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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
（第1题） （第2） （第3题）
2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC上一点，连接BO、DO，△COD、△AOD、△AOB、△BOC的面积分别是S1、S2、S3、S4.下列关于S1、S2、S3、S4的等量关系式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在平行四边形 中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是ABCD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．4 B． C． D．30
5．如图，小明从点O出发，沿直线前进10米后向左转n°（0＜n＜90），再沿直线前进10米向左转相同的度数，…照这样走下去，小明发现：当他第一次回到了出发点时，共转过了24次，则小明每次转过的角度n的值为（ ）
A． B．15 C． D．36
（第4题） （第5题） （第6题）
6．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( )
A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3
7．在面积为12的平行四边形ABCD中，过点A作直线BC的垂线交直线BC于点E，过点A作直线CD的垂线交直线CD于点F，若AB=4，BC=6，则CE+CF的值为( )
A． B．
C． 或 D． 或
8．如图，在□ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点作EF∥AB，与AD和BC分别交于点E和点F，连结AP，CP。已知AE=4，EP=2，∠ABC=60°则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．8
9．平行四边形 中， ， ， 交于点 ， 是 边上一点，连接 ，过点 作 并延长交 于点 ，交 于点 ，已知 ， ， ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 中正确的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在 中， 于 ， 是 的中点， ，若 ， ，则 的长是（ ）
A． B． C．1 D．2
（第8题） （第9题） （第10题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则平行四边形ABCD的周长为 .
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，点E、F是平行四边形ABCD的边AB、DC上的点，F与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q若S△APD=14cm2，S△BCQ=16cm2，四边形PEQF的面积为 .
13．在 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE的最小值为 .
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C的坐标分别为A（0，4），B（－2，0），C（8，0），点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点，若△BEP是以BE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G是AD 上的任一点．计S1＝S△BEF，S2＝S△GFC，S＝S□ABCD，则S＝ S2＝ S1．
16．如图所示，在平行四边形中，点E在线段上且，点F是边的中点，若，，且，则的长是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～24题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．我们将邻边之比为1:2的平行四边形成为“完美平行四边形”。在邻边之比不为1:2的平行四边形中，剪去一个完美平行四边形，余下一个四边形，我们称为第一次操作；在余下的四边形中再剪去一个完美平行四边形，又余下一个四边形，我们称为第二次操作；……以此类推。若第n次操作后余下的四边形是完美平行四边形，则称原平行四边形为n阶完美平行四边形。
（1）如图1，邻边相等的平行四边形就是 阶完美平行四边形
（2）如图2，小周动手操作发现：用两块含有30°的全等直角三角板拼成就可以拼成一个完美平行四边形。你认为小周的发现正确吗？请说明理由。
（3）现有一个平行四边形ABCD的邻边分别为1、a（a>2），且是2阶完美平行四边形，请画出平行四边形ABCD及裁剪示意图，并在相应图形的下方写出a的值。
18．如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）.
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的 时，求t的值.
19．如图直角坐标系中直线AB与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已知B（0，4），∠BAO=30°，P，Q分别是线段OB，AB上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒），
（1）求线段AB的长，及点A的坐标；
（2）t为何值时，△BPQ的面积为2 ；
（3）若C为OA的中点，连接QC，QP，以QC，QP为邻边作平行四边形PQCD，是否存在时间t，使x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1：3两部分，若存在，求出t的值.
20．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
（1）已知：如图1，四边形ABCD的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的5x7的网格中画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD，要求顶点D在网格格点上；
（2）如图2，矩形ABCD中，AB= ，BC=5，点E在BC边上，连结DE画AF DE于点F，若DE= CD，找出图中的等邻边四边形；
（3）如图3，在Rt ABC中， ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，求BM的长.
21．如图1，在平面直角坐标系中，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点B，A。点P在线段OB上，且PB=m，点Q在直线AB上，Q的横坐标为m，连结PQ，以PQ，OQ作 PQOC。
（1）当m=3时，求点C的坐标；
（2）若 PQOC的面积等于18，求m的值；
（3）如图2，作点P关于原点O的对称点M，以BM为直角边在x轴下方作Rt△BMN，使得∠MBN=30°，∠BMN=90°，当点C恰好落在△BMN的一边上时，求m的值。
22．如图1，已知平行四边形ABCD，BC∥x轴，BC＝6，点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（﹣3，﹣4），点C在第四象限，点P是平行四边形ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边CD上，BC＝CP，求点P的坐标；
（2）如图2，若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣x+1上，求点P的坐标；
（3）若点P在边AB，AD，BC上，点E是AB与y轴的交点，如图3，过点P作y轴的平行线PF，过点E作x轴的平行线E，它们相交于点F，将△PEF沿直线PE翻折，当点F的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）
23．已知：如图，∠EOF=60°，在射线OE上取一点A，使OA=10cm，在射线OF上取一点B，使OB=16cm.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP=1：2.设CQ=a（a＞0）.
（1）连接PQ，当a=2时，求线段PQ的长度.
（2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值.
（3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C′恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值.
24．如图，在□ABCD中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，在射线CB上取一点E，使得BE=2BC=20. 当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E. 在线段QC上取点F，使得QF=2，连结PF，记AP= （ ）.
（1）①CF= （用含 的式子表示）
②若PF⊥BC，求BQ的长.
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出 的值.
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出 的值.
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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，
∴DE=BE+CD﹣BC=5，
∴MN= DE= .
故答案为：C.
2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC上一点，连接BO、DO，△COD、△AOD、△AOB、△BOC的面积分别是S1、S2、S3、S4.下列关于S1、S2、S3、S4的等量关系式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，分别过B、D作BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠DCE=∠BAF，
在△CDE和△ABF中， ，
∴△DEC≌△ABF（AAS）
∴DE=BF，
∴ OA·DE= OA·BF， OC·DE= OC·BF，即S1=S4，S2=S3，
∴S1+S3=S2+S4， ， ，故A、B、C选项正确，
只有OA=2OC时，S2=2S1，故D选项错误.
故答案为：D.
3．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确，
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD，
∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AC、AE、DB、BE．
∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，
故选D．
4．如图，在平行四边形 中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是ABCD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．4 B． C． D．30
【答案】C
【解析】设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．则S=5a·3x=3b·5y．即ax=by= ，
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C= BC=b，B2C边上的高是 ，
则△AA4D2与△B2CC4的面积是2by= ，
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是 ，
则四边形A4B2C4D2的面积是 S－ ＝ ，即 ＝2，
∴S＝ ；
故答案为：C．
5．如图，小明从点O出发，沿直线前进10米后向左转n°（0＜n＜90），再沿直线前进10米向左转相同的度数，…照这样走下去，小明发现：当他第一次回到了出发点时，共转过了24次，则小明每次转过的角度n的值为（ ）
A． B．15 C． D．36
【答案】A
【解析】360÷（24+1）=14 ，
故选A．
6．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( )
A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3
【答案】A
【解析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2=（a+c）（a-c）=a2-c2，
∴S2=S1-S3，
∴S3=2S1-2S2，
∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1-2S2=4S1．
故选A．
7．在面积为12的平行四边形ABCD中，过点A作直线BC的垂线交直线BC于点E，过点A作直线CD的垂线交直线CD于点F，若AB=4，BC=6，则CE+CF的值为( )
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，BC=AD=6．
① 如图：
∵S ABCD=BC AE=CD AF=12，∴AE=2，AF=3．在Rt△ABE中，BE= ．在Rt△ADF中，DF= ，∴CE+CF=BC﹣BE+DF﹣CD= ；
② 如图：
∵S ABCD=BC AE=CD AF=12，∴AE=2，AF=3．在Rt△ABE中，BE= ．在Rt△ADF中，DF= ，∴CE+CF=BC+BE+DF+CD= ．
综上可得：CE+CF的值为 或 ．
故答案为：C．
8．如图，在□ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点作EF∥AB，与AD和BC分别交于点E和点F，连结AP，CP。已知AE=4，EP=2，∠ABC=60°则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解析】过点P作PH∥BC，过点P作PM⊥AB于点M，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AD∥CB
∴四边形BHPF，四边形AHPE和四边形ABFE是平行四边形，
S△PHB=S△PBF，S△PAB=S△PBC，
∴S△PHA=S△PBC，
∴S阴影部分=S平行四边形AHPE=
∵平行四边形ABFE
∴∠ABC=∠AEP=60°，
在Rt△PME中，
PM=PEsin∠AEP=2sin60°=；
∴S平行四边形AHPE=S阴影部分=.
故答案为：B.
9．平行四边形 中， ， ， 交于点 ， 是 边上一点，连接 ，过点 作 并延长交 于点 ，交 于点 ，已知 ， ， ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 中正确的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】过A作AM⊥BC于M，
∵AB=AE，AM⊥BC，
∴∠BAM=∠EAM，即∠BAE=2∠EAM，
∴∠EAM+∠AEM=90°，
∵BF⊥AE，则∠BFE=90°，
∴∠CBH+∠AEM=90°，
∴∠CBH =∠EAM，
∴∠BAE=2∠EAM=2∠CBH，故结论①正确；
∵AF=3，FE=1，
∴AB=AE=4，
又∵Rt△ABF中，BF= ，
∴S△ABE= AE·BF= ×4× =2 ，故结论②正确；
如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，
则∠AMB=∠AME=∠BNG=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠MAC=∠NGC=45°，
由①知：∠MAE=∠NBG，
设∠BAM=∠MAE=∠NBG=α，
则∠BAG=45°+α，∠BGA=∠GCN+∠GBC=45°+α，
∴∠BAG=∠BGA，
∴AB=BG，
∴AE=BG，
在△AME和△BNG中，
，
∴△AME≌△BNG（AAS），
∴ME=NG，
在等腰Rt△CNG中，NG=NC，
∴GC= NG= ME= BE，
∴BE= GC，故结论③不正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAG=∠HCG，
∵∠BAG=∠BGA，∠BGA=∠HGC，
∴∠HCG=∠HGC，
∴GH=CH，故结论④正确；
综上，结论①②④正确，共3个，
故答案为：C.
10．在 中， 于 ， 是 的中点， ，若 ， ，则 的长是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】连接CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，DF⊥AB，AB=4，S ABCD=12，
∴ ，CD=AB=4，
∴DF=3，
在Rt△DCF中，CF= ，
延长FE和 CD相交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，E是AD的中点，
∴CD∥AB，DE=AE，
∴∠G=∠EFA，∠GDE=∠A，
∴△GED △FEA(AAS)，
∴ ，GE=FE，
∵EF⊥EC，
∴EC是线段GF的垂直平分线，
∴CF=CG=5，
∴AF=DG=CG-CD=5-4=1，
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则平行四边形ABCD的周长为 .
【答案】20
【解析】∵在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF＝60°，
∴∠AFB＝∠CEB＝90°，AD//CB，AB//CD，
∴∠CBF=∠AFB=90°，∠ABE=∠BEC=90°，
∴∠ABF=90°-∠EBF=30°，∠CBE=90°-∠EBF=30°，
∵在Rt△BCE中，CE＝2，
∴BC＝2CE＝4，
∴AD＝BC＝4，
∵DF＝1，
∴AF＝AD﹣DF＝3，
在Rt△ABF中，AB＝2AF＝6，
∴CD＝AB＝6，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，
故答案为：20.
12．如图，点E、F是平行四边形ABCD的边AB、DC上的点，F与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q若S△APD=14cm2，S△BCQ=16cm2，四边形PEQF的面积为 .
【答案】30cm2
【解析】如图，连接EF.
∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF=S△DEF，
即S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF，即S△APD=S△EPF=14cm2，
同理可得S△BQC=S△EFQ=16cm2，
∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=14+16=4=30cm2.
故答案为：30cm2.
13．在 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE的最小值为 .
【答案】4.8
【解析】∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OA＝OC，DE＝2OD，
∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，
过C作CF⊥AB于点F，则∠CFD＝∠EDF＝90°，
∵平行四边形ADCE中，AD∥CE，即AB∥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DE＝CF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
设BF＝x，则AF＝5﹣x，
∵BC2﹣BF2＝CF2＝AC2﹣AF2，
即62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，
解得，x＝3.6，
∴BF＝3.6，
∴CF＝ ，
∴DE的最小值为4.8.
故答案为4.8.
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C的坐标分别为A（0，4），B（－2，0），C（8，0），点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点，若△BEP是以BE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】（1,4）或（6,4）或（0,4）
【解析】 如图，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C的坐标分别为A（0，4），B（－2，0），C（8，0）
∴OA=4，OB=2，OC=8
BC=8-（-2）=10
∵点E是BC的中点
∴CE=
∴OE=8-5=3
∴点E（3,0）
∵△BEP是以BE为腰的等腰三角形
当BE=P1E=5时，过点P1作P1G⊥x轴
∴EG=
∴OG=3+3=6
∴点P1（6,4）；
当P2E=BE时，过点P2作P2H⊥x轴
HE=
∴OH=3-3=0，即点P2和点A重合
∴点P1（0,4）；
当BP=BE=5时，过点P作PH⊥x轴
∴BH=
∴OH=BH-OB=3-2=1
∴点P（1,4）
故点P的坐标为（6,4）;（0,4）；（1,4）
故答案为：（6,4）;（0,4）；（1,4）
15．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G是AD 上的任一点．计S1＝S△BEF，S2＝S△GFC，S＝S□ABCD，则S＝ S2＝ S1．
【答案】4；8
【解析】设平行四边形BC边上高为h，
∵ E，F分别为AB，BC的中点，
∴BF=CF=BC，BF边上的高为h，
∴S1=S△BEF=·BF·h=·BC·h=·BC·h，
S2=S△GFC=·CF·h=·BC·h=·BC·h，
S＝S□ABCD=BC·h，
∴S=4S2=8S1.
故答案为：4，8.
16．如图所示，在平行四边形中，点E在线段上且，点F是边的中点，若，，且，则的长是 .
【答案】
【解析】如图，过点作于点，过点作交于点，连接，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是三角形的中位线，
，，
，
点是边的中点，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，，
，
，
.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～24题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．我们将邻边之比为1:2的平行四边形成为“完美平行四边形”。在邻边之比不为1:2的平行四边形中，剪去一个完美平行四边形，余下一个四边形，我们称为第一次操作；在余下的四边形中再剪去一个完美平行四边形，又余下一个四边形，我们称为第二次操作；……以此类推。若第n次操作后余下的四边形是完美平行四边形，则称原平行四边形为n阶完美平行四边形。
（1）如图1，邻边相等的平行四边形就是 阶完美平行四边形
（2）如图2，小周动手操作发现：用两块含有30°的全等直角三角板拼成就可以拼成一个完美平行四边形。你认为小周的发现正确吗？请说明理由。
（3）现有一个平行四边形ABCD的邻边分别为1、a（a>2），且是2阶完美平行四边形，请画出平行四边形ABCD及裁剪示意图，并在相应图形的下方写出a的值。
【答案】（1）1
（2）解：正确
∵两块全等直角三角板
∴AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠DAC=30°，
∴CD：AD=1:2
∴四边形ABCD是完美平行四边形
（3）解：
18．如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）.
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的 时，求t的值.
【答案】（1）解：平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝ BC＝ cm，
∴BG＝ ＝ （cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6× ＝9 （cm2）.
答：平行四边形ABCD的面积为9 cm2；
（2）解：当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝ AF＝ （cm），
∴△AEF的面积为： ×AE×FH＝ ×2× ＝ （cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为 cm2；
（3）解：∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9 cm2.
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的 时，△AEF的面积为：9 × ＝3 （cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，（0＜t≤3），AE＝tcm，AF＝tcm，高为 AF＝ t（cm），
∴ ×t× t＝3 ，
∴t＝2 ＞3， ，不符合题意舍去；
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在CD上运动t秒，（3＜t≤6），
∴ ×t× ＝3 ，
∴t=4，符合题意；
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，（6＜t＜9）
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝ BE′＝ （t﹣6）（cm），E′H＝1.5 ﹣（t﹣6）＝ （9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9 ﹣ ×6× （t﹣6）﹣ ×[6﹣（t﹣3）]×[ （9﹣t）]﹣ （t﹣3）×1.5 ＝3 ，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴t=（不符合题意，舍）或t=，
当t=时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意.
综上所示，t的值为4或.
19．如图直角坐标系中直线AB与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已知B（0，4），∠BAO=30°，P，Q分别是线段OB，AB上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒），
（1）求线段AB的长，及点A的坐标；
（2）t为何值时，△BPQ的面积为2 ；
（3）若C为OA的中点，连接QC，QP，以QC，QP为邻边作平行四边形PQCD，是否存在时间t，使x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1：3两部分，若存在，求出t的值.
【答案】（1）解：∵ B（0，4），
∴OB=4，
∵在Rt△AOB中，∠B=30°，
∴AB=2OB=2×4=8，
∴，
∴点A（4 ，0）.
∴线段AB长为8，点A（4 ，0）.
（2）解：作QH⊥OB于H，
∵P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，
∴BQ=8t，OP=3t，
∴BP=4-3t，
∴QH=4 t，
×（4-3t）×4 t=2 ，
t1=1，t2=
t为1或秒时 △BPQ的面积为2 .
（3）解：连接PC，DQ，过点Q作QH⊥OB于H，
∵四边形CDPQ是平行四边形，
∴S△CPQ＝S△PCD，
∵x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1：3的两部分，
∴S△PCE＝S△DCE，
∴点E是DP的中点，
∵P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，
∴OP＝3t，
∴P（0，3t），
∴点D的纵坐标为 3t，
∵C（，0），
∴CP的中点F的纵坐标为，
∴点Q的纵坐标为6t，
由运动知，BQ＝8t，
∴BH＝4t，
∴点Q的纵坐标为4 6t，
∴6t＝4 4t，
∴t＝．
∴t的值为 秒.
20．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
（1）已知：如图1，四边形ABCD的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的5x7的网格中画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD，要求顶点D在网格格点上；
（2）如图2，矩形ABCD中，AB= ，BC=5，点E在BC边上，连结DE画AF DE于点F，若DE= CD，找出图中的等邻边四边形；
（3）如图3，在Rt ABC中， ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，求BM的长.
【答案】（1）解：3个不同形状的等邻边四边形ABCD如图所示：
（2）解：四边形ABEF和四边形ABED都是等邻边四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB= ，
∴DE= CD= ，
由勾股定理得，CE= = ，
∴BE=BC-CE=5- = ，
∴BE=AB，
∴四边形ABEF和四边形ABED都是等邻边四边形
（3）解：①当AM=AC时，BM=2；
②当DM=DC时，如图3，作DH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，
∴BC= ，∠B=30°，
∴BD=DM= ，
在Rt△BDH中，BH=BD×cosB= ，
∵DM=DB，DH⊥AB，
∴BM=2BH=3；
③当MA=MD时，如图4，作DH⊥AB于H，
设MA=MD=x，
由②得，BH= ，DH= ，
则MH=4-x- = -x，
在Rt△MDH中，DM2=MH2+DH2，即x2=（ -x）2+（ ）2，
解得，x= ，即AM= ，
∴BM=4- = ，
综上所述，当BM为2或3或 时，四边形ACDM是“等邻边四边形”.
21．如图1，在平面直角坐标系中，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点B，A。点P在线段OB上，且PB=m，点Q在直线AB上，Q的横坐标为m，连结PQ，以PQ，OQ作 PQOC。
（1）当m=3时，求点C的坐标；
（2）若 PQOC的面积等于18，求m的值；
（3）如图2，作点P关于原点O的对称点M，以BM为直角边在x轴下方作Rt△BMN，使得∠MBN=30°，∠BMN=90°，当点C恰好落在△BMN的一边上时，求m的值。
【答案】（1）解：由题意，得A(0，4)，B(8，0)，BO=8，OA=4，
当m=3时，Q(3，2.5)，
过Q，C分别作QM⊥OB于M，作CN⊥BO于N，
由平行四边形的性质可得CN=QM=2.5，PN=OM=3，
∵PB=m=3，
∴ON=2，
∴C(2，-2.5).
（2）解：由题意可知OP=8-m，QM= m+4，0≤m≤8，
∵S平行四边形PQOC=2S△OPQ，
∴(8-m)( m+4)=18，
解得：m1=2，m2=14(舍去)，
∴m=2
（3）解：在平行四边形PQOC中，O(0，0)，P(8-m，0)，Q(m， m+4)
∴C(8-2m， m-4)
∵M是P关于O的对称点，
∴M(m-8，0)
①当点C在MN上时，M，C的横坐标相同，m-8=8-2m，
解得m=
②当点C在BN上时，作CH⊥OB于H，
∵∠MBN=30°，CH= m+4，
∴BC=2×( m+4)，
∴由勾股定理，得BH= ( m+4)
∵OH=8-2m，
∴8-2m+ ( m+4)=8
解得m=
综上，当点C恰好落在△BMN的一边上时，m的值为上 或
22．如图1，已知平行四边形ABCD，BC∥x轴，BC＝6，点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（﹣3，﹣4），点C在第四象限，点P是平行四边形ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边CD上，BC＝CP，求点P的坐标；
（2）如图2，若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣x+1上，求点P的坐标；
（3）若点P在边AB，AD，BC上，点E是AB与y轴的交点，如图3，过点P作y轴的平行线PF，过点E作x轴的平行线E，它们相交于点F，将△PEF沿直线PE翻折，当点F的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）
【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC＝6，AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC
∵BC∥x轴，
∴AD∥x轴，
∵点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（﹣3，﹣4），点C在第四象限，
∴C（3，﹣4），D（7，4）
设直线CD解析式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
∴直线CD解析式为y＝2x﹣10，
∵点P在边CD上，BC＝CP，设P（t，2t﹣10），
则（t﹣3）2+[2t﹣10﹣（﹣4）]2＝36，
解得：t1＝ （舍去），t2＝ ，
∴P（ ， ）；
（2）解：∵A（1，4），B（﹣3，﹣4），D（7，4）
∴直线AB解析式为y＝2x+2，直线AD解析式为y＝4，
点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣x+1上，分两种情况：
①如图2，点P在边AB，AD上，点P关于x轴对称的点Q落在直线y＝﹣x+1上，
当点P在AB上时，设P（m，2m+2），则Q（m，﹣m+1）
∴2m+2+（﹣m+1）＝0，
解得m＝﹣3
∴P1（﹣3，﹣4），
当点P在AD上时，设P（m，4），则Q（m，﹣m+1）
∴4﹣m+1＝0，
解得：m＝5，
∴P2（5，4）
②如图3，点P在边AB，AD上，点P关于y轴对称的点Q落在直线y＝﹣x+1上，
当点P在AB上时，设P（m，2m+2），则Q（﹣2m﹣1，2m+2）
∴m﹣2m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
∴P3（﹣1，0）
当点P在AD上时，设P（m，4），则Q（﹣3，4），
∴m﹣3＝0，
解得：m＝3
∴P4（3，4），
综上所述，点P的坐标为：P1（﹣3，﹣4），P2（5，4），P3（﹣1，0），P4（3，4）；
（3）解：在y＝2x+2中，令x＝0，则y＝2，
∴E（0，2），
①若点P在边AB上，如图4设点P（m，2m+2），则F（m，2）
由翻折得：EF′＝EF＝﹣m，FF′⊥BE
设直线FF′解析式为y＝k′x+b′，则k′＝ ，
∴ m+b′＝2，解得：b′＝ m+2
∴直线FF′解析式为y＝ x+ m+2，
令y＝0，得x＝m+4，
∴F′（m+4，0），
在Rt△OEF′中，OE2+OF′2＝EF′2
∴22+（m+4）2＝（﹣m）2，
解得：m＝ ，
∴P（ ，﹣3），
②若点P在边AD上，如图5设P（m，4），则F（m，2），
由题意可知，△PEF沿直线PE翻折后，点F的对应点F′落在y轴上，
由翻折得：EF′＝EF＝m，∠PEF＝∠PEF′
∵EF⊥y轴
∴∠FEF′＝90°
∴∠PEF＝∠PEF′＝45°
∴△PEF是等腰直角三角形
∴EF＝PF，即m＝2
∴P（2，4），
③若点P在边BC上，如图6设PF交x轴于点G，P（m，﹣4），则F（m，2）
∴PF＝6，EF＝﹣m，PG＝4，
由翻折得：EF′＝EF＝﹣m，PF′＝PF＝6
∵PF⊥x轴
∴F′G＝ ，
∴F′（m+ ，0）
在Rt△OEF′中，OE2+OF′2＝EF′2
∴22+ ( m+ )2=m2，
解得：m＝ ，
∴P（ ，﹣4），
综上所述，点P的坐标为（ ，﹣3）或（2，4）或（ ，﹣4）．
23．已知：如图，∠EOF=60°，在射线OE上取一点A，使OA=10cm，在射线OF上取一点B，使OB=16cm.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP=1：2.设CQ=a（a＞0）.
（1）连接PQ，当a=2时，求线段PQ的长度.
（2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值.
（3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C′恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值.
【答案】（1）解：如图1，过A作AN⊥OB于N，过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ，
Rt△AON中，∠AOB=∠EOF=60°，OA=10，
∴ON= OA=5，AN=5 ，
同理得：CD=5，BD=5 ，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OB∥AC，
∴MQ=BD=5 ，
当a=2时，CQ=2，OP=4，
∴BM=DQ=5-2=3，
∴PM=PB+BM=16-4+3=15，
Rt△PMQ中，由勾股定理得：PQ= = =10 （cm）；
（2）解：分两种情况：
①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形，
∴PB=CQ，
即16-2a=a，
a= ；
②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形，
∴PB=CQ
即2a-16=a，
a=16，此时Q与A重合，
综上，a的值为 或16；
（3）解：分三种情况：
①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，
∴PB=QD，
16-2a=a-5，
3a=21，
a=7；
②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，
∵C与C'关于PQ对称，
∴PQ是CC'的垂直平分线，
∴PC=PC'，CQ=C'Q，
∴∠PCC'=∠PC'C，
∵AC∥OP，
∴∠PC'C=∠QCC'，
∴∠QCC'=∠PCC'，
∵CC'⊥PQ，
∴PC=CQ=a，
∵OP=2a，
∴BP=2a-16，
Rt△BCR中，∠CBR=60°，
∴∠BCR=30°，
∵BC=10，
∴BR=5，CR=5 ，
∴PR=5-（2a-16）=21-2a，
由勾股定理得： ，
a=14+2 （舍）或14-2 ；
③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、PC'、C'Q，
Rt△PBR中，∠PBR=60°，
∴∠BPR=30°，
∵PB=2a-16，
∴BR= BP=a-8，
同理得：CR= CQ= a，
∵BC=BR+CR，
∴a-8+ a=10，a=12，
综上，a的值为7或14-2 或12.
24．如图，在□ABCD中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，在射线CB上取一点E，使得BE=2BC=20. 当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E. 在线段QC上取点F，使得QF=2，连结PF，记AP= （ ）.
（1）①CF= （用含 的式子表示）
②若PF⊥BC，求BQ的长.
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出 的值.
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出 的值.
【答案】（1）解：①3x-2；
②过点A作AM⊥BC
∵∠BAC=90°，∠ABC=45°
∴AM= BC=5， ∠DAC=∠ACB=45°∴PG=AP=x，FG=CF=3x-2
∴PF=PG+FG=4x-2
∵AD//BC，PF⊥BC，AM⊥BC
∴PF=AM即4x-2=5，x=
∴BQ=10-3x=10-3
（2）解：①当点Q，F在线段BC上时
若四边形ABEP为平行四边形，则AP=BF即x=10-3x+2
解得x=3
②当点Q，F在线段CB延长线上时
同理AP=BF即x=3x-2-10
解得x=6
综上，当x=3或6时，以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形。
（3）解： 或
【解析】（1）①∵ BE=2BC=20，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，CE=30，AD∥BC，
∵ 当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E，
∴CQ=3AP=3x，
∵ QF=2，
∴CF=CQ-QF=3x-2，
故答案为：3x-2；
（3） 分两种情况讨论：
如图，当点Q，F在线段BC上时，
∵ ∠BAC=90°，∠ABC=45°，BC=10，
∴AB=AC=，
∵ AD∥BC，
∴∠PAF=∠AFB，
∵P、P′关于AF对称，
∴∠PAF=∠P′AF，
∴∠AFB=∠P′AF，
∴BF=AB，
∴10-（3x-2）=，
∴x=，
如图，当点Q，F在线段CB延长线上时 ，
∵ AD∥BC，
∴∠PAH=∠AFB，
∵P、P′关于AF对称，
∴∠PAH=∠P′AH，
∵∠P′AH=∠FAB，
∴∠AFB=∠FAB，
∴BF=AB，
∴3x-2-10=，
∴x=，
综上，x的值为或.
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