一元二次方程，故不符合题意．
故选A
【点睛】本题考查一元二次方程的判定，掌握定义是判断依据．
2．A
【分析】把代入方程，即可求出c．
【解析】解：∵关于的一元二次方程有一个根是2，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的定义是解题关键．
3．A
【分析】根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式可求出各方程的根的判别式的值，根据当时，方程有两个相等的实数根即可得出结论．
【解析】A．∵，，，
∴，
∴方程有两个相等实数根，故选项符合题意；
B．∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
C．∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意；
D．∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根”是解题的关键．
4．A
【分析】先移项得到，再配方得到，整理得到，即可得出答案．
【解析】解：
移项得
配方得
即
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方的要领是“在二次项系数为1时，一元二次方程两边同时加上一次项系数一半的平方”，能正确进行配方是解题的关键．
5．D
【分析】根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可．
【解析】解：设从2020年起该地区荒山的森林覆盖率的年平均增长率为，由题意，得：
；
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键．
6．A
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，变形得到，，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解析】解：由题意得：，
∴，，
∴原式．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形能力．
7．A
【分析】将多项式配方后解答即可．
【解析】解：，
因为关于的多项式的最大值为7，
所以，
解得：，
所以可能为2．
故选：A．
【点睛】此题考查配方法的运用，关键是将多项式配方后解答．
8．C
【分析】由，得出x和的值，再代入求解即可．
【解析】解：解方程得：，（舍），
解方程得：，（舍），
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是求出x和的值．
9．
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫一次项，系数是，可直接得到答案．
【解析】一元二次方程，
∵一次项是未知数次数是1的项，
∴一次项是，
∴一次项系数是，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握确定一次项系数，需要注意符号问题．
10．1
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【解析】解：∵是方程的两个根，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若是一元二次方程的两个根，则：和．
11．
【分析】利用整体思想设，得到方程，再根据即可得到的值，最后得出结论．
【解析】解：∵在中，设
∴
∵有一个根
∴在中
∴即在中，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．
12．##0.75
【分析】先根据根的判别式得出关于m的一元一次方程，再解方程即可．
【解析】解：由题意得：，
解得
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次方程，熟练运用根的判别式列出方程是关键．
13．3
【分析】把看作为一个整体，再利用因式分解法解答，即可求解．
【解析】解：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，利用整体思想解答是解题的关键．
14．11
【分析】先求出方程的解，再分类讨论即可．
【解析】∵，
∴，
∴，，
当时，，故不成立；
当时，，此时等腰三角形的周长为；
故答案为11．
【点睛】本题考查了因式分解法解方程何求等腰三角形的周长，腰长必须满足两边之和大于第三边．
15．或##或
【解析】解：∵
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
解得：；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根据新定义列出方程是解题的关键．
16．
【分析】因为方程的两个根为和，所以方程可以化为为，得出，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根．
【解析】解：∵关于的一元二次方程的两根为、，
∴，
整理得，
∴
解得：，
∴方程为，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，求得是解题的关键．
17．(1)或
(2)或
【分析】（1）用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方式，右边是常数，即可求解；
（2）用提公因式法解方程，方程左边可以提取公因式，即可分解，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解．
【解析】（1）解：
或
（2）解：
或
或
【点睛】本题考查了解一元二次方程；解题的关键是掌握配方法和提取公因式法解一元二次方程的步骤．
18．，另一根为
【分析】把代入方程，求出，再把的值代入方程，求出方程的解即可．
【解析】解：将代入原方程得：
解得
所以原方程为
解得
所以方程的另一根为
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和方程的解法，能求出的值是解此题的关键．
19．(1)
(2)，
【分析】（1）根据判别式的意义可得；
（2）分类讨论：若时，把代入方程得，求得m的长，再利用根与系数的关系判断是否符合题意，将不符合的舍去，则可求出答案.
【解析】（1）根据题意得，解得；
（2）当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，
当时，，解得，则三角形周长为；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，三边长为其周长为，
综上所述，m的值是，这个三角形的周长为或或．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
20．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用题中的新定义列方程即可求出x值；
（2）利用题中的新定义列方程即可求出x值．
【解析】（1）解：，
，
解得，．
（2）解：，
解得，
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行计算，得出，即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据，代入进行计算即可求解．
【解析】（1）解：在关于x的一元二次方程中，
，
，
，
，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∴，
即，
解得．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
22．(1)秒后，的面积为
(2)的面积不能为，理由见解析
【分析】（1）设运动时间为，则根据题意可知，，根据三角形面积公式列式求解即可；
（2）根据题意得出，整理运用根的判别式判断即可．
【解析】（1）解：设运动t秒后，的面积为，
由题意得，，
∴，
∵的面积为，，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴秒后，的面积为；
（2）解：的面积不能为，理由如下：
由（1）得，
整理得：，
则，
∴方程无解，
∴的面积不能为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解本题的关键．
23．(1)440，704
(2)
(3)每件纪念品的售价为4元
【分析】（1）（2）根据所给的数量与售价的关系进行列式计算即可；
（3）根据利润（售价进价）数量列出方程求出m的值即可得到答案．
【解析】（1）解：件，
∴当每个纪念品定价为元时，每天可卖出440件，
元，
∴日销售利润为704元，
故答案为：440，704；
（2）解：由题意得，每个纪念品售价上涨m元，商店每天能卖出件，
故答案为：；
（3）解：由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵纪念品售价不能超过批发价的倍，
∴，即，
∴，
元，
∴每件纪念品的售价为4元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用，列代数式等等，正确理解题意列出对应的式子和方程是解题的关键．
24．(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据“完美数”的定义，进行求解即可；
（2）利用配方法将转化为：，进而得到：的值，再进行计算即可；
（3）将S转化为：的形式，进而求出k值即可．
【解析】（1）解：；
（2）解：，
∴，
∴；
（3）解：
；
∵S为“完美数”，
∴，
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用．理解并掌握“完美数”的定义，是解题的关键．
25．，或
【分析】根据运动特点先求出，，，即有，，；再根据直角三角形的特点，分类三种情况讨论即可作答．
【解析】根据运动特点可得：，，
∴，
∵射线OD是的平分线，
∴OD也是第一象限的角平分线，
∵第一象限的角平分线的点的横纵坐标相等，
∵点P从点O出发射线OD方向移动，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据矩形的性质易得，
则；；；
当为直角三角形时，
时，，
解得；(舍去)；
时，，
解得：，
时，
解得：(舍去)，
综上，，或秒时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握两点之间的距离公式，一元二次方程的解法，直角三角形的判定是解题的关键．
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