2022-2023学年浙教版八年级下第2章 一元二次方程 单元检测卷（1）

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2022-2023学年浙教版八年级下第2章 一元二次方程 单元检测卷（1）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中是一元二次方程的是（　　）
A．x2+x＝2y B．x2＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣2＝x2+1
2．一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
3．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝36 D．（x﹣3）2＝2
5．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣2或2
6．关于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤0 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m≤0且m≠1
7．关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
8．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2﹣11x+30＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．11或12 C．12 D．10
9．如图，学校课外小组的试验园地是长20米、宽15米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为252平方米，设小道宽为x米，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．（20﹣2x）（15﹣x）＝252 B．（20﹣x）（15﹣x）＝252
C．（20﹣x）（15﹣2x）＝252 D．（20﹣2x）（15﹣2x）＝252
10．某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？若设2、3月份平均每月的增长率是x，应列方程为（　　）
A．50（ 1+x）2＝175
B．175（ 1﹣x）2＝50
C．50+50（ 1+x）+50（ 1+x）2＝175
D．175﹣1 75（ 1﹣x）﹣1 75（ 1﹣x）2＝50
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+3x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　 　．
12．小华在解方程x2＝8x时，只得出一个根是x＝8，则被他漏掉的一个根是x＝　 　．
13．若x＝2是关于x的方程ax2﹣bx＝2的解，则2023﹣6a+3b的值为 　 　．
14．根据下列问题列方程．问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，共有多少人参加聚会？设有x人参加聚会，所列方程为：　 　．
15．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　 　．
16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；
④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 　 　．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．解下列方程：
（1）3x2﹣5x+1＝0（配方法）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）．
18．解方程：
（1）（x+6）2＝9；
（2）2x2﹣7x+3＝0；
（3）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0；
（4）9（x+2）2＝4（2x﹣3）2．
19．下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．
解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
或，第五步
x1＝﹣1，．第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是 　 　（填字母）；
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
②解方程过程中，第二步变形的依据是 　 　．
任务二：请你用“公式法”解该方程．
20．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0．
（1）若x＝﹣1是该方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
21．广大党员群众积极参加公益活动，据统计某市今年第一批自愿者为10万人次，第三批自愿者为12.1万人次．
（1）如果第二批、第三批自愿者人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）如果按照（1）中的增长率，预计第四批自愿者数将达到多少万人次？
22．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1500件，市场前期调查反映，如调整价格，每涨1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1200件．
（1）每件售价最高为多少元？
（2）实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每月销量比最低销量1200件多卖120件，要使利润达到25920元，则每件应降价多少元？
23．阅读材料，解答问题．
材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，
我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2．
原方程化为y2﹣3y＝0，①
解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1；
当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2．
所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
解答问题：
（1）填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到了降幂的目的，体现了　 　的数学思想；
（2）解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0．
答案与解析
一．选择题
1．下列各式中是一元二次方程的是（　　）
A．x2+x＝2y B．x2＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣2＝x2+1
【点拨】根据一元二次方程定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为2次；③是整式方程这三个方面逐项判断即可得到答案．
【解析】解：A、x2+x＝2y含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，该选项不符合题意；
B、x2＝1是一元二次方程，符合题意；
C、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程未知数的次数低于2次，不是一元二次方程，不符合题意；
D、将x2﹣2＝x2+1化简得到﹣3＝0，显然不成立，不含未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，把握一元二次方程定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为2次；③是整式方程是解决问题的关键．
2．一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
【点拨】利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解析】解：x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【点拨】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解析】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝36 D．（x﹣3）2＝2
【点拨】方程两边同时加上9，凑完全平方式，即可求解．
【解析】解：x2﹣6x﹣2＝0
即x2﹣6x+9＝11
∴（x﹣3）2＝11
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式是解题的关键．
5．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣2或2
【点拨】根据一元二次方程的解的定义即可求解．
【解析】解：∵一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，
∴m2﹣4＝0且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
6．关于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤0 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m≤0且m≠1
【点拨】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令Δ＞0，即可求出m的取值范围，要注意，m﹣1≠0．再令方程为一元一次方程，进行解答．
【解析】解：当方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0为一元二次方程时，方程有解，
则m﹣1≠0且Δ＝22﹣4×（m﹣1）×（﹣1）≥0，
解得：m≥0且m≠1，
当方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0为一元一次方程时，
方程有解，则只需m﹣1＝0，即m＝1，
综上：当m≥0时，方程有实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握分类讨论思想是关键．
7．关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
【点拨】根据二次项系数非零及方程的常数项为0，可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可求出m的值．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，
∴，
解得：m＝2，
∴m的值为2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的一般形式，牢记“一元二次方程的二次项的系数不等于0”是解题的关键．
8．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2﹣11x+30＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．11或12 C．12 D．10
【点拨】根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长．
【解析】解：由x2﹣11x+30＝0，
解得：x＝6或x＝5，
当第三边长为6时，
由三角形三边关系可知：2+4＝6，
故不能组成三角形，
当第三边为5时，
由三角形三边关系可知：4+2＞5，能够组成三角形，
∴这个三角形的周长为：2+4+5＝11，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长．
9．如图，学校课外小组的试验园地是长20米、宽15米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为252平方米，设小道宽为x米，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．（20﹣2x）（15﹣x）＝252 B．（20﹣x）（15﹣x）＝252
C．（20﹣x）（15﹣2x）＝252 D．（20﹣2x）（15﹣2x）＝252
【点拨】根据题意知：小道的宽为x米，图形可以变换成如图的形状，种植面积和图中蓝色矩形的面积相等，而蓝色矩形的长、宽分别为（20﹣2x）、（15﹣x），根据矩形的面积公式就可以列出方程即可．
【解析】解：根据题意知：小道的宽为x米，则
（20﹣2x）（15﹣x）＝252，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？若设2、3月份平均每月的增长率是x，应列方程为（　　）
A．50（ 1+x）2＝175 B．175（ 1﹣x）2＝50
C．50+50（ 1+x）+50（ 1+x）2＝175 D．175﹣1 75（ 1﹣x）﹣1 75（ 1﹣x）2＝50
【点拨】由印刷厂1月份印刷书籍的数量及2、3月份平均每月的增长率，可得出印刷厂2月份印刷了书籍50（1+x）万册，3月份印刷了书籍50（1+x）2万册，再结合第一季度共印175万册，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵印刷厂1月份印刷了书籍50万册，且2、3月份平均每月的增长率是x，
∴印刷厂2月份印刷了书籍50（1+x）万册，3月份印刷了书籍50（1+x）2万册．
根据题意得：50+50（ 1+x）+50（ 1+x）2＝175．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题
11．关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+3x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　﹣3　．
【点拨】利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的值．
【解析】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+3x﹣2＝0是一元二次方程，
∴|m+1|＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
12．小华在解方程x2＝8x时，只得出一个根是x＝8，则被他漏掉的一个根是x＝　0　．
【点拨】利用因式分解法解方程，则可得到被他漏掉的一个根．
【解析】解：∵x2＝8x，
∴x2﹣8x＝0，
∴x（x﹣8）＝0，
解得：x1＝0或x2＝8，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
13．若x＝2是关于x的方程ax2﹣bx＝2的解，则2023﹣6a+3b的值为 　2020　．
【点拨】把x＝2代入方程求出2a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．
【解析】解：把x＝2代入方程得：4a﹣2b＝2，即2a﹣b＝1，
则原式＝2023﹣3（2a﹣b）＝2023﹣3＝2020，
故答案为：2020．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
14．根据下列问题列方程．问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，共有多少人参加聚会？设有x人参加聚会，所列方程为：　　．
【点拨】每个人都要与其它（x﹣1）个人握手一次，则x个人可握手x（x﹣1）次，但其中每两人的握手重复计算了一次，则总的握手次数为：，由握手的次数10即可得方程．
【解析】解：由题意得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解应用问题，用代数式表示出握手的总次数是关键．
15．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　（11﹣2x）（7﹣2x）＝21　．
【点拨】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是（11﹣2x）cm，宽为（7﹣2x）cm，然后根据长方形的面积＝长×宽，可以列出相应的方程．
【解析】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，
故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽．
16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；
④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 　②③④　．
【点拨】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解析】解：若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
∴c＝0或ac+b+1＝0，故①错误；
若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
若a﹣b+c＝0，则ax2+bx+c＝a﹣b+c，即：ax2﹣a+bx+b＝0
∴a（x﹣1）（x+1）+b（x+1）＝0，即：（x+1）[a（x﹣1）+b]＝0，
∴它有一根为﹣1，故③正确；
若b＝2a+3c，则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+8ac+9c2＝4a2+8ac+4c2+5c2，
即：Δ＝4（a+c）2+5c2，
∵a≠0，∴Δ＝4（a+c）2+5c2＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题的关键是掌握代数式，等式的变形．
三．解答题
17．（6分）解下列方程：
（1）3x2﹣5x+1＝0（配方法）； （2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）．
【点拨】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）利用公式法求解即可．
【解析】解：（1）3x2﹣5x+1＝0，
方程整理得：x2﹣x＝﹣，
配方得：x2﹣x+＝﹣，即（x﹣）2＝，
开方得：x﹣，
∴x1＝，x2＝；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5，
方程整理得：x2+2x﹣8＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣8，
则△＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，
∴x＝，
∴x1＝﹣4，x2＝2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程中的公式法和配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18．（12分）解方程：
（1）（x+6）2＝9； （2）2x2﹣7x+3＝0；
（3）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0； （4）9（x+2）2＝4（2x﹣3）2．
【点拨】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解析】解：（1）（x+6）2＝9，
x+6＝±3，
x+6＝3或x+6＝﹣3，
x1＝﹣3，x2＝﹣9；
（2）2x2﹣7x+3＝0，
（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
x1＝3，x2＝；
（3）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0，
（x﹣1﹣1）（x﹣1﹣4）＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0或x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5；
（4）9（x+2）2＝4（2x﹣3）2，
9（x+2）2﹣4（2x﹣3）2＝0，
[3（x+2）+2（2x﹣3）][3（x+2）﹣2（2x﹣3）]＝0，
（3x+6+4x﹣6）（3x+6﹣4x+6）＝0，
7x（12﹣x）＝0，
x（12﹣x）＝0，
x＝0或12﹣x＝0，
x1＝0，x2＝12．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．（8分）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．
解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
或，第五步
x1＝﹣1，．第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是 　C　（填字母）；
A．直接开平方法
B．因式分解法
C．配方法
D．公式法
②解方程过程中，第二步变形的依据是 　等式的基本性质1　．
任务二：请你用“公式法”解该方程．
【点拨】任务一：根据解答过程和等式的基本性质求解即可；
任务二：根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解析】解：任务一：①由题意知，小颖解方程的方法是配方法，
故选：C；
②解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质1，
故答案为：等式的基本性质1；
任务二：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0．
（1）若x＝﹣1是该方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【点拨】（1）先根据方程的解的定义把x＝﹣1代入原方程求出m的值，则可确定原方程变为﹣3x2﹣2x+1＝0，然后解方程得到方程的另一根；
（2）根据判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（m﹣1）×1＞0，，然后解不等式即可．
【解析】解：（1）将x＝﹣1代入一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0，得（m﹣1）+2+1＝0，
解得m＝﹣2．
当m＝﹣2时，代入原方程，得﹣3x2﹣2x+1＝0，
∴，
∵x1＝﹣1，
∴．
（2）∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴m﹣1≠0且Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（m﹣1）×1＞0，
解得m＜2且m≠1，
即m的取值范围是m＜2且m≠1．
【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
21．（10分）广大党员群众积极参加公益活动，据统计某市今年第一批自愿者为10万人次，第三批自愿者为12.1万人次．
（1）如果第二批、第三批自愿者人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）如果按照（1）中的增长率，预计第四批自愿者数将达到多少万人次？
【点拨】（1）设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生10万人次，第三批公益课受益学生12.1万人次”可列方程求解；
（2）用24.2×（1+增长率），计算即可求解．
【解析】解：（1）设这个增长率为x，根据题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：这个增长率为10%；
（2）12.1×（1+10%）＝13.31万人，
答：预计第四批自愿者数将达到13.31万人次．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
22．（10分）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1500件，市场前期调查反映，如调整价格，每涨1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1200件．
（1）每件售价最高为多少元？
（2）实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每月销量比最低销量1200件多卖120件，要使利润达到25920元，则每件应降价多少元？
【点拨】（1）设每件的售价为x元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（50﹣y﹣30）元，每月的销售量为（1200+120y）件，利用每月销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每月的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件应降价8元．
【解析】解：（1）设每件的售价为x元，
依题意得：1500﹣60（x﹣45）≥1200，
解得：x≤50．
答：每件售价最高为50元．
（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（50﹣y﹣30）元，每月的销售量为（1200+120y）件，
依题意得：（50﹣y﹣30）（1200+120y）＝25920，
解得：y1＝2，y2＝8．
又∵要尽快减少库存，
∴y＝8．
答：每件应降价8元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（10分）阅读材料，解答问题．
材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，
我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2．
原方程化为y2﹣3y＝0，①
解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1；
当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2．
所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
解答问题：
（1）填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到了降幂的目的，体现了　转化　的数学思想；
（2）解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0．
【点拨】（1）根据已知条件得出答案即可；
（2）x2+3＝a，则原方程化为a2﹣4a＝0，求出a的值，再求出x即可．
【解析】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降幂的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：换元，转化；
（2）（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0，
设x2+3＝a，则原方程化为：a2﹣4a＝0，
解得：a1＝0，a2＝4，
当a＝0时，x2+3＝0，此方程无解；
当a＝4时，x2+3＝4，解得：x＝±1，
所以原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能性质适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，换元法等．
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