本章复习课
类型之一 矩形、菱形与正方形的有关命题
1．下列命题中假命题是 ( )
A．平行四边形的对边相等
B．正方形的对角线垂直平分且相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．矩形的对角线互相垂直
2．在平面中，下列命题为真命题的是 ( )
A．四个角相等的四边形是矩形
B．对角线垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．四边相等的四边形是正方形
类型之二 矩形的性质与判定1世纪教育网版权所有
3．已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
图5－1
(1)求证：四边形ADBE是矩形；1世纪教育网版权所有
(2)求矩形ADBE的面积．
4．如图5－2，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°.
(1)若∠ECF＝30°，CF＝8，求CE的长；
(2)求证：△ABF≌△DEC；1世纪教育网版权所有
(3)求证：四边形BCEF是矩形．
图5－2
类型之三 菱形的性质与判定1世纪教育网版权所有
5．矩形具有而菱形不具有的性质是 ( )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
6．如图5－3，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④FH＝BD. 1世纪教育网版权所有
其中正确的结论为 (请将所有正确结论的序号都填上)．
图5－3
7．已知：如图5－4所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE ＝ AF. 1世纪教育网版权所有
图5－4
(1)求证：BE ＝ DF；
(2)连结AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连结EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并证明你的结论．1世纪教育网版权所有
类型之四 正方形的性质与判定
8．如图5－5，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是__10__．
图5－5
9．如图5－6所示，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使CD＝CE，过点E作EF⊥AC交AD于点F. 1世纪教育网版权所有
图5－6
求证：AE＝EF＝DF.
10．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB延长线上的点，且DE＝BF，连结AE、AF、EF. 1世纪教育网版权所有
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)填空：△ABF可以由△ADE 绕旋转中心________点，按顺时针方向旋转________度得到；
(3)若BC＝8，DE＝6，求△AEF 的面积．
图5－7
11．如图5－8，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE. 1世纪教育网版权所有
图5－8
(1)求证：四边形BECF是菱形；
(2)若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．
12．已知：如图5－9所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E. 1世纪教育网版权所有
图5－9
(1)求证：四边形ADCE为矩形；1世纪教育网版权所有
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
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参考答案
1、【答案】D
2、【答案】A1世纪教育网版权所有
4、【答案】
(1)∵∠CEF＝90°，∠ECF＝30°，CF＝8.
∴CE＝8×＝4.1世纪教育网版权所有
(2)证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABF和△DEC中，
∴△ABF≌△DEC(SAS)．
(3)证明：由(2)可知：△ABF≌△DEC，∴BF＝CE，∠AFB＝∠DCE，∴∠BFC＝∠ECF，∴BF∥EC.∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠CEF＝90°，∴四边形BCEF是矩形．
5、【答案】B
6、【答案】①③④1世纪教育网版权所有
【解析】 ∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F
为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE＝AB，
∴∠AEF＝∠BAC＝30°，∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，1世纪教育网版权所有
∴HF＝BD，故④说法正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝∠BAC＋∠CAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠AEF，∴△DBF≌△EFA(AAS)，∴AE＝DF，∵FE＝AB，AB＝AD，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形，故②说法不正确；∴AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③说法正确．
8、【答案】10
【解析】如图，连结DE，交AC于P，连结BP，则此时PB＋PE的值最小．
第8题答图
∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PB＋PE＝PD＋PE＝DE.∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6，AD＝AB＝8，∴DE＝＝＝10，故PB＋PE的最小值是10.
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9、【答案】求证：AE＝EF＝DF.
证明：连结CF.在正方形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AC平分∠DAB.
∴∠DAC＝∠CAB＝45°.又∵EF⊥AC，∴∠DAC＝∠AFE＝45°，∴AE＝EF.在Rt△CEF和Rt△CDF中，
∵CE＝CD，CF＝CF，∴Rt△CEF≌Rt△CDF(HL)，∴EF＝DF，∴AE＝EF＝DF.
11、【答案】(1)证明：∵BC的垂直平分线EF交BC于点D，∴BF＝FC，BE＝EC.又∵∠ACB＝90°，∴EF∥AC.∴BE∶AB＝DB∶BC，∵D为BC的中点，
∴DB∶BC＝1∶2，∴BE∶AB＝1∶2，∴E为AB的中点，即BE＝AE，∵CF＝AE，∴CF＝BE，
第11题答图
∴CF＝FB＝BE＝CE，∴四边形BECF是菱形．
(2)如图，∵四边形BECF为正方形，∴∠BEC＝90°.又AE＝CE，∴∠A＝45°.
