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第2章 一元二次方程 单元测试卷
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一元二次方程的二次项系数为
A．1 B．2 C．2022 D．2023
解：在一元二次方程中，二次项系数为1，
故选：．
2．（3分）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为
A．3 B．1 C． D．
解：把代入得，解得．
故选：．
3．（3分）方程的解是
A． B． C．， D．，
解：直接开平方得：，
方程的解为：，，
故选：．
4．（3分）小明解方程的过程如表所示，开始出现错误的是
解： 第一步 第二步 第三步 第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
解：，
，
，
，
，
所以，，
所以第四步出现错误．
故选：．
5．（3分）如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是
A． B． C． D．
解：，，，
△时，一元二次方程能用公式法求解，
故选：．
6．（3分）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是
A．11 B．11或12 C．12 D．10
解：由，
解得：或，
当第三边长为6时，
由三角形三边关系可知：，
故不能组成三角形，
当第三边为5时，
由三角形三边关系可知：，能够组成三角形，
这个三角形的周长为：，
故选：．
7．（3分）关于的一元二次方程，以下说法正确的是
A．没有实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个不相等实数根 D．根的情况与的取值有关
解：△，
关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．
故选：．
8．（3分）如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，设小路的宽为，则下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
解：设道路的宽米，
则．
故选：．
9．（3分）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则的值为
A．10 B．8 C．7 D．5
解：设金色纸边的宽度为厘米，
则，
化简为：，
解得：（不合题意舍去），，
故选：．
10．（3分）定义运算：，若，是方程的两根，则的值为
A． B．0 C．1 D．
解：，是方程的两根，
，
．
故选：．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为 3 ．
解：是一元二次方程的一个实数根，
，
，
故答案为：3．
12．（4分）若、是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是 6 ．
解：，
，
，
，，
方法垂线段最短，
面积的最大值是．
方法，，
当时，面积有最大值，是．
故答案为：6．
13．（4分）某种产品原来每件价格为800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元，每次降价的百分率是 ．
解：依题意，得．
．
，
，（舍去），
故答案为：．
14．（4分）若、是方程的两个根，则的值是 1 ．
解：、是方程的两个根，
．
故答案为：1．
15．（4分）已知：是关于的一元二次方程，则 ．
解：是关于的一元二次方程，
，，
解得：，
故答案为：．
16．（4分）已知实数，满足，那么 8 ．
解：设，则：
，
整理，得．
所以或（舍去）．
所以．
故答案为：8．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
或，
解得，；
（2）解：，
，，，
△，
，
，．
18．（6分）两个相邻正奇数的积为143，求这两个正奇数．
解：设这两个连续奇数为，，
根据题意，
，（舍去），
当时，；
答：两个连续奇数为11，13．
19．（8分）为执行国家新冠病毒核酸检测降价政策，给人民群众带来实惠，某地核酸检测（样本单采）自费价格经过两次降价，由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．
解：设平均每次降价的百分率，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：平均每次降价的百分率为．
20．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
解：设人行通道的宽度为米，依题意得，
，
解得，，
，
应舍去，
．
答：人行通道的宽度为5米．
21．（8分）已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程的根，则这个三角形的周长为多少？
解：解方程得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，
三角形的周长．
22．（10分）一个群里共有个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生756条消息
（1）列出关于的方程；
（2）将方程化为的形式，并指出，，的值．
解：（1）由题意可得：；
（2）
整理得：，
则，，．
23．（10分）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）的面积能否等于？请说明理由．
（2）几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．
解：（1）的面积不能等于，
理由如下：
，，
运动时间的取值范围为：，
根据题意可得：，，，
假设的面积等于，
则，
整理得：，
△，
所列方程没有实数根，
的面积不能等于；
（2）由（1）得：，，，运动时间的取值范围为：，
四边形的面积等于，
，
整理得：，
解得，，
或4时，四边形的面积等于．
答：或4秒后，四边形的面积等于．
24．（10分）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1500件，市场前期调查反映，如调整价格，每涨1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1200件．
（1）每件售价最高为多少元？
（2）实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每月销量比最低销量1200件多卖120件，要使利润达到25920元，则每件应降价多少元？
解：（1）设每件的售价为元，
依题意得：，
解得：．
答：每件售价最高为50元．
（2）设每件应降价元，则每件的销售利润为元，每月的销售量为件，
依题意得：，
解得：，．
又要尽快减少库存，
．
答：每件应降价8元．
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第2章 一元二次方程 单元测试卷
满分：120分，时间：120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一元二次方程的二次项系数为
A．1 B．2 C．2022 D．2023
2．（3分）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为
A．3 B．1 C． D．
3．（3分）方程的解是
A． B． C．， D．，
4．（3分）小明解方程的过程如表所示，开始出现错误的是
解： 第一步 第二步 第三步 第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
5．（3分）如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是
A． B． C． D．
6．（3分）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是
A．11 B．11或12 C．12 D．10
7．（3分）关于的一元二次方程，以下说法正确的是
A．没有实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个不相等实数根 D．根的情况与的取值有关
8．（3分）如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，设小路的宽为，则下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
9．（3分）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则的值为
A．10 B．8 C．7 D．5
10．（3分）定义运算：，若，是方程的两根，则的值为
A． B．0 C．1 D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为 ．
12．（4分）若、是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是 ．
13．（4分）某种产品原来每件价格为800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元，每次降价的百分率是 ．
14．（4分）若、是方程的两个根，则的值是 ．
15．（4分）已知：是关于的一元二次方程，则 ．
16．（4分）已知实数，满足，那么 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
18．（6分）两个相邻正奇数的积为143，求这两个正奇数．
19．（8分）为执行国家新冠病毒核酸检测降价政策，给人民群众带来实惠，某地核酸检测（样本单采）自费价格经过两次降价，由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．
20．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
21．（8分）已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程的根，则这个三角形的周长为多少？
22．（10分）一个群里共有个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生756条消息
（1）列出关于的方程；
（2）将方程化为的形式，并指出，，的值．
23．（10分）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）的面积能否等于？请说明理由．
（2）几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．
24．（10分）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1500件，市场前期调查反映，如调整价格，每涨1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1200件．
（1）每件售价最高为多少元？
（2）实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每月销量比最低销量1200件多卖120件，要使利润达到25920元，则每件应降价多少元？
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