2.2 一元二次方程的解法 （2） 开平方法+配方法(1) 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
浙教版八下数学
2.2 一元二次方程的解法 （2）
开平方法+配方法
温故知新：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，
用式子表示为：若那么x就是a的平方根，记作
.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
.
齐声朗读
1. 用开平方法解下列方程:
(1)3x2－48=0
(2)(2x－3)2=7
解：移项，得：3x2=48
方程的两边同除以3，得：x2=16
解得：x1=4，x2=-4
解：由原方程，得：
2x-3=，或 2x-3=-
.
解得：x1= ，x2=
.
学以致用：
2.填上适当的数，使下列等式成立
1.x2+12x+ =(x+6)2；
2.x2-6x+ =(x-3)2；
3.x2-4x+ =(x - )2；
62
32
22
2
演化
共同特点：
1. 二次项系数都是( )
2.常数项是一次项系数的( ）
1
一半的平方
温故知新：
3.用开平方法解下列方程：
x2+10x=39
完全平方式：（a+b）2=a +2ab+b
x2+10x+25=（x+5)
解：x2+10x+25=39+25，
x1=3，x2=-13.
（x+5) =64
x+5=8或x+5= - 8
学以致用：
注：运用开平方法解方程，实际上就是将一元二次方程化为形如
x2=a或（x+a) =b的形式
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
x2 +10x=39
（x+5）2 = 64
一元二次方程
完全平方式
非负常数
注：对于一元二次方程的一般形式，我们可以先转化为（x+a) =b的形式， 再用直接开平方的方法进行求解。
ab
a2
ab
b2
两数和的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
代数验证：
几何验证：
温故知新：
利用图形面积验证完全平方公式
(a+b)2
=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
S大正方形=（a+b)2
S大正方形=a2+2ab+b2
综上：(a+b)2=a2+2ab+b2
配方法的几何解释
利用图形面积解释配方法解方程的过程：
下面我们用几何方法来求方程x2＋10x＝39的解，
把x2＋10x解释为右图中多边形ABCDEF的面积，
为了求出x，我们考虑把这块图形补成一个正方形，
为此必须补上正方形DCGE．从图中可以看出，
正方形DCGE的面积为52
（它恰好等于原方程中一次项系数一半的平方），
由于整个正方形的面积为39＋25＝64，
可知这个正方形的边长为8，又由图形可知边长为x＋5，
故x＝3．
这里，我们直观地看到了配方的几何意义．但求得的解是不完备的，受几何图形的限制，我们只能求出方程的正数解．
学以致用：
用配方法解下列一元二次方程：
（1） x2+6x=1 （2） x2+5x-6=0
∴x1=1，x2=-6.
解：方程的两边同加上9，
得：x2+6x+9=1+9，
即（x+3）2=10.
则x+3= ，或x+3=- ，
.
解：移项，得x2+5x=6.
方程的两边同加上 ，
得x2+5x+ =6+ ，
.
即 =
.
则，或 =- ，
.
解得：x1=-3+ ，x2=-3- .
.
把常数项移到方程的右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方
运用开平方法,方程两边开平方
解方程，写出原方程的解
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
一移、 二配、 三开、 四解.
归纳小结：：
1.用开平方法解下列方程
(1) x2=2.25
(2) 4x2=3
解：x1=1.5, x2=-1.5
x1=
x2=-
解：7x2=56
x2=8
x1=2
x2=-
解：(x-7)2=7
x-7=
或x-7=
x1=
x2=
夯实基础，稳扎稳打
解：x2=
.
(3) 7x2-56=0
(4) 2(x-7)2=14
2.用配方法解下列方程：
（1）x2-6x+8=0
解：x2-6x=-8
x2-6x+9=-8+9
(x-3)2=1
x-3=1或x-3=-1
x1=4,x2=2
（2）x2-8x-4=0
解：x2-8x=4
x2-8x+16=4+16
（3）x2+x-1=0
解：x2+x=1
x1=
x2=
(x-4)2=20
.
x-4=或x-4=-
.
x1=或x2=4-2
.
x2+x+=1+
.
（x）2=
.
x=
或x=
.
一移、 二配、 三开、 四解.
3. 解下列方程
(1) x2=4；
(2) x2=0；
(3) x2+1=0.
解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.
解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.
解:移项得x2=-1,根据平方根的意义，
因为负数没有平方根，所以原方程在实数范围内无解.
连续递推，豁然开朗
（2）当p=0 时，方程x2 = p有两个相等的实数根 x1=x2=0；
（3）当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 = p无实数根.
4.解方程 x2 = p,
（1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2 = p有两个不等
的实数根 x1 ，x ；
.
5. 用配方法解下列方程：
6.用配方法解下列方程：
（1）-x2+4x-3=0
解：x2-4x+3=0
x2-4x=-3
x2-4x+4=-3+4
(x-2)2=1
x-2=1或x-2=-1
x1=3,x2=1
（2）-x2+5x+3=0
解：x2-5x-3=0
x2-5x=3
x2-5x+()2=3+()2
.
（x)2=3+()2
.
x
或 x
x
或 x
首先干掉讨厌的 “ - ”
x2 +px+q=0
x2-2x-1=0
x2-2x+4=0
x2-2x+1=0
解：x2-2x=1
x2-2x=-4
x2-2x=-1
x2-2x+1=1+1
x2-2x+1=-4+1
x2-2x+1=-1+1
（x-1）2=2
（x-1）2=-3
（x-1）2=0
x-1=0
负数在实数范围内没有平方根，
该方程没有实数根
7.用配方法解下列方程：
x-1=或x-1=-
.
x1=或x2=1-
.
x1=x2=1
x2 +px= -q
x +
.
x1,2=
.
当0时
.
x1=x2=-
.
该方程没有实数根
x2 +px+= -q+
.
(x +)2 =
.
当>0时
.
当0时
.
配方法．
(1)配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1)．
(2)用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化成直接开平方法所需要的形式．配方是为了降次，利用平方根的定义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．