(共20张PPT)
新浙教版数学八年级（下）
4.5 三角形的中位线
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的吗 他运用了怎样的推理方法
假设“李子甜”
树在路边则李子少
与已知条件“树在路边而李子多”产生矛盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在路边而李子多,此必为苦李” 是正确的
王戎推理方法是:
交流与发现
回答下列问题,并与同学交流:
在上题中采用的证明方法与第五节中所用的证明方法有什么不同
在上题中采用的证明方法与第五节中所用的证明方法不同,它不是由已知条件出发直接证明命题的结论,而是先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法.
先假设命题不成立,
从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,
从而得出假设命题不成立，是错误的,
即所求证的命题正确.
在证明一个命题时,人们有时
这种证明方法叫做反证法.
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
求证：a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴a∥b
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知:
直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证:
l3与l2相交.
证明:
假设____________,那么_________.
因为已知_________,
这与“_______________________ _____________”矛盾.
所以假设不成立,即求证的命题正确.
l1
l2
l3
P
l3与l2 不相交.
l3∥l2
l1∥l2
经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
用反证法证明（填空）:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°.
这与________________________________相矛盾.
所以______不成立，所求证的结论成立.
已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于
或等于60°.
证明: 假设所求证的结论不成立，即
∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60°
则∠A+∠B+∠C < 180°.
<
<
<
三角形三个内角的和等于180°
假设
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法
(2)如果选择反证法,先怎样假设 结果和什么产生矛盾
定理
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
l２
l１
l３
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
p
所以假设不成立，所求证的结论成立，
即 l１∥l３
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
定理
(3)不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证: l1∥l3
l1
l2
l3
l
p
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3
∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内，
如果一条直线和两条平行直线中的一条相
交，那么和另一条直线也相交）
证明:作直线l交直线l2于点p，
∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
2
1
3
常用的互为否定的表述方式：
是——不是；存在——不存在
平行——不平行；垂直——不垂直
等于——不等于；都是——不都是
大于——不大于；小于——不小于
至少有一个——一个也没有
至少有三个——至多有两个
至少有n个——至多有(n-1)个
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角.
你能用反证法证明以下命题吗？
延伸拓展
证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.
当∠B是_____时，则_____________
这与____________________________矛盾；
当∠B是_____时，则______________
这与____________________________矛盾；
综上所述,假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
直角
钝角
直角
∠B+ ∠C= 180°
三角形的三个内角和等于180°
钝角
∠B+ ∠C＞180°
三角形的三个内角和等于180°
甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远、铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：
A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；
B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；
C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；
D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军；
甲获百米冠军；乙获二百米冠军；
丙获跳远冠军；丁获跳高冠军；戊获铅球冠军.登陆21世纪教育 助您教考全无忧
4.6 反证法（讲练互动）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预习】
1.反证法的概念：
在证明一个命题时，有时先假设 不成立，从这样的假设出发，经过 得出和已知 矛盾，者与 ， ， 等矛盾,从而得出假设 不成立是错误的，即所求证的命题 . 种证明方法叫做反证法.
2.平行线的有关定理.
在 内，如果一条直线与两条 直线中的一条相交，那么和另一条也相交.
在 内，如果两条直线都和第三条直线 ，那么这两条直线也互相 .
【课前热身】
1.“a
A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
2.用反证法证明“等边三角形的最大角不小于60°”时，应该假设 .
3.已知a∥b，a∥c，且∠1=44°，则∠2= .
【讲练互动】
【例1】用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，则这两条直线不平行.
已知：如图，直线被直线所截，∠1≠∠2.
求证：直线不平行于直线.
证明：假设 ,
那么∠1=∠2( )..
这与 矛盾.
∴假设 不成立.
∴直线不平行于直线.
【绿色通道】用反证法证明命题的一般步骤：一反设（否定结论）；二归缪（利用已知条件和反设，已学过的公理、定理、定义、法则进行推理，得出与已学过的公理、定理、或与已知条件、或与假设矛盾）；三写出结论（肯定原命题成立）.
【变式训练】
1．完成下列证明：
如图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．
当∠B是____时，则________ _，这与_____ ___矛盾；
当∠B是____时，则______ ___，这与_______ _矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
【例2】用反证法证明：连结直线外一点和直线上所有各点的线段中垂线段最短.
已知：如图，P为直线AB外一点，PC⊥AB于C，PD和AB不垂直.
求证：PC【黑色陷阱】应用反证法证题时，首先要正确分清命题的题设和结论，正确全面地否定结论. 如果结论的反面不止一种情形，那么必须把各种可能性都列出来，并且逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确.
【变式训练】
2. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：△ABC中，AB=AC.
求证：∠B、∠C必为锐角.
参考答案
【课前热身】
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4.6 反证法 （巩固训练）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预习】
1.反证法的概念：
在证明一个命题时，有时先假设 不成立，从这样的假设出发，经过 得出和已知 矛盾，者与 ， ， 等矛盾,从而得出假设 不成立是错误的，即所求证的命题 . 种证明方法叫做反证法.
2.平行线的有关定理.
在 内，如果一条直线与两条 直线中的一条相交，那么和另一条也相交.
在 内，如果两条直线都和第三条直线 ，那么这两条直线也互相 .
基础自测
1. 用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设……………………………（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
2.用反证法证明“若实数满足，则中至少有一个是0”时，应先假设……（ ）
A. 中至多有一个是0 B. 中至少有二个是0
C. 中没有一个是0 D. 都等于0
3. 已知a∥b，a∥c，且∠1=40°，则∠2=………………………………（ ）
A.40° B.140° C.160° D.条件不够，无法计算
4.在锐角△ABC中，∠A>∠B>∠C，则下列结论错误的是…………………………………（ ）
A．∠A>60° B．∠B>45° C．∠C<60° D．∠B+∠C<90°
5. 若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设________．
6. 如图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“ ”矛盾，所以假设不成立，则________．
7.用反证法证明(填空)：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线不平行，那么内错角不相等.
已知：如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB与CD .
求证：∠1≠∠2.
证明：假设∠1 ∠2，
则AB∥CD( )
这与 矛盾，所以 不成立.
所以 .
8.已知：AB∥CD，AB∥EF，∠B=∠BCF=130°，求∠F的度数.
能力提升
9. 在证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，第一步应假设………………………（ ）
A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角
10. 不论为何实数，在直角坐标系中，点不可能在……………………………（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：∵x>x-3，∴x<0且x-3>0不可能成立，即点(x，x-3)不可能在第二象限.
11.对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c； ⑤a⊥c. 以其中两个论断作为条件，一个作为结论，组成一个你认为正确的命题________.
12.如图，，AB∥CD，则的度数是 .
解析：过P作AB的平行线，可证得∠APC=∠A+∠C.
13. 求证：在同一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.
已知：如图，△ABC中，∠B≠∠C.
求证：AB≠AC.
创新应用
14.设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零.
参考答案
基础自测
求证：AB≠AC.
证明：假设AB=AC，则∠B=∠C.
这与已知∠B≠∠C矛盾. ∴假设不成立，∴AB≠AC.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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