5·2 菱形__
第1课时 菱形的性质
1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相平分21世纪教育网版权所有
D．对角互补
2．在菱形ABCD中，AB＝5 cm，则此菱形的周长为 ( )
A．5 cm B．15 cm
C．20 cm D．25 cm21世纪教育网版权所有
图5－2－1
3．如图5－2－1，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是 ( )
A．24
B．16
C．4
D．221世纪教育网版权所有
4．如图5－2－2所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是 ( )
图5－2－2
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD 21世纪教育网版权所有
D．OA＝OC
5．如图5－2－3所示，两条笔直的公路l1，l2相交于点A，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离为 ( )
图5－2－321世纪教育网版权所有
A．3公里 B．4公里
C．5公里 D．6公里
6．已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是 ( )
A．12 cm2 B．24 cm2
C．48 cm2 D．96 cm221世纪教育网版权所有
7．若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是__ __．
8．如图5－2－4所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B＝60°，则菱形的面积为__ __．21世纪教育网版权所有
图5－2－421世纪教育网版权所有
9．如图5－2－5所示，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为__ cm2.
图5－2－5
10．如图5－2－6，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE＝AF.求证：BE＝BF. 21世纪教育网版权所有
图5－2－6
11．如图5－2－7所示，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE. 21世纪教育网版权所有
图5－2－7
(1)求证：BD＝EC；21世纪教育网版权所有
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
12．已知：如图5－2－8，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC. 21世纪教育网版权所有
图5－2－8
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．21世纪教育网版权所有
13．如图5－2－9，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连结OH，求证：∠DHO＝∠DCO. 21世纪教育网版权所有
图5－2－9
14．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图5－2－10①所示，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图5－2－10②所示，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
① ②
图5－2－10
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参考答案
1、【答案】A
【解析】 菱形的对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质．
2、【答案】C
3、【答案】C21世纪教育网
【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝4，∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，OB＝BD＝2，AB＝BC＝CD＝AD，∴在Rt△AOB中，AB＝＝，∴菱形的周长是：4AB＝4.
7、【答案】3
8、【答案】8
9、【答案】221世纪教育网
【解析】 在三角形ADE中，DE＝＝＝，∴菱形ABCD的面积为AB·DE＝2×＝2.
10、【答案】
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵△ABF和△CBE中，21世纪教育网
∴△ABF≌△CBE(SAS)，∴BE＝BF.
11、【答案】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，21世纪教育网
∴AB＝CD，AB∥CD.又∵BE＝AB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC. 21世纪教育网
(2)∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
13、【答案】
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB于H，∴∠DHB＝90°，
∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.
14、【答案】21世纪教育网
证明：(1)连结AC，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC.
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°－60°＝30°，∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°，∴∠FEC＝∠EFC，
∴CE＝CF.∵BC＝CD，21世纪教育网
∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
(2)连结AC，由(1)，得△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，21世纪教育网
∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ACF＝∠BCD＝∠B＝60°，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形．21世纪教育网
第2课时 菱形的判定
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是 ( )
A．两条对角线相等
B．两条对角线互相垂直21世纪教育网版权所有
C．两条对角线互相垂直平分
D．两条对角线相等且互相垂直
2．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是
( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD21世纪教育网版权所有
3．如图5－2－11，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ABCD为菱形的是 ( )
图5－2－11
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°21世纪教育网版权所有
4．如图5－2－12所示，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( )
图5－2－12
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
5．对角线互相__ _的平行四边形是菱形．21世纪教育网版权所有
6．为迎接新学期，小华为班级设计了一个班徽，图中有一菱形，为了检验小华所画的是否是菱形，请你以带刻度的三角尺为工具，帮小华设计一个检验方案：__ __．
7．如图5－2－13，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件 ，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可) 21世纪教育网版权所有
图5－2－13
图5－2－14
8．如图5－2－14，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是__ (写出一个即可)．21世纪教育网版权所有
9．如图5－2－15所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．
求证：四边形AEDF是菱形．
图5－2－15
10．如图5－2－16所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点A，D作AE∥BD，DE∥AC交于点E，求证：四边形AODE是菱形．21世纪教育网版权所有
图5－2－16
11．如图5－2－17，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC外角的平分线，
已知∠BAC＝∠ACD. 21世纪教育网版权所有
图5－2－17
(1)求证：△ABC≌△CDA；
(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．
12．如图5－2－18所示，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G. 21世纪教育网版权所有
图5－2－18
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．21世纪教育网版权所有
13．如图5－2－19所示，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上任意一点，则PK＋QK的最小值为( B )
图5－2－19
A．1 B.
C．2 D.＋121世纪教育网版权所有
14．如图5－2－20，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去….则四边形A2B2C2D2的周长是__20__，四边形A2013B2013C2013D2013的周长是____．21世纪教育网版权所有
图5－2－2021世纪教育网版权所有
参考答案
1、【答案】C
2、【答案】C
3、【答案】A21世纪教育网版权所有
【解析】 ∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB綊CD，∴四边形ABCD是平行四边形．当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形．
4、【答案】B
【解析】 四边相等的四边形是菱形．由作图知AD＝BD＝BC＝AC，可知四边形ADBC一定是菱形．
9、【答案】21世纪教育网版权所有
证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．又∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AB＝AC，∴AE＝AF，∴平行四边形AEDF是菱形．
10、【答案】
证明：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四边形AODE是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OD.
∴四边形AODE是菱形．
11、【答案】21世纪教育网版权所有
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠FAC＝∠B＋∠ACB＝2∠ACB，AD平分∠FAC，∴∠FAC＝2∠CAD，∴∠CAD＝∠ACB，
∵在△ABC和△CDA中，
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∴△ABC≌△CDA；
(2)∵∠FAC＝2∠ACB，∠FAC＝2∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形．21世纪教育网版权所有
13、【答案】B21世纪教育网版权所有
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝180°－∠A＝180°－120°＝60°.作点P关于直线BD的对称点P′，连结P′Q，PP′，P′C，则P′Q的长即为PK＋QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，即CP′⊥AB时PK＋QK的值最小，在Rt△BCP′中，∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，∴BP′＝BC＝1，
∴CP′＝＝.
14、【答案】2021世纪教育网版权所有
【解析】 ∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1＝5，C1D1＝AC＝5，
A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2＝5，21世纪教育网版权所有
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4＝20，
同理可得出：A3D3＝5× ，C3D3＝AC＝×5，A5D5＝5×，C5D5＝
×5，…21世纪教育网版权所有
∴四边形A2013B2013C2013D2013的周长是：＝，故答案为：20，.21世纪教育网版权所有
