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第2章 直线与圆的位置关系 单元测试卷
满分：120分，时间：120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
2．（3分）如图，，点在射线上，的半径为2，当与相切时，的长度为
A．3 B．4 C． D．
3．（3分）如图，在直线上有相距的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切．
A．3 B．2.5 C．3或2 D．3或2.5
4．（3分）如图，是的直径，、分别切于点、，若，则的度数是
A． B． C． D．
5．（3分）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是
A．7 B．8 C．9 D．16
6．（3分）如图，已知、分别为的直径和弦，为的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是
A．是的切线 B．直径长为
C．弦长为 D．为的中点
7．（3分）如图，，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为、、，则的面积为 （结果保留
A． B． C． D．
8．（3分）如图，一个油桶靠在直立的墙边为桶与墙壁触点，量得并且，则这个油桶的底面半径是
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点旋转得到矩形，使与相切于点，与相交于点，则的长是
A．3 B．4 C．6 D．8
10．（3分）如图，是的直径，线段与的交点是的中点，于点，连接，①；②；③；④是的切线，则上述结论中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，，是的切线，，是切点，若，则 ．
12．（4分）如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，以为直径作圆，当圆与矩形的边相切时，的长为 ．
13．（4分）如图，、分别切圆于、，并与圆的切线，分别相交于、，已知的周长等于，则 ．
14．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”
根据题意，该直角三角形内切圆的直径为 步．
15．（4分）一直角三角形的斜边长为，它的内切圆的半径是，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．
16．（4分）如图，四边形内接于圆，，，，，交于点，点是中点．延长，交于点，点在上，．则下列结论成立的是 （直接填写序号）．
①直线是的切线：
②是等腰三角形；
③图中共有3个等腰三角形：
④连接，则．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，中，，以为直径的交于，过作的切线，交的延长线于．求证：．
18．（6分）如图，、是的两条切线，是一条割线，是与的交点，若，，求的长．
19．（8分）如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
20．（8分）如图，为的直角边上一点以为直径的半圆与斜边相切于点，，交的延长线于点．已知．
（1）求的值．
（2）若，求的半径的长．
21．（8分）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，求的长．
22．（10分）如图，、、是的切线，点、、为切点．
（1）如果的周长为10，求的长；
（2）如果，
①求；
②连，，求．
23．（10分）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆交于点．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，若，求证：．
24．（10分）如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
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第2章 直线与圆的位置关系 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
解：圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离是，
圆的半径圆心到直线的距离，
直线于圆相切或相交，
故选：．
2．（3分）如图，，点在射线上，的半径为2，当与相切时，的长度为
A．3 B．4 C． D．
解：设与相切于点，连接，如图所示：
与相切于点，
，，
，
；
故选：．
3．（3分）如图，在直线上有相距的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切．
A．3 B．2.5 C．3或2 D．3或2.5
解：当点到的距离为时，与相切，
开始时点到的距离为5，
当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切，
或，
即与直线在2秒或3秒时相切．
故选：．
4．（3分）如图，是的直径，、分别切于点、，若，则的度数是
A． B． C． D．
解：连接，
、分别切于点、，
，
，
，
是的直径，
，
，
．
解法二：连接，．
，是的切线，，是切点，
，，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
，
故选：．
5．（3分）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是
A．7 B．8 C．9 D．16
解：、、、都和相切，
，，，．
，
．
故选：．
6．（3分）如图，已知、分别为的直径和弦，为的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是
A．是的切线 B．直径长为
C．弦长为 D．为的中点
解：连接，
是弧的中点，则，
是圆的切线．故正确；
（连接，，延长交于，连接，先证明，再证明，可得，由，，可得，可得结论），
即：，
，则．故正确；
是圆的直径．
，
垂直于的延长线于．
是弧的中点，则，
四边形是矩形．
．．
在直角中，根据勾股定理可得：．故正确；
在直角中，，，
则，
而是弧的中点．
弧弧．
故错误．
故选：．
7．（3分）如图，，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为、、，则的面积为 （结果保留
A． B． C． D．
解：连接、，
，，，
，
为的内切圆，、、为切点，
，，，，，
又，，
四边形为正方形，
设，
，；
，，
，
解得：，
则的面积为：．
故选：．
8．（3分）如图，一个油桶靠在直立的墙边为桶与墙壁触点，量得并且，则这个油桶的底面半径是
A． B． C． D．
解：过点作，过点作，与相交于点，如图，
油桶与墙相切，
点为油桶的底面圆的圆心，
，
四边形为矩形，
，
矩形为正方形，
，
即这个油桶的底面半径是．
故选：．
9．（3分）如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点旋转得到矩形，使与相切于点，与相交于点，则的长是
A．3 B．4 C．6 D．8
解：连接，作于点，
与相切于点，
，
矩形绕点旋转所得矩形为，
，，，
四边形和是矩形，，
，
，
．
故选：．
10．（3分）如图，是的直径，线段与的交点是的中点，于点，连接，①；②；③；④是的切线，则上述结论中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
解：是直径，
，
，故①正确；
连接，
点是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是圆的切线，故④正确；
为圆的直径，
，
，，
，
，
，选项②正确；
由为中点，且，
垂直平分，
，又，
，选项③正确；
故选：．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，，是的切线，，是切点，若，则 ．
解：，是的切线，，是切点，
，，
，
，
．
故答案为：．
12．（4分）如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，以为直径作圆，当圆与矩形的边相切时，的长为 或 ．
解：为直径的圆的圆心为，作于，于，如图，
设的半径为，
在矩形中，，，
，
当时，与相切，
，
，即，解得，
此时；
当时，与相切，
，
，即，解得，
此时；
综上所述，的长为或．
故答案为或．
13．（4分）如图，、分别切圆于、，并与圆的切线，分别相交于、，已知的周长等于，则 5 ．
解：如图，设与的切点为；
、分别是的切线，且切点为、；
；
同理，可得：，；
则的周长；
，
故答案为：5．
14．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”
根据题意，该直角三角形内切圆的直径为 4 步．
解：如图，，，，为的内切圆，分别与三边切于、、，
连接、，如图，设的半径为，
、与相切，
，，
四边形为矩形，
而，
矩形为正方形，
，
，，
，，
，，
，
，解得，
的直径为4．
故答案为4．
15．（4分）一直角三角形的斜边长为，它的内切圆的半径是，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．
解：设直角三角形的两条直角边是，，则有：
，
又，
，
直角三角形的面积是．
又内切圆的面积是，
它们的比是．
故答案是：．
16．（4分）如图，四边形内接于圆，，，，，交于点，点是中点．延长，交于点，点在上，．则下列结论成立的是 ①②④ （直接填写序号）．
①直线是的切线：
②是等腰三角形；
③图中共有3个等腰三角形：
④连接，则．
解：连接．
在和中，
，
，
，，
，
，
是直径，
，
，
，
是的切线，故①正确，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，故②正确，
图中，，，，都是等腰三角形，故③错误，
连接，过点作于点，
设，则，，
，
，，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，中，，以为直径的交于，过作的切线，交的延长线于．求证：．
证明：连接，
是圆的直径，
，
，
平分，
，
是的切线，
，
．
18．（6分）如图，、是的两条切线，是一条割线，是与的交点，若，，求的长．
解：连接交于，平分，而，
，
设，由切割线定理可知：．
在中，，即①，
在中，②，
又，而，
③，
由①②③得，
解得．
19．（8分）如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
解：（1）相切，理由如下，
如图，连接，
，，，，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）设的半径为，
在中，有，
，
，
，
，
，
，，
，
即，
在中，有，，
，
，，
在中，．
20．（8分）如图，为的直角边上一点以为直径的半圆与斜边相切于点，，交的延长线于点．已知．
（1）求的值．
（2）若，求的半径的长．
解：（1），
，
，
为的直径，，
是的切线，
是的切线，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，
，，
，
是的切线，
，
，
，
，
，即，
解得：，即的半径的长为．
21．（8分）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，求的长．
解：（1）的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，
在中，；
（2）是的内切圆，
，，，
设，，，
又，，，
，
解得，
；
22．（10分）如图，、、是的切线，点、、为切点．
（1）如果的周长为10，求的长；
（2）如果，
①求；
②连，，求．
解：（1）、、是的切线，点、、为切点，
，，，
的周长为10，
，
，
；
（2）①，
，
，
、、是的切线，点、、为切点，
，，
，
；
②
．
23．（10分）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆交于点．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，若，求证：．
（1）证明：如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
为的内心，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
过点作于，则，
，
，
．
24．（10分）如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
（1）证明：连接，如图，
，
，
，
又，
．
又，
，
，即，
，
又点在上，
是的切线；
（2）证明：，
，
又，
，
又，，
，
；
（3）解：，，，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：，
．
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