1·3 二次根式的运算
第1课时 二次根式的乘除法
1．下列计算正确的是 ( )
A.＝±5 B.×＝
C.÷＝9 D.×＝6
2．下列计算不正确的是 ( )
A.×＝＝
＝×＝2×6＝12
B.×＝2021cnjy
C.×＝＝＝
D.＝＝＝＝
3．[2013·常德]×＋的结果为 ( )
A．－1 B．1
C．4－ D．7
4．[2012·杭州]已知m＝×(－2)，则有 ( )
A．5＜m＜6 B．4＜m＜5
C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5
5．计算÷×的值为 ( )
A. B.
C. D.
6．下列计算正确的是 ( )
A.×＝
＝400
B.＝＝＝2
C.＝＝25
D.＝＝300
7．计算：(1)[2013·吉林]×＝____．
(2)·(a≥0)＝____；
(3)×＝____．21cnjy
8．已知≈2.449，求下列各式的值(精确到0.01)．
(1)×；
(2).
9．计算：
(1)×.
(2)×.
(3)－5××3.
(4)·(b≥0)．
10．(1).(2).(3)÷.
11．下列各式计算正确的是 ( )
A．3×2＝5
B.＝×＝
C.＝＝
D．(a－1)＝－
＝－(a＜1)
12．若·的计算结果是一个整数，那么a的最小正整数值是 ( )
A．50 B．5
C．2 D．1021cnjy
13．如图1－3－1，每个小正方形的边长为1，连结大正方形的3个顶点，可得△ABC，则AC边上的高为 ( )
图1－3－1
A. B.
C. D.
14．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，…，那么第10个数据应是__ __．
15．设三角形的底边长是a，底边上的高是h，面积是S.
(1)如果a＝，h＝，求S；
(2)如果a＝2，S＝15，求h. 21cnjy
.
16．如图1－3－2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，S△ABC＝ cm2，BC＝ cm，CD⊥AB于点D，求AC，CD的长．
图1－3－2
17．阅读与解答：
古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p＝，则三角形的面积为S＝.21cnjy
请你解答：在△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝6，求△ABC的面积．
答案
1、D
【解析】 A不正确，结果应该为5；B不正确，结果应该为；C不正确，结果应该为3.
2、B
【解析】 B不正确，×＝＝20.选B.
3、B
4、A
【解析】 m＝×(－2)21*cnjy*com
＝＝×3＝2＝，
∵<<，
∴5＜＜6，即5＜m＜6.
6×2.449＝14.694≈14.69.
(2)原式＝＝＝ ≈×2.449≈2.04.
9、解：(1)×＝3 ×＝3 .21*cnjy*com
(2)×＝3 ×5 ＝30.
(3)－5××3＝－5××××3×3＝－30 .
(4) ·＝ ×
＝－.
10、解：(1)4；(2)；(3).
11、D
【解析】 A不正确，应为12；B不正确，应为；C不正确，无意义．
12、C
【解析】 ∵·＝＝，
∴a的最小正整数值是2.选C.
13、B
【解析】 ∵S△ABC＝4－×2×1－×2×1－×1×1＝4－1－1－＝，AC＝＝，21*cnjy*com
∴AC边上的高＝＝＝.
(2)h＝＝＝
16、解：∵S△ABC＝AC·BC，
∴AC＝＝＝2(cm)，
∴AB＝＝
＝＝3(cm)，
∴CD＝＝＝(cm)．
17、【解析】 先根据△ABC三边长求出p的值，然后再代入三角形面积公式中计算．
解：由题意，得a＝4，b＝5，c＝6，21*cnjy*com
∴p＝＝，
∴S＝
＝＝，
故△ABC的面积是.
第2课时 二次根式的四则混合运算
1．[2013·泰州]下列计算正确的是 ( )
A．4 －3 ＝1
B.＋＝
C．2 ＝
D．3＋2 ＝5 21世纪教育网
2．[2012·宜昌]下列计算正确的是 ( )
A.×＝1 B.－＝1
C.÷＝2 D.＝±2
3．[2013·荆州]计算4 ＋3 －的结果是 ( )
A.＋
B.
C.
D．－－
4．化简－(1－)的结果是 ( )
A．3 B．－3
C. D．－
5．计算(＋－)的结果是 ( )
A．6 B．4
C．2＋6 D．1221世纪教育网
6．计算(＋3)2×(－3)的值是 ( )
A.－3 B．3
C．－3 D.＋3
7．计算(2－)2－(2＋)2的结果是 ( )
A．0 B．－8
C．12 D．8
8．计算：(1)[2013·长沙]－＝____
(2)[2013·哈尔滨]－＝____．
(3)[2013·南京] －的结果是____.
(4)[2013·包头] －3＋＝____.
9．(1)[2013·宿迁]计算(－)＋的值是___ _.
(2)[2013·泰安]化简：(－)－－|－3|＝___ _．
10．[2012·德阳]有下列计算：①(m2)3＝m6，②＝2a－1，③m6÷m2＝m3，④×÷＝15，⑤2－2＋3＝14，21世纪教育网
其中正确的运算有__ __．
11．计算：(1)×.
(2)(5＋)(5－2)．
12．计算：(1)(1－2)(1＋2)－(2－1)2；
(2)|－4|－22＋.
13．已知a＝1＋，b＝，则a2＋b2－2a＋1的值为 ( )
A. B．5
C．10 D.
14．已知a＝＋1，b＝ ，则a与b的关系是 ( )
A．a＝b B．ab＝1
C．a＝－b D．ab＝－1
15．计算：
(1)(3＋2)2－(4＋)(4－)．
(2)÷2.
(3)(＋)(－)－(－)2－.21世纪教育网
(4)(－－1)×(＋－1)．
16．已知a＝2＋，b＝2－，试求－的值．
17．求当a＝－1时，代数式(a＋1)2－(a－)(a＋1)的值．
18．如图1－3－3，一个长方形被分割成四部分，其中图形①②③都是正方形，且正方形①②的面积分别为4和3，求图中阴影部分的面积．
图1－3－3
19．已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为 ( )
A．9
B．±3
C．3
D．5
20．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：21世纪教育网
设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．
请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝__ __，b＝____；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：____＋____
＝(____＋____)2；21世纪教育网
(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
答案
1、C
2、A
3、B
4、A
【解析】 原式＝－＋3＝3，选A.
5、D
【解析】 原式＝×＋×－×＝15＋3－6＝12.选D.
6、D
【解析】 原式＝(＋3)(10－9)＝＋3.选D.
7、B
【解析】 原式＝(4－4＋2)－(4＋4＋2) 21世纪教育网
＝(6－4)－(6＋4)＝－8.选B.
8、，，，
【解析】 (1)－＝2－＝(2－1)＝.填.
9、2，－6
10、①④⑤
11、解：(1)原式＝－5
＝－5＝－15.
(2)原式＝25－10＋5×－×2＝
25－10＋10－6＝19；21世纪教育网
13、B
【解析】 原式＝(a－1)2＋b2
＝()2＋()2＝5.选B.
14、A
【解析】 b＝＝＋1＝a，故选A.
15、解：(1)原式＝9＋12＋20－(16－5)
＝18＋12；
(2)原式＝÷2＝.21世纪教育网
(3)原式＝(3－2)－(3＋2－2)－2
＝1－5＋2－2
＝－4.
(4)(－－1)×(＋－1)
＝[(－1)－]×[(－1)＋]
＝(－1)2－()2
＝5－2＋1－3
＝3－2.
16、解：因为a＋b＝2＋＋2－＝4，
a－b＝2＋－(2－)＝2 ，
ab＝(2＋)(2－)＝1，
所以－＝＝＝＝8.
17、解：∵a＝－1，21世纪教育网
∴a＋1＝，a－＝－1，
∴正方形③的边长为2－，
∴阴影部分的面积＝(2－)[－(2－)]
＝(2－)(2－2)
＝6－10.
19、C
【解析】 ＝
＝
＝＝＝3，选C. 21世纪教育网
20、（1）m2＋3n2 ，2mn
（2）4，2，1，1
（3）解：根据题意，得
∵2mn＝4，且m，n均为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝7或13.
第3课时 二次根式的应用
1．要焊接一个如图1－3－4所示的钢架，需要的钢材长度是(单位：m) ( )
图1－3－4
A．3＋7 B．5＋7
C．7＋3 D．3＋5
2．[2013·聊城]河堤横断面如图1－3－5所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为( )米 ( )
图1－3－5
A．12 B．4
C．5 D．6 21*cnjy*com
3．[2013·山西]如图1－3－6，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为 ( )
图1－3－6
A．100 m B．50 m
C．50 m D. m
4．图1－3－7是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是__ __m.
图1－3－7
5．[2013·湘西]钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图1－3－8，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．21*cnjy*com
图1－3－8
(1)请在图中作出该船在点B处的位置；
(2)求钓鱼岛C到B处的距离(结果保留根号)．
6．某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，如图1－3－9所示，已知AC＝BC＝8 m，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.
图1－3－9
(1)求∠ACB的大小；
(2)求AB的长度．21*cnjy*com
7．[2013·呼和浩特]如图1－3－10，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10千米，∠A＝30°，∠B＝45°.则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果保留根号)
图1－3－10
8．如图1－3－11，四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，则该四边形的面积是____．
图1－3－11
9．如图1－3－12所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，现测得AC＝30 m，BC＝70 m，∠CAB＝120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．21*cnjy*com
图1－3－12
图1－3－13
10．如图1－3－13所示，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点320千米处．
(1)说明本次台风会影响B市；
(2)求这次台风影响B市的时间．21*cnjy*com
11．如图1－3－14所示，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶.
图1－3－14
(1)求加固后坝底增加的宽度AF；
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米．(结果保留根号)
答案
1、A
【解析】 由题意得AB＝＝＝＝2 ，BC＝＝＝，
∴AB＋BC＋AC＋BD＝2＋＋5＋2＝3＋7.
2、A
3、A21*cnjy*com
4、5
【解析】 过C作CE⊥AB的延长线于点E，
则∠CBE＝45°，∴CE＝BE，设CE＝x，
则x2＋x2＝(5)2，∴x＝5.
5、解：(1)如图所示：
第5题答图
∴∠B＝30°.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－30°＝120°.
(2)∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AB＝2AD. 21*cnjy*com
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝8，
∴CD＝AC＝×8＝4，
∴AD＝＝＝4，
∴AB＝2AD＝8(m)．
7、解：如图，作 CD⊥AB，垂足为D.在Rt△ACD 中，
第7题答图
∵∠A＝ 30°，
∴CD＝AC＝5，
∴AD＝5.
∵∠B＝ 45°，∴BD＝CD＝ 5，BC＝5.
∴ AC＋BC－AB＝10＋5－(5＋5)＝(5＋5－5)千米．
答：汽车从A地到B 地比原来少走(5＋5－5)千米．
8、
【解析】 如图，延长DA、CB交于点E，21*cnjy*com
第8题答图
则∠ABE＝60°，∴∠E＝30°.
∵AB＝4，∴BE＝8，∴AE＝4.
在Rt△DEC中，∠E＝30°，
∴CE＝CD＝5，
∴S△ABE＝×4×4＝8，21*cnjy*com
S△CDE＝×5×5＝，
∴该四边形的面积为－8＝.
9、解：过点C作CD⊥直线AB，垂足为D，
∵AC＝30 m，
∠CAB＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝15 m，CD＝15 m.
在Rt△BDC中，
BD＝＝＝65(m)，
∴AB＝BD－AD＝65－15＝50(m)．
答：A，B两个凉亭之间的距离为50 m
10、解：(1)如答图所示，作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，∠BPQ＝30°，21*cnjy*com
第10题答图
∴BH＝PB＝160＜200，
∴本次台风会影响B市．
(2)如答图所示，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
由(1)，得BH＝160，
由已知条件，得
BP1＝BP2＝200，
∴P1P2＝2＝240，21*cnjy*com
∴台风影响B市的时间t＝＝8(时)．
∴AH＝DH＝10.在△EFG中，i＝1∶＝，
∴FG＝EG＝10，
∴AF＝FG＋GH－AH＝10＋3－10＝10－7.
第11题答图
(2)设防洪堤长为l，则加固部分主体的体积V＝S梯形AFED×l＝(3＋10－7)×10×500＝25 000－10 000. 21*cnjy*com
答：加固后坝底增加的宽度为(10－7)米，需要土石(25 000－10 000)立方米．
