2022-2023学年浙教版八年级下第1章 二次根式 单元检测卷（2）（含解析）

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2022-2023学年浙教版八年级下第1章 二次根式 单元检测卷（2）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算：（1）（）2＝2，（2）＝2，（3）（﹣2）2＝12，（4）（+1）（﹣1）＝1．其中结果正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．计算的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
4．若，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
5．（a﹣1）变形正确的是（　　）
A．﹣1 B． C．﹣ D．﹣
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b
7．若式子+有意义，则点P（a，b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（　　）
A． B． C． D．
9．若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．等腰三角形的两条边分别为和，则这个三角形的周长为（　　）
A．+ B．+
C．+或+ D．+或+
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算：＝　 　，＝　 　，＝　 　．
12．在式子中，x的取值范围是　 　．
13．已知＝1.536，＝4.858．则＝　 　．若＝0.4858，则x＝　 　．
14．x，y为实数，且，化简：＝　 　．
15．观察分析，探究出规律，然后填空：，2，，2，，2，…　 　（第n个数）
16．计算的结果是 　 　．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（12分）计算题．
（1）（﹣）﹣（2﹣）；
（2）4+﹣+4；
（3）（﹣）2+（+）（﹣）；
（4）（2+3）2007 （2﹣3）2008．
18．（8分）对实数a，b，定义：a■b＝a2b﹣ab+b，如：3■2＝32×2﹣3×2+2＝14．
（1）求（﹣3）■的值；
（2）若2■m＜﹣6，试化简：+．
19．（8分）已知：，求下列代数式的值．
（1）x2+y2；
（2）．
20．（6分）如图在四边形ABCD中AB＝BC＝，CD＝，AD＝1且AB⊥CB，试求四边形ABCD的面积（提示：连接AC）．
21．（10分）观察下列各式：＝；＝；
＝；
（1）按上述两个等式的特征，请猜想5＝　 　；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数且n≥2）表示的式子；
（3）证明你在（2）中写的结论成立．
22．（10分）阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简：；
（2）若，求a的取值；
（3）请直接写出满足的a的取值范围 　 　．
23．（12分）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果≥0，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知＝0，则a+b的值为 　 　；
（2）若x，y为实数，且x2＝+9，求x+y的值；
（3）已知实数m，n（n≠0）满足|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m，求m+n的值．
答案与解析
一．选择题
1．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的特点：（1）被开方的因数是整数，因式是整式，（2）被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式，进行判断即可．
【解析】解：A、，不是最简二次根式，故A 不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故B 不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的特点（1）被开方的因数是整数，因式是整式，（2）被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．下列计算：（1）（）2＝2，（2）＝2，（3）（﹣2）2＝12，（4）（+1）（﹣1）＝1．其中结果正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】利用二次根式的化简计算和平方差公式进行解答．
【解析】解：（1）（）2＝2，结果正确；
（2）＝2，结果正确；
（3）（﹣2）2＝12，结果正确；
（4）（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝2﹣1＝1，结果正确；
故选：D．
【点睛】考查了二次根式的混合运算，平方差公式，属于基础计算题，熟记计算法则或公式即可解题．
3．计算的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
【点拨】直接利用二次根式的乘除法运算法则化简，进而得出答案．
【解析】解：
＝
＝
＝．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
4．若，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【点拨】根据题意可知x﹣3≥0，直接解答即可．
【解析】解：∵，
即x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：B．
【点睛】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
5．（a﹣1）变形正确的是（　　）
A．﹣1 B． C．﹣ D．﹣
【点拨】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解析】解：∵有意义，
∴1﹣a＞0，
∴a﹣1＜0，
∴（a﹣1）＝﹣＝﹣．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b
【点拨】利用已知条件确定出a+1，b﹣1，a﹣b的符号，再利用二次根式的性质和绝对值的意义化简运算即可．
【解析】解：由题意得：a＜﹣1，b＞1，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a
＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，绝对值的意义，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
7．若式子+有意义，则点P（a，b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】根据二次根式有意义的条件求出a，b的取值范围，进而可得出结论．
【解析】解：由题意得，﹣a＞0，b＞0，
∴a＜0，
∴点P（a，b）在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
8．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减．
【解析】解：原式＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3
＝4+2﹣3
＝3，
故选：A．
【点睛】本题属于新定义运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
9．若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】先化简，然后根据二次根式的定义判断即可．
【解析】解：∵＝2，
∴正整数n的最小值是：5，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
10．等腰三角形的两条边分别为和，则这个三角形的周长为（　　）
A．+ B．+
C．+或+ D．+或+
【点拨】分2是腰长和底边两种情况讨论求解．
【解析】解：2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，
能组成三角形，
周长＝2+2+3＝4+3；
2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，
能组成三角形，
周长＝2+3+3＝2+6，
综上所述，这个三角形的周长为4+3或2+6．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，主要利用了同类二次根式的加减运算和等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．
二．填空题
11．计算：＝　3　，＝　28　，＝　　．
【点拨】直接利用二次根式的乘法运算法则分别计算得出答案．
【解析】解：＝3，＝28，＝＝．
故答案为：3，28，．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
12．在式子中，x的取值范围是　x＞﹣1　．
【点拨】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】解：由题意得，x+1＞0，
解得，x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．
13．已知＝1.536，＝4.858．则＝　0.04858　．若＝0.4858，则x＝　0.236　．
【点拨】根据二次根式的被开方数与算术平方根的关系即可直接求解．
【解析】解：0.00236是由23.6小数点向左移动4位得到，则＝0.04858；
0.4858是由4.858向左移动一位得到，则x＝0.236．
故答案是：0.04858，0.236．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，理解被开方数与算术平方根的关系：被开方数向一个方向移动2位，对应的算术平方根的小数点向相同的方向移动1位．
14．x，y为实数，且，化简：＝　﹣1　．
【点拨】先根据、有意义的条件可得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解可求x＝1，再把x＝1代入y＜++3中，易求
y＜3，从而可对所求式子化简，并合并即可．
【解析】解：∵x﹣1≥0，1﹣x≥0，
∴x≥1，x≤1，
∴x＝1，
又∵y＜++3，
∴y＜3，
∴|y﹣3|﹣＝3﹣y﹣（4﹣y）＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简求值．解题的关键是注意被开方式是≥0的．
15．观察分析，探究出规律，然后填空：，2，，2，，2，…　　（第n个数）
【点拨】把2写成算术平方根的形式，找出规律，得出被开方数是偶数列，然后写出第n个即可得解．
【解析】解：第一个：＝，
第二个：＝，
第三个：＝，
第四个：2＝＝，
第五个：＝，
…
第n个：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，以及数字规律，把2化成算术平方根的形式得到被开方数是偶数列是解题的关键．
16．计算的结果是 　9﹣2x　．
【点拨】根据二次根式有意义的条件得到x≤4，根据二次根式化简即可．
【解析】解：由题意得：4﹣x≥0，
解得：x≤4，
∴x﹣5＜0，
则原式，4﹣x+5﹣x＝9﹣2x，
故答案为：9﹣2x．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件、二次根式的性质是解题的关键．
三．解答题
17．计算题．
（1）（﹣）﹣（2﹣）；
（2）4+﹣+4；
（3）（﹣）2+（+）（﹣）；
（4）（2+3）2007 （2﹣3）2008．
【点拨】（1）先化简，再去括号，最后进行加减运算即可；
（2）先化简，再进行二次根式的加减运算即可；
（3）利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算即可；
（4）利用积的乘方的法则及平方差公式进行运算，从而可求解．
【解析】解：（1）（﹣）﹣（2﹣）
＝（﹣）﹣（﹣）
＝﹣﹣+
＝3；
（2）4+﹣+4
＝
＝；
（3）（﹣）2+（+）（﹣）
＝3﹣2+2+3﹣2
＝6﹣2；
（4））（2+3）2007 （2﹣3）2008
＝（2+3）2007 （2﹣3）2007×（2﹣3）
＝[（2+3）×（2﹣3）]2007×（2﹣3）
＝（8﹣9）2007×（2﹣3）
＝（﹣1）2007×（2﹣3）
＝﹣（2﹣3）
＝﹣2+3．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
18．对实数a，b，定义：a■b＝a2b﹣ab+b，如：3■2＝32×2﹣3×2+2＝14．
（1）求（﹣3）■的值；
（2）若2■m＜﹣6，试化简：+．
【点拨】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出，
（2）利用题中的新定义求出m的范围，再化简即可．
【解析】（1）（﹣3）■＝（﹣3）2×﹣（﹣3）×+＝9+3+＝13．
（2）∵2■m＜﹣6，
∴4m﹣2m+m＜﹣6，
∴m＜﹣2．
∴+＝﹣m﹣2﹣m＝﹣2m﹣2．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．
19．已知：，求下列代数式的值．
（1）x2+y2；
（2）．
【点拨】（1）先求出，代入x2+y2求值；
（2）先通分，再将，代入求值．
【解析】解：∵，
∴，
（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（2）2﹣2×1
＝10；
（2）
＝
＝10．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．如图在四边形ABCD中AB＝BC＝，CD＝，AD＝1且AB⊥CB，试求四边形ABCD的面积（提示：连接AC）．
【点拨】直接利用勾股定理进而得出AC的长，再结合勾股定理逆定理得出△ACD为直角三角形，分别得出S△ABC，S△ACD，即可得出答案．
【解析】解：连结AC
∵AB⊥CB，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴AC＝＝＝2，
又∵CD＝，AD＝1，
∴AD2+CD2＝12+（）2＝4＝22＝AC2，
∴△ACD为直角三角形，
∴S△ABC＝＝＝1，
S△ACD＝＝＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝1+．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确得出S△ABC，S△ACD是解题关键．
21．观察下列各式：＝；＝；
＝；
（1）按上述两个等式的特征，请猜想5＝　　；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数且n≥2）表示的式子；
（3）证明你在（2）中写的结论成立．
【点拨】（1）观察题干中式子可知5＝，
（2）由2＝＝，＝＝，＝＝，故根据上述规律可知n，
（3）把二次根式外面的因式移到根号里面，变形即可．
【解析】解：（1）总结规律可知5＝，
（2）由2＝＝，＝＝，＝＝，
故根据上述规律可知n，
（3）理由：n＝＝＝＝，
故结论成立．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简的知识点，找出等式规律很重要．
22．阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简：；
（2）若，求a的取值；
（3）请直接写出满足的a的取值范围 　1≤a≤6　．
【点拨】（1）根据已知可得3﹣a≤0，a﹣7≤0，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答；
（2）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答；
（3）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答．
【解析】解：（1）∵3≤a≤7，
∴3﹣a≤0，a﹣7≤0，
∴
＝|3﹣a|+|a﹣7|
＝a﹣3+7﹣a
＝4；
（2）原式＝|a+1|+|a﹣3|，
当a＜﹣1时，原式＝﹣a﹣1+3﹣a＝﹣2a+2＝6，解得a＝﹣2；
当﹣1≤a＜3时，原式＝a+1+3﹣a＝4，等式不成立；
当a≥3时，原式＝a+1+a﹣3＝2a﹣2＝6，解得a＝4；
所以，a的值为﹣2或4；
（3）原式＝|a﹣1|+|a﹣6|，
当a＜1时，原式＝1﹣a+6﹣a＝7﹣2a＝5，解得a＝1（舍去）；
当1≤a＜6时，原式＝a﹣1+6﹣a＝5，等式恒成立；
当a≥6时，原式＝a﹣1+a﹣6＝2a﹣7＝5，解得a＝6；
∴a的取值范围：1≤a≤6，
故答案为：1≤a≤6．
【点睛】本题考查了整式的加减，二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键．
23．二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果≥0，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知＝0，则a+b的值为 　﹣2　；
（2）若x，y为实数，且x2＝+9，求x+y的值；
（3）已知实数m，n（n≠0）满足|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m，求m+n的值．
【点拨】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值为﹣2；
（2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值；
（3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得m+n的值．
【解析】解：（1）∵，
且，
∴a﹣1＝0，且3+b＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2．
（2）∵，
∴y﹣5≥0且5﹣y≥0，
∴y≥5且y≤5，
∴y＝5，
∴x2＝9，
∴x＝±3，
当x＝3时，x+y＝3+5＝8；
当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+5＝2．
（3）∵|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m，
∴（m﹣3）n2≥0，
∴m≥3，
∴2m﹣4＞0，
∴|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m
2m﹣4+|n+2|++4＝2m
∴|n+2|+＝0，
∵|n+2|≥0，≥0，
∴n+2＝0，（m﹣3）n2＝0，
∴n＝﹣2，m＝3，
∴m+n＝3﹣2＝1．
【点睛】本题考查的非负数的性质，二次根式取值条件，关键就是要了解性质的含义，在中考中经常出现．
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