5·3 正方形__
第1课时 正方形的判定
1.下列命题中,真命题是 ( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形21世纪教育网版权所有
2.如图5-3-1,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是 ( )
图5-3-1
A.BC=AC B.CF⊥BF
C.BD=DF D.AC=BF21世纪教育网版权所有
3.如图5-3-2,四边形ABCD是平行四边形,下列说法不正确的是 ( )
图5-3-2
A.当AC=BD时,四边形ABCD是矩形21世纪教育网版权所有
B.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形
C.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形
D.当∠DAB=90°时,四边形ABCD是正方形
4.如图5-3-3,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是__AC=BD或AB⊥BC等__.21世纪教育网版权所有
图5-3-3
5.如图5-3-4所示,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形,则这个条件是 (只填一个条件即可,答案不唯一).21世纪教育网版权所有
图5-3-4
6.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条件可以是__
7. 如图5-3-5,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∠A=90°,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.试说明四边形AEDF是正方形.21世纪教育网版权所有
图5-3-5
8.如图5-3-6,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:∠ADB=∠CDB;21世纪教育网版权所有
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.
图5-3-6
9.如图5-3-7所示,四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的.
求证:四边形EFGH是正方形.21世纪教育网版权所有
图5-3-7
10.如图5-3-8,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F. 21世纪教育网版权所有
图5-3-8
(1)求证:四边形CDOF是矩形;21世纪教育网版权所有
(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.
11.如图5-3-9,在△ABC中,点D是边BC的中点,DE⊥AC、DF⊥AB,垂足分别是E、F,且BF=CE.
图5-3-9
(1)求证:DE=DF;21世纪教育网版权所有
(2)当∠A=90°时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,并证明你的结论.
12.如图5-3-10所示,顺次延长正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH.
求证:四边形EFGH是正方形.21世纪教育网版权所有
图5-3-10
13. 如图5-3-11,以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE,四边形ADFE是平行四边形.21世纪教育网版权所有
(1)当∠BAC满足什么条件时,四边形ADFE是矩形;
(2)当∠BAC满足什么条件时,平行四边形ADFE不存在;21世纪教育网版权所有
(3)当△ABC分别满足什么条件时,平行四边形ADFE是菱形?正方形?
图5-3-11
参考答案
1、【答案】C
2、【答案】D
【解析】 根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC进而得出四边形BECF是菱形.由菱形的性质,以及菱形与正方形的关系分别分析得出结论.21世纪教育网版权所有
3、【答案】D
5、【答案】∠BAD=90°或AC=BD等21世纪教育网版权所有
【解析】 要使菱形成为正方形,只要菱形满足以下条件之一即可,(1)有一个内角是直角,(2)对角线相等,即∠BAD=90°或AC=BD等.
6、【答案】AB=AD或AC⊥BD等
【解析】 由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形,根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形,得到应该添加的条件为:AB=AD或AC⊥BD等.
8、【答案】
证明:(1)∵BD平分∠ABC,21世纪教育网版权所有
∴∠ABD=∠CBD.
又∵BA=BC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.
∴∠ADB=∠CDB.
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°,又∵∠ADC=90°,
∴四边形MPND是矩形.
∵∠ADB=∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD,21世纪教育网版权所有
∴PM=PN.∴四边形MPND是正方形.
9、【答案】
证明:∵矩形ABCD的外角都是直角,HE,EF都是外角平分线,∴∠BAE=∠ABE=45°.∴∠E=90°.同理,∠F=∠G=90°.∴四边形EFGH为矩形.∵AD=BC,∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°,∴△ADH≌△BCF(AAS).∴AH=BF.又∵∠EAB=∠EBA,∴AE=BE.∴AE+AH=EB+BF,即EH=EF.∴矩形EFGH是正方形.21世纪教育网版权所有
11、【答案】
解:(1)证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°.在Rt△BDF和Rt△CDE中,∵
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL),∴DE=DF. 21世纪教育网版权所有
(2)四边形AFDE是正方形.证明:∵∠A=90°,
DE⊥AC,DF⊥AB,∴四边形AFDE是矩形,
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE,∴DF=DE,
∴四边形AFDE是正方形.
12、【答案】
证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG,又
∵BE=CF=DG=AH,21世纪教育网版权所有
∴CG=DH=AE=BF,21世纪教育网版权所有
∴△AEH≌△CGF≌△DHG≌△BFE,
∴EF=FG=GH=HE,∠EFB=∠HEA,∴四边形EFGH为菱形,∵∠EFB+∠FEB=90°,∠EFB=∠HEA,∴∠FEB+∠HEA=90°,即∠HEF=90°,∴四边形EFGH是正方形.21世纪教育网版权所有
第2课时 正方形的性质
1.如图5-3-12所示,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为 ( )
图5-3-12
A.60° B.30° C.45° D.90°21世纪教育网版权所有
2.正方形具有而一般菱形不具有的性质是 ( )
A.四条边都相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线相等21世纪教育网版权所有
D.每一条对角线平分一组对角
3.如图5-3-13所示,正方形ABCD的对角线相交于点O,则图中等腰直角三角形有 ( )
图5-3-13
A.4个 B.6个
C.8个 D.10个21世纪教育网版权所有
4.如图5-3-14所示,将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,得折痕BE、BF,则∠EBF的大小为 ( )
图5-3-14
A.15° B.30°21世纪教育网版权所有
C.45° D.60°
5.如图5-3-15所示,四边形ABCD是正方形,延长AB到E,使AE=AC,则∠BCE的度数是_ _.
图5-3-1521世纪教育网版权所有
6.如图5-3-16所示,正方形ABCD的边长为a,点E,F分别是对角线BD上的两点,过点E,F分别作AD,AB的平行线,则图中阴影部分的面积之和为 _.
图5-3-16
7.如图5-3-17,过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E. 21世纪教育网版权所有
图5-3-17
(1)判断四边形ACED的形状,并说明理由;
(2)若BD=8 cm,求线段BE的长.21世纪教育网版权所有
8.如图5-3-18所示,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连结EB,ED.
图5-3-18
(1)求证:△BEC≌△DEC;
(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°,求∠AFE的度数.
9.如图5-3-19所示,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连结DF,AE,AE的延长线交DF于点M.求证:AM⊥DF. 21世纪教育网版权所有
图5-3-19
10.如图5-3-20,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为 ( )
图5-3-20
A.1 B. 21世纪教育网版权所有
C.4-2 D.3-4
11.如图5-3-21,已知正方形ABCD的边长为1,连结AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=_ _.21世纪教育网版权所有
图5-3-21
第11题答图
12.如图5-3-22(1),在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE. 21世纪教育网版权所有
(1) (2)
图5-3-22
(1)求证:AF=BE;21世纪教育网版权所有
(2)如图5-3-22(2),在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.
参考答案
1、【答案】C
【解析】 正方形的对角线与边的夹角为45°.
2、【答案】C21世纪教育网版权所有
【解析】 正方形既具有矩形的性质,又具有菱形的性质,故选C.
3、【答案】C
【解析】 图中等腰直角三角形有△AOB,△BOC,△COD,△AOD,△ABD,△BCD,△ADC,△ABC,共8个.
4、【答案】C21世纪教育网版权所有
【解析】 由折叠的性质,可知∠ABE=∠DBE,∠DBF=∠CBF,∴∠EBF=∠ABC=×90°=45°.选C.
6、【答案】a2
7、【答案】
解:(1)四边形ACED是平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,即AD∥CE,
∵DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形.
(2)由(1)知,BC=AD=CE=CD,∵BD=8 cm,
∴BC=·BD=×8=4(cm),21世纪教育网版权所有
∴BE=BC+CE=4+4=8(cm).
8、【答案】
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=CB.∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠DCE=∠BCE.又CE=CE,21世纪教育网版权所有
∴△BEC≌△DEC.
(2)由(1)知△BEC≌△DEC,∴∠DEC=∠BEC=∠DEB=70°,∴∠AEF=∠BEC=70°.又∵AC是正方形ABCD的对角线,∠DAB=90°,∴∠DAC=∠BAC=∠DAB=45°.在△AEF中,∠AFE=180°-70°-45°=65°.
10、【答案】C
【解析】 在正方形ABCD中,∠ABD=∠ADB=45°,∵∠BAE=22.5°,∴∠DAE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,在△ADE中,∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°,∴∠DAE=∠AED,∴AD=DE=4.∵正方形的边长为4,∴BD=4,∴BE=BD-DE=4-4.∵EF⊥AB,∠ABD=45°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴EF=BE=×(4-4)=4-2.故选C.
11、【答案】-121世纪教育网版权所有
【解析】 过E作EF⊥DC于F,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵CE平分∠ACD交BD于点E,∴EO=EF,∵正方形ABCD的边长为1,∴AC=,∴CO=AC=,∴CF=CO=,∴EF=DF=DC-CF=1-,∴DE==-1,故答案为:-1.
12、【答案】
解:(1)设AF与BE交于点G,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠D=90°,∴在Rt△ADF中,∠FAD+∠AFD=90°.∵AF⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠FAD+∠AEG=90°.
∴∠AFD=∠AEG.∴△DAF≌△ABE.
∴AF=BE. 21世纪教育网版权所有
第12题答图(1)