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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【解析】如图所示，
分别作边AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I．
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
所以 都是等边三角形．
所以
所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15；
故答案为：C．
2．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：A、延长AC、BE交于S，
∵∠CAB=∠EDB=45°，
∴AS∥ED，则SC∥DE．
同理SE∥CD，
∴四边形SCDE是平行四边形，
∴SE=CD，DE=CS，
即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；
B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，
∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，
∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，
∴FG∥KH，
∵FK∥GH，
∴四边形FGHK是平行四边形，
∴FK=GH，FG=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，
∵FS1+S1K＞FK，
∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，
即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，
C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．
综上所述，D选项的所走的线路最长．
故选：D．
3．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】D
【解析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，
由题意得：，
，
由于n为整数，x为正数且小于180，
，
则，
故答案为：D.
4．如图所示，点E为内一点，连结，已知的面积为2，的面积为10，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】如图，过点作于点，
设和的和边上的高分别为和，
，，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
5．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG=FG；④EA平分∠GEF。其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】∵E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，
∴，EF为△OCD的中位线，
∴，EF∥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴BG∥EF，BG=EF，
∴四边形BEFG为平行四边形，
故①符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，
∵BD=2AD，
∴OB=BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥AC，
故②符合题意；
∵G为Rt△ABE斜边上的中点，
∴，
∴EG=EF，
但无法证明EG=FG，
故③不符合题意；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠FEA=∠BAC，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠GEA，
∴∠GEA=∠AEF，
∴EA平分∠GEF，
故④符合题意；
故答案为：C.
6．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED=90°+ ∠C，则BC+2AE等于（ ）
A．AB B．AC C． AB D． AC
【答案】B
【解析】如图，
过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC=∠DEF．
又∵点D是AB的中点，
∴EF=AE．
∵∠DEF=∠BFC=180°﹣∠AED=180°﹣（90°+ ∠C）=90°﹣ ∠C，
∴∠FBC=∠BFC，
∴BC=FC，
∴BC+2AE=AC．
故选B．
7．如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠CFB=∠ABF，
又∵CD=2AD，F为CD中点，
∴CF=DF=AD=BC，
∴∠CFB=∠CBF，
∴∠ABF=∠CBF，
∴BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABF，
故①正确.
②延长EF交BC于点G，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠FCG，
在△DEF和△CGF中，
∵ ，
∴△DEF≌△CGF（ASA），
∴EF=FG，
又∵BE⊥AD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC=90°，
∴△BEG为直角三角形，
又∵F为EG中点，
∴EF=BF，
故②正确.
③由②知△DEF≌△CGF，
∴S△DEF=S△CGF，
∴S四DEBC=S△BEG，
又∵F为EG中点，
∴S△BEF=S△BGF，
∴S△BEG=2S△BEF，
即S四DEBC=2S△BEF，
故③正确.
④设∠FEB=x，
由②知EF=BF，
∴∠FBE=∠FEB=x，
∴∠BFE=180°-2x，
又∵∠BED=∠AED=∠EBC=90°，
∴∠DEF=∠CBF=90°-x，
∵CF=BC，
∴∠CFB=∠CBF=90°-x，
又∵∠CFE=∠CFB+∠BFE，
∴∠CFE=90°-x+180°-2x，
=270°-3x，
=3（90°-x），
=3∠DEF.
故④正确.
故答案为：D.
8．如图所示，点E为平行四边形ABCD对角线AC上的一点，AE＝7，CE＝3，点F在BE的延长线上.且EF＝BE，EF与CD相交于点G，则DF＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】连接BD交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE＝7，CE＝3，
∴ ，
，
，
， ，
，
，故C正确.
故答案为：C.
9．如图，E是平行四边形ABCD内一点，已知DE⊥AD，∠CBE＝∠CDE，∠BCE＝45°，CE的延长线交AD于F，连接BF，下列结论：①DE＝DF；②△BEF为等腰三角形；③AF＝ CE；④BD的长等于四边形ABCD周长的 倍，其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠CBE=∠CDE，
∴∠ABC-∠CBE=∠ADC-∠CDE，
∴∠ABE=∠ADE，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴BE⊥AB，
延长DE交BC于N，过E作EM⊥CF交BC于M，
则∠MEC=90°，
∵∠BCE=45°，
∴∠EMC=45°=∠BCE，
∴CE=ME，∠BME=∠BCE+∠MEC=45°+90°=135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴NC∥AD，
∵DE⊥AD，
∴DN⊥BC，
∴∠DNC=90°，
∴∠CED=90°+45°=135°，
∴∠BME=∠DEC=135°，
在△BME和△DEC中
∴BE=CD，BM=DE，
连接DM，
∵∠BME=∠CED=135°，∠MEC=90°，
∴∠MED=360°-90°-135°=135°，
∴∠BME=∠DEM，
在△BME和△DEM中
∴△BME≌△DEM，
∴∠CBE=∠EDM=∠CDE，BE=DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∵CM=AF，
∴BM=DF，
∴四边形BMDF是平行四边形，DE=DF，∴①正确；
∴MD=BF，
∵BE=DM，BE=CD，
∴BF=CD，
∴BF=BE，
∴△BEF为等腰三角形，
∴②正确；
∵△BME≌△DEC，
∴BM=DE，EM=DE，
∵∠FDE=90°，∠FED=180°-135°=45°，
∴∠DFE=∠FED=45°，
∴DF=DE=BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴CM=AF，
在Rt△MEC中，∠MEC=90°，CE=EM，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴③正确；
∵DE=BM，MN=NE，
∴BN=DN，
∵∠BND=90°，
∴ ，
∵CD= ，
则四边形ABCD的周长=
∴④错误；
故答案为：C
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90 ，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是( )
A．∠D的度数为α
B．a∶b＝CD∶BC
C．若α＝60 ，则平行四边形ABCD的周长为
D．若α＝60 ，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
【答案】D
【解析】A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠α+∠C=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；
B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，
∵ AE＝a，AF＝b，
∴BC·a=CD·b，
即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；
C.由A知∠D=∠α，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝a ，
∴BE=AB，AB2=BE2+AE2，
即AB2=（AB）2+a2，
解得：AB=a，
∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，
∵AF＝b ，
∴DF=AD，AD2=DF2+AF2，
即AD2=（AD）2+b2，
解得：AD=b，
∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（a+b）=（a+b），
故正确，C不符合题意；
D.由C知AB=a，AD=b，
∴BE=a，DF=b，
∴S△ABE=·BE·AE=×a×a=a2，
S△ADF=·DF·AF=×b×b=b2，
∵S四边形ABCD=BC·AE=ab，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF，
=ab-a2-b2，
故错误，D符合题意；
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，E、F分别是 ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝20cm2，则阴影部分的面积为 cm2.
【答案】30
【解析】连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP，
∵S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，
∴S四边形EPFQ=30cm2，
故阴影部分的面积为30cm2.
故答案为：30.
12．如图，在 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为 .
【答案】
【解析】如图，延长AB 、 CF交于点H ，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
点E是BC的中点， ，
，
故答案为： .
13．如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE=2OF.则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 ．
【答案】3 （或3：1）
【解析】∵EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC，
∵OE=2OF，
∴OE=EF，
∴OE=BC，
设点A到BC的距离为h，
∴；
∴△ABC的面积与△AOC的面积之比=.
故答案为：3或（3：1）.
14．如图，在□ABCD中，
BC=4，CD=6，点E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得△FCE，
连结DF，射线CF交直线DA于点P，当∠CPD=90°时，△DCF的面积是 .
【答案】 或
【解析】延长线段CE、DA交与G点，
依题意可知：CF=BC=4，∠PCE=∠BCE，
∵CP⊥DA，DA∥BC，
∴∠G=∠PCE=∠BCE=45°，PC=PG
又∵AE=BE，∠CEB=∠AEG，
∴△CEB≌△AEG（AAS），
∴AG=BC=4，
设DP=x，则PA=4-x，PG=PC=8-x，
在Rt△DPC中，DP2+CP2=CD2，
∴x2+（8-x）2=62，
解得：x= ，即：DP= .
当P在线段DA上时，△DCF的面积= = ，
当 P在线段DA延长线上时，如图：△DCF的面积= = .
故答案为： 或
15．如图，在 ABCD中，∠DAB=45°，AB=17，BC=7 ，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边BC、DC上的点，连结OE、OF、EF.则△OEF周长的最小值是 .
【答案】
【解析】以CD和CB为对称轴作点O的对称点M、N，连接MN、CN、CM
则△OEF的周长最小值即为MN长
作CG⊥AG
在Rt△BCG中
BC=7
∴CG=7
在Rt△ACG中
AC=25
∴CM=CN=
在Rt△MNC中，MN=
∴△OEF周长的最小值是
故答案为： .
16．如图，在 ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G.若AD=10，AB=6，AE=4，则DF的长为
【答案】8
【解析】∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD=6，BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB
∵∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F
∴∠DAE=∠BAE，∠ADG=90°
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE=6，
同理可知DC=CF=6，
∴CE=10-6=4，
∴EF=6-4=2，
（相似）∵AD∥BC，
∴△ADQ∽△EFG
∴即
∴
在Rt△EFG和Rt△ADG中
∴DF=DG+FG=.
（非相似）
过点D作DH∥与AE交BC的延长线于H，如图；则四边形AEHD是平行四边形
∴DH=AE=4;FH=12;∠FDH=90°，
∴DF=
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题7分，第20～24题9分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知：在 ABCD中，∠ABC=45°，AC⊥CD。
（1）
如图1，若AD=6，求 ABCD的面积。
（2）如图2，连结BD交AC于点O，过点A作AE⊥BD于E，连结EC。求证：ED=AE+ EC。
【答案】（1）解：∵∠ABC=45°，AC⊥CD，
∴△ACD是等腰直角三角形
∵AD=6，
∴由勾股定理得AC=3
∴ ABCD的面积=3 ×3 =18
（2）证明：过点C作CF⊥BD于F，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°
∠AOE=∠COF，且AO=CO，
∴△AOE≌△COF(AAS) ，
∴AE=CF，OE=OF
由(1)得△ACD是等腰直角三角形，同理△ABC是等腰直角三角形。
设AC=AB=2x，
∴AD=BC=2 x，AO=x
∴BO=DO= x
∵S△AOB= AB·AO= BO·AE
∴AE=
∴OE=OF= ，
∴EF=2OF=
∴CE= EF=
∵DE=DO+OE= ,
AE+ EC=
∴ED=AE+ EC
18．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°.
（1）若α＝50°，则∠ADE＝ ；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.
【答案】（1）40°
（2）解：①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，
∴∠ABC＝∠EDC＝α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，2∠ABC+∠BAC＝180°，2∠ADE+∠DAE＝180°，
∴∠ABC+∠ADE＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴AD⊥BC，且AB＝AC，
∴BD＝CD，
②证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠EAC＝α，
∵∠DAE＝2∠ABC＝2α，
∴∠DAC＝∠ACB＝α，
∴AD＝CD，且AD＝AE，
∴BF＝AE＝AD＝CD，
∴BD＝CF.
【解析】（1）∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BAC+2×∠ABC＝180°，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠DAE＝2∠ABC＝100°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝ ＝40°，
故答案为：40°
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.
（1）当t=2时，求△BPQ的面积；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.
（3）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】（1）解：BQ=16－2=14
∴ ；
（2）解：因为AD//BC，
所以若四边形ABQP为平行四边形，则AP=BQ
即
解得 t=5
（3）解：下面分三种情况讨论：
①以∠PBQ为顶角时，BP=BQ，有：
，
，
∵△＜0
∴无解
②以∠PQB为顶角时，QB=QP，有：
解得
③以∠BPQ为顶角时，PB=PQ，有：
解得
综上， 或 时，符合题意
20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造 PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=2，过点F作MN⊥PE，截取FM= ，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）解：BC= OC=3，则 ，
OP= ，则OE=OP+PE=OP+OA= +3= ，
则E的坐标是（ ，0）
（2）解：∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC=PD，
在△AOC和△EPD中，
，
∴△AOC≌△EPD，
∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，
∴AC∥DE，
∴四边形ADEC是平行四边形
（3）解：C的坐标是（0，6﹣2t），P的坐标是（t，0），则F的坐标是（t+2，0）．，E的坐标是（t+3，0），D的坐标是（t，2t﹣6）．
设CE的解析式是y=kx+b，
则 ，
解得： ，
则CE的解析式是y= ，
同理DE的解析式是y= + ．
当M在CE上时，M的坐标是（t+2， ），
则 ，
解得：t=21﹣12 ，或t=1.5．
当N在DE上是，N的坐标是（t+2，﹣1），则 =﹣1，
解得：t=3+ 或t=9．
总之， ，t2=1.5， ，t4=9
21．我们定义：有一组对边相等，另一组对边不相等的凸四边形叫做“单等对边四边形”。
（1）如图1，在 ABCD中，点E为AB上不与点A，B重合的一点，CE=CB。
求证：四边形AECD为单等对边四边形；
（2）如图2，在8×10的网格中，顶点A、B、C均是格点，请在此网格内找格点D，使四边形ABCD为单等对边四边形，请你在网格中画出所有满足条件的点D；
（3）如图3，在单等对边四边形ABCD中，AB=CD，BC=1，CD=5，∠BCD=90°，若单等对边四边形ABCD内有一点P，使四边形ABCP为平行四边形，且 ABCP与四边形ABCD的面积比为1：3，求 ABCP的面积。
【答案】（1）证明：在 ABCD中，AD=BC， AB=CD，
∵CE=CB，∴AD=CE，
∵点E为AB上不与点A、B重合的点，∴AB>AE，∴CD≠AE，
∴四边形AECD为单等对边四边形。
（2）解：点E位置如图所示
（3）解：延长AP交CD于点H，连结AC，
∵ ABCP，∴BC∥AP，
∵∠BCD=90°，∴∠PHC=90°，
设PH=x，则CH= ，
∵ ABCP与四边形ABCD的面积比为1：3，
∴S△ABC：S△ACD=1：5，∴
整理得x2+x-12=0，∴x1=-4 (舍)，x2=3，∴CH= =4，
∴ ABCP的面积为1×4=4
22．已知在 ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动。
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数。
（2）如图2，在(1)的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB=4cm，求△APF的面积。
（3）如图3，另一动点Ｑ在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Ｑ点也停止)，若AD=6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形。
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD=∠PCB，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DP=DC.
∵CD=CP，
∴PC=CD=PD，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠D=∠B=60°
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，
∴S△PBC=S△FAB= S ABCD，
∴S△ABP+S△PCD= S ABCD，
∴S△APF+S△ABP=S△ABP+S△PCD，
∴S△APF=S△PCD= ×42=4 (cm2)
（3）解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴PD∥BC
若要使四边形PDQB是平行四边形，则PD=BQ，
设运动时间为t秒，
①当0∴6-0.5t=6-2t，解得t=0，不合题意，舍去；
②当3∴6-0.5t=2t-6，解得t=4.8；
③当6∴6-0.5t=18-2t，解得t=8；
④当9∴6-0.5t=2t-18，解得t=9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形。
23．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm.点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s.连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t（0＜t＜5）.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠PAO＝∠QCO.
又∵∠AOP＝∠COQ，
∴△APO≌△CQO，
∴AP＝CQ＝t.
∵BC＝5，
∴BQ＝5－t.
∵AP∥BQ，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t＝5－t，∴t＝ ，
∴当t＝ 时，四边形ABQP是平行四边形
（2）解：如图
过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G.
在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，
∴CO＝ AC＝2，
S△ABC＝ AB·AC＝ BC·AH，
∴3×4＝5AH，
∴AH＝ .
∵AH∥OG，OA＝OC，
∴GH＝CG，
∴OG＝ AH＝ ，
∴y＝S△OCD＋S△OCQ＝ OC·CD＋ CQ·OG，
∴y＝ ×2×3＋ ×t× ＝ t＋3；
（3）解：存在.
∵OE是AP的垂直平分线，如图
∴AE＝ AP＝ ，∠AEO＝90°，
由（2）知：AO＝2，OE＝ ，
由勾股定理得：AE2＋OE2＝AO2，
∴（ t）2＋（ ）2＝22，
∴t＝ 或－ （舍去），
∴当t＝ 时，点O在线段AP的垂直平分线上.
故答案为（1）当t＝ 时，四边形ABQP是平行四边形（2）y＝ t＋3（3）存在，当t＝ 时，点O在线段AP的垂直平分线上.
24．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，四边形OABC的顶点A在 轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点.
（1）若四边形OABC为长方形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ=BP，且点B1落在AC上，求点B1的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥ x 轴，与对角线AC，边OC分别交于点E，点F.若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标（用含m的代数式表示）.
【答案】（1）解：①∵ OA=4，OC=2 ，∴ 点B的坐标 （4,2）；
②设BP=BQ=a,则 （4-a，2-a），如图1，
设直线AC的解析式是 ，把A(4，0)代入，得
，解得 ，
∴直线AC的解析式是 ,
把 （4-a，2-a）代入上式，得 ，解得 .
∴ （ ， ）
（2）∵OA=4，OC=2，OC⊥AC， ∴∠OAC=30°，C(1， ）. ∵B1E:B1F=1:3，∴有以下两种情况： ①当点 在线段FE的延长线上时，如图2，延长 F与y轴交于点G， 由题意可知 G=m，设GF=b，则OG= ，OF= ， ∴CF=2- ，FE=2（2- ）=4-4 ， ∴B1E= = ， ∴ ，解得 . ∴点B1的纵坐标为 . ②当点 在线段FE（除点E，F外）上时，如图3，延长 F与y轴交于点G， 同理可求得B1的纵坐标为 .
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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
（第1题） （第4题） （第5题）
2．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）
A． B．
C． D．
3．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
4．如图所示，点E为内一点，连结，已知的面积为2，的面积为10，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG=FG；④EA平分∠GEF。其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
6．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED=90°+ ∠C，则BC+2AE等于（ ）
A．AB B．AC C． AB D． AC
（第6题） （第7题）
7．如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图所示，点E为平行四边形ABCD对角线AC上的一点，AE＝7，CE＝3，点F在BE的延长线上.且EF＝BE，EF与CD相交于点G，则DF＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，E是平行四边形ABCD内一点，已知DE⊥AD，∠CBE＝∠CDE，∠BCE＝45°，CE的延长线交AD于F，连接BF，下列结论：①DE＝DF；②△BEF为等腰三角形；③AF＝ CE；④BD的长等于四边形ABCD周长的 倍，其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90 ，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是( )
A．∠D的度数为α B．a∶b＝CD∶BC
C．若α＝60 ，则平行四边形ABCD的周长为
D．若α＝60 ，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
（第8题） （第9题） （第10题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，E、F分别是 ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝20cm2，则阴影部分的面积为 cm2.
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，在 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为 .
13．如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE=2OF.则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 ．
14．如图，在□ABCD中，
BC=4，CD=6，点E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得△FCE，
连结DF，射线CF交直线DA于点P，当∠CPD=90°时，△DCF的面积是 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在 ABCD中，∠DAB=45°，AB=17，BC=7 ，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边BC、DC上的点，连结OE、OF、EF.则△OEF周长的最小值是 .
16．如图，在 ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G.若AD=10，AB=6，AE=4，则DF的长为
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题7分，第20～24题9分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知：在 ABCD中，∠ABC=45°，AC⊥CD。
（1）
如图1，若AD=6，求 ABCD的面积。
（2）如图2，连结BD交AC于点O，过点A作AE⊥BD于E，连结EC。求证：ED=AE+ EC。
18．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°.
（1）若α＝50°，则∠ADE＝ ；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.
（1）当t=2时，求△BPQ的面积；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.
（3）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造 PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=2，过点F作MN⊥PE，截取FM= ，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
21．我们定义：有一组对边相等，另一组对边不相等的凸四边形叫做“单等对边四边形”。
（1）如图1，在 ABCD中，点E为AB上不与点A，B重合的一点，CE=CB。
求证：四边形AECD为单等对边四边形；
（2）如图2，在8×10的网格中，顶点A、B、C均是格点，请在此网格内找格点D，使四边形ABCD为单等对边四边形，请你在网格中画出所有满足条件的点D；
（3）如图3，在单等对边四边形ABCD中，AB=CD，BC=1，CD=5，∠BCD=90°，若单等对边四边形ABCD内有一点P，使四边形ABCP为平行四边形，且 ABCP与四边形ABCD的面积比为1：3，求 ABCP的面积。
22．已知在 ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动。
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数。
（2）如图2，在(1)的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB=4cm，求△APF的面积。
（3）如图3，另一动点Ｑ在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Ｑ点也停止)，若AD=6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形。
23．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm.点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s.连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t（0＜t＜5）.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
24．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，四边形OABC的顶点A在 轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点.
（1）若四边形OABC为长方形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ=BP，且点B1落在AC上，求点B1的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥ x 轴，与对角线AC，边OC分别交于点E，点F.若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标（用含m的代数式表示）.
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