2022-2023学年浙教版八年级下第2章 一元二次方程 单元检测卷（2）（含解析）

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2022-2023学年浙教版八年级下第2章 一元二次方程 单元检测卷（2）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C．（x+1）（x﹣1）＝x2+2x D．
2．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝5
3．设x1为一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，则（　　）
A．3＜x1＜4 B．2＜x1＜3 C．1＜x1＜2 D．0＜x1＜1
4．若x2﹣2x﹣2＝（x2﹣4x+3）0，则x的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．1
5．如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（　　）
A．12×9﹣4×9x＝70 B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70 D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
6．关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+4x﹣1＝0有实数根，则实a满足（　　）
A．a≥﹣1且a≠3 B．a≤﹣1 C．a＞﹣1且a≠3 D．a＜﹣1
7．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2﹣（k+2）x+k＝0进行了讨论：
甲说：这一定是关于x的一元二次方程；
乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；
丙说：当k≥﹣1时，该方程有实数根；
丁说：只有当k≥﹣1且k≠0时，该方程有实数根．
正确的是（　　）
A．乙和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．甲和丙说的对 D．乙和丁说的对
8．已知实数m，n满足（m2+n2）2﹣2（m2+n2）＝3，则m2+n2的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
9．王阿姨的水果店以4元/千克的价格购入了一批苹果，再以6元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，王阿姨决定降价销售，销售过程中发现，这种苹果每降价0.2元/千克，每天可多售出20千克，另外，每天的房租等固定成本为50元，若王阿姨每天要想盈利250元，设应将每千克苹果的售价降低x元，则以下方程正确的为（　　）
A． B．
C． D．（6﹣x﹣4）（200+20x）﹣50＝250
10．如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（　　）
A．2018 B．2012 C．﹣2012 D．﹣2018
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．将方程2x（x﹣1）＝3（x﹣5）化为一般形式 　 　．
12．是一元二次方程，则m＝　 　．
13．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝　 　．
14．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝　 　．
15．已知关于x的一元二次方程ax2+x+c＝0的两根为﹣1、2，则方程cx2﹣x+a＝0的两根为 　 　．
16．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现给出以下结论：
①若a﹣b+c＝0，则方程必有一根为﹣1；
②若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；
③若a、c异号，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若m是方程的根，则等式（2am+b）2＝b2﹣4ac一定成立．
其中正确的结论是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（12分）用适当的方法解方程：
（1）（3x﹣1）2﹣4＝0； （2）x2+2x﹣3＝0；
（3）3x2+5（2x+1）＝0； （4）3（x﹣2）2＝x2﹣4．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有x1，x2两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，满足m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣4？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣a＝0，其中a＜0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一腰AB长为6，另两边AC，BC的长分别是这个方程的两个不相等的实数根，求等腰△ABC的周长．
20．（10分）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．
（1）若花园的面积为300米2，求x的值；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
21．（8分）阅读材料，解答问题：
为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体，
解：设x2＝y，则x4＝y2，
原方程可化为y2﹣3y+2＝0，
解得y1＝2，y2＝1，
当x2＝2时，，
当x2＝1时，x＝±1，
∴原方程的解为或x＝±1．
（1）上面的解题方法，利用 　 　法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．
22．（10分）若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝2．则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．
（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0是“隔根方程”，求m的值．
23．（10分）阅读材料，解答问题．
材料一：已知实数a，b（a≠b）满足a2+5a﹣1＝0，b2+5b﹣1＝0，则可将a，b看作一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个不等实数根．
材料二：已知x2+5x﹣2＝0，求x﹣的值．
某同学解答思路如下：
由x2+5x﹣2＝0可得x+5﹣＝0
所以x﹣＝﹣5．
（1）直接应用：已知实数a，b（a≠b）满足a2﹣7a﹣2＝0，b2﹣7b﹣2＝0，求a+b﹣ab的值；
（2）间接运用：已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值．
答案与解析
一．选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C．（x+1）（x﹣1）＝x2+2x D．
【点拨】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解析】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
2．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝5
【点拨】首先移项，再提取公因式（x﹣2），进而分解因式得出即可．
【解析】解：（x﹣2）2＝3（x﹣2），
（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分解因式法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
3．设x1为一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，则（　　）
A．3＜x1＜4 B．2＜x1＜3 C．1＜x1＜2 D．0＜x1＜1
【点拨】利用配方法解方程得到x1＝，x2＝，然后对各选项进行判断．
【解析】解：∵2x2﹣2x＝1，
x2﹣x+＝，
∴（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
∴x1＝，x2＝，
∴1＜x1＜2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．若x2﹣2x﹣2＝（x2﹣4x+3）0，则x的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．1
【点拨】根据题意x2﹣2x﹣2＝1，x2﹣4x+3≠0，然后利用因式分解法求解即可．
【解析】解：∵x2﹣2x﹣2＝（x2﹣4x+3）0，
∴x2﹣2x﹣2＝1，x2﹣4x+3≠0，
由x2﹣2x﹣2＝1整理得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
x2﹣4x+3≠0可知（x﹣3）（x﹣1）≠0，
∴x≠3或x≠1，
∴若x2﹣2x﹣2＝（x2﹣4x+3）0，则x的值为﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，零指数幂的意义，正确分解因式是解题关键．
5．如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（　　）
A．12×9﹣4×9x＝70 B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70 D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
【点拨】设剪去的小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（12﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，得出关于x的一元二次方程，从而得到答案．
【解析】解：设剪去的小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（12﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
∵纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，
∴（12﹣2x）（9﹣2x）＝70，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程解实际问题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+4x﹣1＝0有实数根，则实a满足（　　）
A．a≥﹣1且a≠3 B．a≤﹣1 C．a＞﹣1且a≠3 D．a＜﹣1
【点拨】由方程有实数根，根据判别式可得到关于a的不等式，即可求得答案．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+4x﹣1＝0有实数根，
∴△≥0且a﹣3≠0，即42﹣4×（﹣1）（a﹣3）≥0且a≠3，
解得a≥﹣1且a≠3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
7．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2﹣（k+2）x+k＝0进行了讨论：
甲说：这一定是关于x的一元二次方程；
乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；
丙说：当k≥﹣1时，该方程有实数根；
丁说：只有当k≥﹣1且k≠0时，该方程有实数根．
正确的是（　　）
A．乙和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．甲和丙说的对 D．乙和丁说的对
【点拨】讨论：当k＝0时，方程为一元一次方程；当k≠0时，当Δ＝（k+2）2﹣4k k≥0时，方程有两个实数解，解得k≥﹣1且k≠0，于是可判断k≥﹣1时，方程有实数解，然后对各说法进行判断．
【解析】解：当k＝0时，方程化为﹣2x＝0，解得x＝0；
当k≠0时，当Δ＝（k+2）2﹣4k k＝4k+4≥0时，方程有两个实数解，此时k≥﹣1且k≠0，
所以当k≥﹣1时，方程有实数解，
所以乙和丙的说法正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，正确记忆一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题关键．
8．已知实数m，n满足（m2+n2）2﹣2（m2+n2）＝3，则m2+n2的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
【点拨】设 m2+n2＝y，则原方程换元为 y2﹣2y﹣3＝0，可得y1＝3，y2＝﹣1，即可求解．
【解析】解：m2+n2＝y，则原方程换元为 y2﹣2y﹣3＝0，
∴（y﹣3）（y+1）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣1，
即 m2+n2＝3或 m2+n2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴m2+n2＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了高次方程，解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
9．王阿姨的水果店以4元/千克的价格购入了一批苹果，再以6元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，王阿姨决定降价销售，销售过程中发现，这种苹果每降价0.2元/千克，每天可多售出20千克，另外，每天的房租等固定成本为50元，若王阿姨每天要想盈利250元，设应将每千克苹果的售价降低x元，则以下方程正确的为（　　）
A． B．
C． D．（6﹣x﹣4）（200+20x）﹣50＝250
【点拨】设每千克苹果的售价降低x元，根据总利润＝单个的利润×销售量，列出方程即可．
【解析】解：设应将每千克苹果的售价降低x元，
根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握总利润＝单个的利润×销售量．
10．如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（　　）
A．2018 B．2012 C．﹣2012 D．﹣2018
【点拨】先利用一元二次方程解的定义得到m2＝﹣m+3，再用m表示出m3＝4m﹣3，则原式化简为4（m+n）﹣mn+2019，接着利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，mn＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m3＝m（﹣m+3）
＝﹣m2+3m
＝﹣（﹣m+3）+3m
＝4m﹣3，
∴m3+4n﹣mn+2022
＝4m﹣3+4n﹣mn+2022
＝4（m+n）﹣mn+2019，
∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，
∴原式＝4×（﹣1）﹣（﹣3）+2019
＝﹣4+3+2019
＝2018．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．也考查了一元二次方程的解．
二．填空题
11．将方程2x（x﹣1）＝3（x﹣5）化为一般形式 　2x2﹣6x+15＝0　．
【点拨】去括号，移项，合并同类项，即可得出答案．
【解析】解：2x（x﹣1）＝3（x﹣5），
去括号，得2x2﹣2x＝3x﹣15，
移项，得2x2﹣2x﹣3x+15＝0，
合并同类项，得2x2﹣5x+15＝0，
故答案为：2x2﹣5x+15＝0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
12．是一元二次方程，则m＝　4　．
【点拨】根据形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的方程为一元二次方程解答即可．
【解析】解：∵是一元二次方程，
∴|m﹣2|＝2，，
∴m＝4或0，m≠0，
∴m＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟记定义是解本题的关键．
13．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝　8　．
【点拨】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为t（t﹣7）＝8，然后利用因式分解法解方程求得t的值即可．
【解析】解：设t＝x2+y2（t≥0），则：
t（t﹣7）＝8，
整理，得（t﹣8）（t+1）＝0．
所以t＝8或t＝﹣1（舍去）．
所以x2+y2＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
14．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝　1　．
【点拨】先根据配方法求出m、n的值，再代入计算可得．
【解析】解：∵x2+4x＝﹣n，
∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，
又（x+m）2＝3，
∴m＝2，n＝1，
则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．已知关于x的一元二次方程ax2+x+c＝0的两根为﹣1、2，则方程cx2﹣x+a＝0的两根为 　　．
【点拨】因为方程的两个根为﹣1和2，所以方程可以化为为a（x+1）（x﹣2）＝0，得出a＝﹣1，c＝2，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+x+c＝0的两根为﹣1、2，
∴a（x+1）（x﹣2）＝0，
整理得ax2﹣ax﹣2a＝0，
∴﹣a＝1，c＝﹣2a
解得：a＝﹣1，c＝2，
∴方程cx2﹣x+a＝0为2x2﹣x﹣1＝0，
即（2x+1）（x﹣1）＝0，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，求得a＝﹣1，c＝2是解题的关键．
16．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现给出以下结论：
①若a﹣b+c＝0，则方程必有一根为﹣1；
②若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；
③若a、c异号，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若m是方程的根，则等式（2am+b）2＝b2﹣4ac一定成立．
其中正确的结论是 　①③④　．（写出所有正确结论的序号）
【点拨】①当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c，由此即可判定说法正确；
②由a﹣b+c＝0，可得b＝a+c，再根据Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，由此即可判定说法错误；
③由a、c异号，a≠0，可得Δ＝b2﹣4ac＞0，由此即可判定说法正确；
④将所求式子作差，判断差的符号即可判断说法正确．
【解析】解：①∵a﹣b+c＝0，
∴当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c＝0，
∴x＝﹣1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故结论①正确；
②∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴方程有两个实数根，故结论②错误；
③∵a、c异号，a≠0，
∴ac＜0，﹣4ac＞0
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确；
④∵x＝m方程的一个根，
∴am2+bm+c＝0，
∴（2am+b）2﹣（b2﹣4ac）＝4a2m2+4abm+b2﹣b2+4ac＝4a（am2+bm+c）＝0，
∴（2am+b）2＝b2﹣4ac，故结论④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式和方程的解等知识，是基础题，需熟练掌握．
三．解答题
17．用适当的方法解方程：
（1）（3x﹣1）2﹣4＝0； （2）x2+2x﹣3＝0；
（3）3x2+5（2x+1）＝0； （4）3（x﹣2）2＝x2﹣4．
【点拨】（1）先把方程变形为（3x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可；
（3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（4））先把方程变形为3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解析】解：（1）（3x﹣1）2﹣4＝0，
（3x﹣1）2＝4，
3x﹣1＝±2，
所以x1＝1，x2＝﹣；
（2）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝1；
（3）3x2+5（2x+1）＝0，
3x2+10x+5＝0；
a＝3，b＝10，c＝5，
Δ＝102﹣4×3×5＝40＞0，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（4）3（x﹣2）2＝x2﹣4，
3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣6﹣x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有x1，x2两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，满足m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣4？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝m﹣1，则利用m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣4求出m的值．
【解析】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝16﹣4（m﹣1）≥0．
解得m≤5．
（2）∵m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣4，
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
19．已知关于x的一元二次方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣a＝0，其中a＜0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一腰AB长为6，另两边AC，BC的长分别是这个方程的两个不相等的实数根，求等腰△ABC的周长．
【点拨】（1）证明根的判别式Δ＞0即可；
（2）要分1﹣a+＝6或1﹣a﹣＝6两种情况，利用三角形三边关系进行解答．
【解析】（1）证明：∵Δ＝[2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a）＝﹣4a+4，
∵a＜0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：解方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣a＝0，可得x1＝1﹣a+，x2＝1﹣a﹣．
∵等腰△ABC的一腰AB长为6，另两边AC，BC的长分别是这个方程的两个不相等的实数根，
∴当1﹣a+＝6时，解得a＝﹣3，则1﹣a﹣＝2．
∵6+2＞6，6﹣2＜6，
∴能构成三角形，此时等腰△ABC的周长为：6+6+2＝14；
当1﹣a﹣＝6时，解得a＝﹣8，则1﹣a+＝12，
∵6+6＝12，
∴此时△ABC不存在．
综上所述，等腰△ABC的周长为14．
【点睛】本题考查根与系数的关系，三角形的三边关系，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．
（1）若花园的面积为300米2，求x的值；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【点拨】（1）由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
（2）根据题意可得方程x（40﹣x）＝400，求出x的值，然后再根据P处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．
【解析】解：（1）∵AB＝x米，
∴BC＝（40﹣x）米，
由题意得：x（40﹣x）＝300，
解得：x1＝10，x2＝30，
即x的值为10或30；
（2）花园的面积不能为400米2，理由如下：
由题意得：x（40﹣x）＝400，
解得：x1＝x2＝20，
当x＝20时，26﹣x＝26﹣6＝20，
即当AB＝20米，BC＝20米＜24米，这棵树没有被围在花园内，
∴将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积不能为400米2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．阅读材料，解答问题：
为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体，
解：设x2＝y，则x4＝y2，
原方程可化为y2﹣3y+2＝0，
解得y1＝2，y2＝1，
当x2＝2时，，
当x2＝1时，x＝±1，
∴原方程的解为或x＝±1．
（1）上面的解题方法，利用 　换元　法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．
【点拨】（1）根据换元法解一元二次方程；
（2）根据换元法解一元二次方程即可求解．
【解析】解：（1）上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，
故答案为：换元；
（2）解：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，
设x2﹣1＝y，
原方程可化为y2﹣5y+6＝0，
解得y1＝2，y2＝3，
当x2﹣1＝2时，，
当x2﹣1＝3时，x＝±2，
∴原方程的解为或x＝±2．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键．
22．若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝2．则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．
（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0是“隔根方程”，求m的值．
【点拨】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝﹣4，然后根据“隔根方程”的定义计算判断；
（2）利用因式分解法解方程得到x1＝﹣m，x2＝1，则根据“隔根方程”的定义得到﹣m＝1+2或﹣m+2＝1，然后解关于m的方程即可．
【解析】解：（1）方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；
理由如下；（x﹣5）（x+4）＝0，
x﹣5＝0或x+4＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣4，
∵5﹣（﹣4）＝9≠2，
∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；
（2）x2+（m﹣1）x﹣m＝0，
（x+m）（x﹣1）＝0，
x+m＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣m，x2＝1，
当﹣m＝1+2时，解得m＝﹣3；
当﹣m+2＝1时，解得m＝1
综上所述，m的值为﹣3或1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
23．阅读材料，解答问题．
材料一：已知实数a，b（a≠b）满足a2+5a﹣1＝0，b2+5b﹣1＝0，则可将a，b看作一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个不等实数根．
材料二：已知x2+5x﹣2＝0，求x﹣的值．
某同学解答思路如下：
由x2+5x﹣2＝0可得x+5﹣＝0
所以x﹣＝﹣5．
（1）直接应用：已知实数a，b（a≠b）满足a2﹣7a﹣2＝0，b2﹣7b﹣2＝0，求a+b﹣ab的值；
（2）间接运用：已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值．
【点拨】（1）由实数a，b（a≠b）满足a2﹣7a﹣2＝0，b2﹣7b﹣2＝0，可将a，b看作一元二次方程x2﹣7x﹣2＝0的两个不等实数根，利用根与系数的关系可得出a+b＝7，ab＝﹣2，将其代入∴a+b﹣ab中，即可求出结论；
（2）在方程2n2+7n﹣3＝0的两边同时除以﹣n2得3（）2﹣7﹣2＝0，结合实数m满足3m2﹣7m﹣2＝0，且mn≠1，可将m，看作一元二次方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个不等实数根，利用根与系数的关系可得出m+＝，＝﹣，再将其代入＝中，即可求出结论．
【解析】解：（1）∵实数a，b（a≠b）满足a2﹣7a﹣2＝0，b2﹣7b﹣2＝0，
∴可将a，b看作一元二次方程x2﹣7x﹣2＝0的两个不等实数根，
∴a+b＝7，ab＝﹣2，
∴a+b﹣ab＝7﹣（﹣2）＝9；
（2）在方程2n2+7n﹣3＝0的两边同时除以﹣n2得3（）2﹣7﹣2＝0，
又∵实数m满足3m2﹣7m﹣2＝0，且mn≠1，
∴可将m，看作一元二次方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个不等实数根，
∴m+＝，＝﹣，
∴＝＝＝．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
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