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解直角三角形 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知为锐角，，则的度数为
A． B． C． D．
解：为锐角，，
的度数为，
故选：．
2．（3分）在中，，若的三边都扩大3倍，则的值
A．放大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定
解：在中，，若的三边都扩大3倍，
变化后的三角形与原三角形相似，
根据相似三角形的对应角相等，
可知的大小没有发生变化，
的值不变．
故选：．
3．（3分）在中，，，则的值为
A． B． C． D．2
解：如图：
，
，
设，则，
，
．
故选：．
4．（3分）如图，在中，，，则的值为
A．2 B．3 C． D．
解：在中，，，
，
设，则，
，
则的值为：．
故选：．
5．（3分）已知为锐角，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
解：，，，
，
，
又一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，
，
故选：．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点，，连接交轴于点．若，则的值是
A． B． C． D．
解：作轴于点，
轴，
，
，
，，，
，，
，
故选：．
7．（3分）如图，、、在同一条直线上，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为
A． B． C． D．
解：，，
，
在中，
，
，
故选：．
8．（3分）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为
A．12米 B．米 C．米 D．米
解：米，迎水坡的坡比为，
，
米，
（米，
故选：．
9．（3分）如图，有一艘轮船由东向西航行，在处测得西偏北方向上有一灯塔，继续航行20海里后到处，又测得灯塔在西偏北方向上．如果轮船航向不变，则灯塔与轮船之间的最近距离是 海里．
A．10 B．15 C．13 D．8
解：如图：过作于，则的长就是灯塔与船之间的最近距离，
，
，，
，
海里，
在中，海里，，
（海里），
故选：．
10．（3分）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼的高度，工程师在得用高的测角仪，测得楼顶端的仰角为，然后向楼前进到达，又测得楼顶端的仰角为，楼的高为
A． B． C． D．
解：在中，，
，
在中，，
．
又，
即，
，
．
故选：．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）比较大小： ．
解：，
，
故答案为：．
12．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为 11.22 ．（结果精确到，参考数据：，，．
解：，，，
，
在中，，
，
故答案为：11.22．
13．（4分）在中，，若，则的值为 ．
解：令中，、、所对的边分别为、、，
，，
可设，，
，
，
故答案为：．
14．（4分）如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．
解：如图，
由题意得：斜坡的坡度：，米，，
，
米，
在中，（米，
故答案为：．
15．（4分） ．
解：原式
，
故答案为：．
16．（4分）如图，供给船要给岛运送物资，从海岸线的港口出发向北偏东方向直线航行到达岛．测得海岸线上的港口在岛南偏东方向．若，两港口之间的距离为，则岛到港口的距离是 25 ．
解：如图，过点作于点，则，
根据题意得：，
，
，
，，
．
故答案为：25．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）求出图中的正弦值、余弦值和正切值．
解：，，，
，
，，．
18．（6分）计算：．
解：原式
．
19．（8分）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，，，
解：如图，过点作，，垂足分别为，，
根据题意可知，，，，米，米，
，
，
（米，（米，
米，
，
米，
米，
在中，，米，
（米，
（米，
答：广告牌的高约为7.3米．
20．（8分）如图，已知在中，，，点在边上，，连接，．
（1）求边的长；
（2）求的值．
解：（1）设，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
解得，
；
（2）如图所示，过点作于，
由（1）得，，
，
在中，，
在中，，
，
．
21．（8分）如图，已知在中，，它的三边长分别为，，，对于同一个角的正弦，余弦存在关系式，试说明．
（1）在横线上填上适当内容；
解： ， ．
，
，．
（2）若为锐角，利用（1）的关系式解决下列问题．
①若，求的值；
②若，求的值．
解：（1），．
，
，
；
（2）①，
；
②，
，
，
，
，
．
故答案为，，．
22．（10分）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长200米，高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案：沿背水坡面用混泥土进行加固，加固后背水坡的坡比．
（1）求加固后坝底增加的宽度；（结果保留根号）
（2）求完成这项工程需要多少方混泥土？（结果精确到1立方米，
解：（1）过作的垂线，设垂足为．
在中，，
米，
米，
在中，
，
，
米，
米；
（2）平方米，
加宽部分的体积坝长立方米．
答：完成这项工程需要7300方混泥土．
23．（10分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，，在上，在上，支杆，，，，请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留根号）．
解：（1）过作于，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）过作交的延长线于，
，
，
答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．
24．（10分）某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上．
（1）求、之间的距离；
（2）若海监船由处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
解：（1）过点作交的延长线于，
设海里，
在中，，
则海里，
在中，，
则海里，（海里），
由题意得：，即，
解得：，
则海里，
答：、之间的距离为海里；
（2）海监船由处继续向东航行没有触礁危险，
理由如下：，
海监船由处继续向东航行没有触礁危险．
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第1章 解直角三角形 单元测试卷
满分：120分，时间：120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知为锐角，，则的度数为
A． B． C． D．
2．（3分）在中，，若的三边都扩大3倍，则的值
A．放大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定
3．（3分）在中，，，则的值为
A． B． C． D．2
4．（3分）如图，在中，，，则的值为
A．2 B．3 C． D．
5．（3分）已知为锐角，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点，，连接交轴于点．若，则的值是
A． B． C． D．
7．（3分）如图，、、在同一条直线上，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为
A． B． C． D．
8．（3分）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为
A．12米 B．米 C．米 D．米
9．（3分）如图，有一艘轮船由东向西航行，在处测得西偏北方向上有一灯塔，继续航行20海里后到处，又测得灯塔在西偏北方向上．如果轮船航向不变，则灯塔与轮船之间的最近距离是 海里．
A．10 B．15 C．13 D．8
10．（3分）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼的高度，工程师在得用高的测角仪，测得楼顶端的仰角为，然后向楼前进到达，又测得楼顶端的仰角为，楼的高为
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）比较大小： ．
12．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为 ．（结果精确到，参考数据：，，．
13．（4分）在中，，若，则的值为 ．
14．（4分）如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．
15．（4分） ．
16．（4分）如图，供给船要给岛运送物资，从海岸线的港口出发向北偏东方向直线航行到达岛．测得海岸线上的港口在岛南偏东方向．若，两港口之间的距离为，则岛到港口的距离是 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）求出图中的正弦值、余弦值和正切值．
18．（6分）计算：．
19．（8分）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，，，
20．（8分）如图，已知在中，，，点在边上，，连接，．
（1）求边的长；
（2）求的值．
21．（8分）如图，已知在中，，它的三边长分别为，，，对于同一个角的正弦，余弦存在关系式，试说明．
（1）在横线上填上适当内容；
解： ， ．
，
，．
（2）若为锐角，利用（1）的关系式解决下列问题．
①若，求的值；
②若，求的值．
22．（10分）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长200米，高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案：沿背水坡面用混泥土进行加固，加固后背水坡的坡比．
（1）求加固后坝底增加的宽度；（结果保留根号）
（2）求完成这项工程需要多少方混泥土？（结果精确到1立方米，
23．（10分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，，在上，在上，支杆，，，，请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留根号）．
24．（10分）某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上．
（1）求、之间的距离；
（2）若海监船由处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
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