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4.5三角形的中位线 （巩固训练）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【同步测控】
基础自测
1.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=6，则DE等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2. 三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为………………( )
A. 6. 5cm B. 24cm C 26cm D. 52cm
3. 如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=…………………………………（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 50°
4.如图，若D，E分别是AB，AC中点，现测得DE的长为20米，则池塘的宽BC是 米.
5.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是__ ___.
6.在四边形ABCD中，AC=4cm，BD=4.5cm，分别是边的中点，则四边形EFGH的周长为 .
7. 如图，F、G、D、E分别为AD、AE、AB、AC的中点，△AGF的周长是10，则△ABC的周长是_______.
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=6，求四边形DEFG的周长.
9.如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长.
10. 如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点. 求证：四边形DFGE是平行四边形.
能力提升
11. 如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，…依次类推，第2009个三角形的周长为………………………………………( )
A. B. C. D.
12.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是………（ ）
A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关
13.如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP于点P. 若AB=12，AC=22，则MP的长为………（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
14. 如图，□ABCD中，AD=8cm点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动(分别运动到点D，C即停止)，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H. 则在此运动过程中，线段GH 的长始终等于 .
解析：连结EF，由题设显然AE与BF平行且相等，即四边形ABFE是平行四边形，得AG=FG，同理FH=DH，于是GH=AD=4cm.
答案：4cm
15. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：EF和GH互相平分.
16. 已知△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，连结CE并延长交AB于点F，请你先用刻度尺量一下线段AF与BF，它们之间有什么数量关系 并说明理由.
创新应用
17. 已知：如图l，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M，N.
(1)求证：FG=(AB+BC+AC).
(2)若①BD、CE分别是△ABC的内角平分线(如图2)；②BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系 请写出你的猜想(不用证明).
参考答案
【同步测控】
基础自测
∴DEBC.
又∵F，G分别是OB，OC的中点，∴FGBC.
∴DEFG，∴四边形DFGE是平行四边形.
能力提升
11. 如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，…依次类推，第2009个三角形的周长为………………………………………( )
A. B. C. D.
解析：由已知易得：第1个三角形的周长为1，第2个三角形的周长为，第3个三角形的
14. 如图，□ABCD中，AD=8cm点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动(分别运动到点D，C即停止)，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H. 则在此运动过程中，线段GH 的长始终等于 .
解析：连结EF，由题设显然AE与BF平行且相等，即四边形ABFE是平行四边形，得AG=FG，同理FH=DH，于是GH=AD=4cm.
答案：4cm
15. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：EF和GH互相平分.
分析：要证EF和GH互相平分，只需证明四边形EGFH是平行四边形，利用三角形的中位线定理不验证证得.
，
形，
的中点，连结CEAF与BF，它们
创新应用
17. 已知：如图l，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M，N.
(1)求证：FG=(AB+BC+AC).
(2)若①BD、CE分别是△ABC的内角平分线(如图2)；②BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系 请写出你的猜想(不用证明).
证明：(1)∵BD平分∠ABM，AF⊥BD，∴∠BAD=∠BMD.
∴BA=BM，∴AF=FM.
同理AC=CH，AG=GH.
∴FG=MH=(AB+BC+AC).
(2)①FG=(AB+AC-BC)；
②FG=(BC+AC- AB).
A
B
C
D
E
M
G
M
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4.5 三角形的中位线（讲练互动）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预习】
1. 三角形的中位线概念：
连结三角形 的线段叫做三角形的中位线.
2. 三角形的中位线定理：
三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的 .
【课前热身】
1. (嘉兴中考)如图，中，已知AB=8，BC=6，CA=4，DE是中位线，则DE=（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 任何一个三角形有 条中位线.
3. 如图是一个三角形与它的三条中位线，则图中有 个平行四边形.
4.如图，在中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=5，则BC的长是 .
【讲练互动】
【例1】如图，Rt中，∠B=90°，D，E分别是AB，AC的中点，DE=6，AC=15，求AB的长.
【绿色通道】当问题涉及多个中点时，往往可利用三角形的中位线定理来解. ( http: / / www.21cnjy.com )
【变式训练】
1. 如图，在□ABCD中，AC，BD交于点O. E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点. 若AB=4，BC=6，求四边形EFGH的周长.
【例2】如图，△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC中点. 求证：BD=2EF.
【变式训练】
2. 如图，已知DE为△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE.
求证：四边形BCFD为平行四边形.
【例3】如图，AD是∠BAC的外角平分线，CD⊥AD于点D，E是BC的中点.
求证：DE=(AB+AC).
【绿色通道】三角形的中位线定理是一个倍分定理，在解决倍分问题时，常用它将线段加倍或折半.
【变式训练】
3. 如图，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边△ABM和△CAN. D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE，求证：DE=EF.
参考答案
【要点预习】
【变式训练】
1. 如图，在□ABCD中，AC，BD交于点O. E，F，G，H分别为
F
E
C
D
B
A
F
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新浙教版数学八年级（下）
4.5 三角形的中位线
这里有一张三角形纸片，剪一刀，你能将它剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片吗？
(1)如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求。动手试试看？
(2)可将其中的三角形作怎样的图形变换
D
B
E
C
A
F
把△ADE以E点为旋转中心，顺时针旋转 得到△CFE。
D
B
E
C
A
F
∵DE∥BC, △ADE以E点为旋转中心，顺时针旋转 得到△CFE。
∴D、E、F三点在同一直线上，A、E、C三点在同一直线上。
∴DF∥BC
又∵△ADE≌△CFE
∴∠A=∠ECF
∴CF∥AD，即CF∥DB
∴四边形BCFD为平行四边形。
图中线段DE 是连接ΔABC两边的中点D、E所得的线段，称此线段DE为ΔABC的中位线
读一读：
三角形中位线的概念
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？
答：三角形的中位线的两端都是中点
三角形的中线一端是中点，另一端是顶点
想一想：
D
E
C
A
B
DE就是△ABC的一条中位线 。
C
A
B
D
AD就是△ABC的一条中线。
D
E
C
A
F
B
∵ 平行四边形BCFD
∴DE∥BC，DF=BC，
∵ EF=DE，
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
∵DE是△ABC的中位线
求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
D
E
C
A
B
已知：如图△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点。
求证：
证法一：
过点C作AB的平行线交DE的延长线于F
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ECF
又∵ AE=EC，∠AED=∠CEF
∴△ADE ≌ △CFE ∴ AD=FC
又∵ DB=AD，
∴DB∥FC且DB=FC
∴四边形BCFD是平行四边形
F
求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点。
求证：
D
E
C
A
B
F
证法二：延长DE至点F，使EF=DE，再连结FC。
然后证明△ADE≌△CFE。
后面的证法和刚才相同。
求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图△ABC中，
D，E分别是AB，AC的中点。
求证：
D
C
A
B
E
证法三：
过C点作AB的平行线交DE的延长线于点F，连结AF，DC。
F
∵AE=EC，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠FCE
∴△ADE≌△CEF
∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴ AD=FC
又∵D为AB中点，
∴DB∥FC，DB=FC
∴四边形BCFD是平行四边形。
求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图△ABC中，
D，E分别是AB，AC的中点。
求证：
D
C
A
B
E
证法四：
过点E作AB的平行线交BC于F，自点A作BC的平行线交FE于G。
∵AG∥BC
∴∠EAG=∠ECF,又AE=EC，∠AEG=∠CEF
∴△AEG≌△CEF
∴AG=FC，GE=EF
又∵AB∥GF，AG∥BF
∴四边形ABFG是平行四边形。
∴BF=AG=FC，AB=GF
又∵D为AB中点，E为GF中点
∴DB∥EF，DB=EF
∴四边形DBFE是平行四边形。
∵DE=BF=FC 即
F
G
练一练:
(3)若∠B=40O ，则∠EFD=______
A
B
C
E
F
D
如图，已知△ABC，D、E、F分别是BC、AB、AC边上的中点。
(1)若△ABC的周长为18cm，它的三条中位线围成的△DEF的周长是________
400
9cm
(2)图中有_____个平行四边形
3
(4)△DEF的面积与 △ABC的面积有什么关系
如图，△ABC的周长为36，D、E、F分别是三边的中点。
则（1）△DEF的周长为多少？
（2）△DEF的面积与△ABC的面积有何关系？
D
E
C
A
B
F
解：∵ D、E、F分别是三边的中点，
∴
∴△DEF周长就等于△ABC周长的一半，即18。
D
E
C
A
B
F
∵ DE∥AC EF∥AB
∴ ∠EDF=∠AFD
∠EFD=∠ADF，且DF=FD
∴ △DEF≌△DAF。
同理可得△DEF≌△DBE≌△EFC
∴这四个三角形都是全等三角形，
因此△DEF的面积是△ABC的面积的1/4
（2）△DEF的面积与△ABC的面积有何关系？
例题解析
猜一猜：画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？
如图，四边形ABCD中，E F G H分别是
AB CD AD BC的中点，四边形EFGH是
平行四边形吗？为什么？
解：四边形EFGH是平行四边形
连接DB
因为E、H分别是AB、AD的中点 ，
即EH是ΔABD的中位线
所以EH∥BD，EH= BD，理由是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
同理可得，FG∥BD FG= BD
所以EH∥FG，EH=FG
故四边形EFGH是平行四边形，理由是；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
B
C
D
H
E
F
G
A
B
C
D
E
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出DE=15m，就能求出池塘BC的长吗？
学以致用
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
A
C
D
B
H
G
E
F
证明：连结AC
∵ E、F、G、H分别是各边的中点
∴
∴
∴四边形EFGH是平行四边形。
合作学习
从例题中你能得到什么结论？
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个
A
B
C
D
E
F
G
H
平行四边形
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
中点问题，我们可以联想到三角形的中位线，并利用它的性质来解决问题。
1．如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点
（１）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？
（２）若AD=a，BC=b，求EF的长。
A
B
C
D
E
F
G
解：（１）AD∥EF∥BC
因为AD∥BC ，则∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF
连接DF并延长DF交BC于G
又AF＝FC
所以△ADF≌△CFG(AAS)
所以DF=FG
而DE=EB
所以EF∥ BC
理由是：三角形的中位线平行于第三边
又AD∥BC
所以AD∥EF∥BC
1．如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点
（１）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？
（２）若AD=a，BC=b，求EF的长。
A
E
G
D
F
C
B
解：（2）
所以EF=BG= (BC-GC)
理由是：三角形的中位线 等于第三边的一半。
而GC=AD
所以EF= (BC-AD)= (b-a)
由（１）可知：EF是△DBG的中位线
探索研究：
已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2 ……，
则（１） 第３次连接所得
△A3B3C3的周长＝＿＿＿＿,面积＝＿＿＿＿
（２）第n次连接所得
△AnBnCn的周长＝＿＿＿＿，面积＝＿＿＿＿
A
B
C
次序
1
2
3
……
n
所得三角形周长
……
得三角形面积所
……
A１
B１
C１
A２
B２
C２
分析：填表
