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专题2.1 一元二次方程
模块一：知识清单
1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
3.一元二次方程的根
1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2）一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3）常考点:为利用根的概念求代数式的值；
4）一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（台州市温岭市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）下列不是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程．
【详解】A．是一元二次方程，不符合题意；B．是一元二次方程，不符合题意；
C．是一元一次方程，符合题意；D．是一元二次方程，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．
2．（山东省枣庄市薛城区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．4，，0 B．4，，8 C．，， D．4，，
【答案】D
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可．
【详解】解：，∴，
所以一元二次方程化为一般式后的二次项系数一次项系数、常数项分别为4，，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（a、b、c为常数，）．
3．（湖北省黄冈市启黄中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题）关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴且，解得：．故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
4．（南充市顺庆区2022-2023学年九年级月考）若是关于x的方程的一个解，则（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】把代入方程，可得，从而得到，再代入，根据负整数指数幂计算，即可求解．
【详解】解：把代入方程得∶，
∴，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，负整数指数幂，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
5．（2033·山东·八年级期末）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）
-1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
【答案】B
【分析】根据表格中的数据，可判断代数式的值为4.61和4.56时，对应的值为-1.12和-1.11，观察原方程可理解为求代数式的值为4.6时，对应的的值，由此判断即可．
【详解】解：∵时，；时，；
∴时，对应应满足，
∴原方程的近似解为：-1.118，故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的近似解，理解表格中的数据，掌握求近似解的方法是解题关键．
6．（2022·浙江·八年级期末）若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．或2
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴且，解得：．故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
7．（2022年河北省保定市安国市中考数学一模试题）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（ ）
A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
【答案】B
【分析】由勾股定理可得：整理可得从而可得答案.
【详解】解： ∠C＝90°，AC＝，BC＝b，AD＝AC，
整理得： 而x2+ax＝b2，
方程的一个正根为线段BD的长，故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，勾股定理的应用，理解一元二次方程的解的含义是解本题的关键.
8．（2022春·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．无法求解
【答案】C
【分析】可以把方程看作是关于的一元二次方程，从而得到，即可求解．
【详解】解：根据题意得：方程可以看作是关于的一元二次方程，
∵关于x的方程的解是，
∴关于的方程的解是，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．（福建省龙岩北大附属实验学校2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试题）若方程中，，，满足和，则方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意，当时，，当时，，则方程的根是，．
【详解】解：根据题意，当时，，当时，
∴方程的根是，，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解题意是解题的关键．
10．（2022·浙江绍兴·八年级校考期中）伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉（Thabit ibn Qurra，830-890）在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则方程的其中一个正根为（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】B
【分析】设正方形的边长为，则，根据，可得，所以，进而可得是方程的其中一个正根．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
，，，
则方程的其中一个正根为．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程定义．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（辽宁省葫芦岛市建昌县药王庙镇初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）方程的二次项系数是__________，一次项系数是________，常数项是________.
【答案】 4 0
【分析】将方程化为一般形式，然后根据一元二次方程的一般形式得出答案．
【详解】解：方程化为一般形式为，
∴二次项系数为4，一次项系数为，常数项为0，
故答案为：4，，0．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成的形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．
12．（2022年广东省广州市越秀区九年级数学一模试题）若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ________．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，求解即可．
【详解】关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）己如实数是方程的一个根，则代数式的值为______．
【答案】4
【分析】由方程的解的含义可得 再整体代入代数式进行求值即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，求解代数式的值，掌握“整体代入求值的方法”是解本题的关键．
14．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为_____．
【答案】
【分析】把所求一元二次方程变形，再与原一元二次方程比较即可求出答案．
【详解】解：∵有一根为，
将一元二次方程变形得，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的变形，掌握一元二次方程未知数的变化规律是解题的关键．
15．（2022春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）如果4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根有一个为______．
【答案】x=-2
【分析】把x=-2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a-2b+c=0，即可得出答案．
【详解】解：当把x=-2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a-2b+c=0，
即方程一定有一个根为x=-2．
故答案为：x=-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
16．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是______ ．
【答案】2018
【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式即可得出答案．
进行求值即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次．
17．（浙江省杭州市临平区2021-2022学年九年级下学期三月月考数学试题）关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______．
【答案】##1.5##
【分析】根据方程根的定义得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54变形后，利用整体代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．
【详解】解：∵关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，
∴，
∴，
∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，
∴[2（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54
∴
解得或
∵ab≠0
∴a，b均为非零实数，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．
18．（2022春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____．
【答案】0
【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．
【详解】解：设这个相同的实数根为t，
把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：
a t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a t+b＝0
相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，
（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t）20，
∴a+b+c＝0，
故答案是：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（陕西省西安市临潼区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷）已知关于的方程是一元二次方程，求的值．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程的定义，即可得出关于的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，解得，∴的值为2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、绝对值以及解一元一次不等式等知识，理解并掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
20．（2022-2023学年八年级数学课后练习）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1)，且； (2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据已知设，代入列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出a，b及c的值，写出方程即可；
（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出a，b及c的值，写出方程即可．
【详解】（1）解：（1），设，
，∴，解得：，
∴，则方程为：；
（2）解：∵，∴，
解得：，则方程为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式并根据已知求出的值是解答此题的关键．
21．（北京市海淀区人民大学附属中学2022-2023学年九年级上学期数学练习2（10月考））已知m是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】8
【分析】根据一元二次方程解的定义，可得，再把原式化简，再代入，即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，即，
∵，∴原式．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边同时成立的未知数的值是一元二次方程的解，乘法公式及代数式的值是解题的关键．
22．（2020秋·浙江台州·九年级校联考期中）已知x＝﹣1是一元二次方程的一个根，求的值．
【答案】﹣1．
【分析】将x＝﹣1代入可得，再将所求代数式化简即可得．
【详解】解：∵x＝﹣1是一元二次方程的一个根，
．
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的特征、用完全平方差公式化简求值；关键在于知道方程的根是满足方程的条件．
23．（2022·浙江杭州·模拟预测）完成下列问题：
（1）已知，为实数，且，求的值．
（2）若是关于的方程的根，求的值．
【答案】（1）-15；（2）-4
【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
（2）利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+4n=0，再把所求的代数式化简后整理出m+n=-4，即为所求；
【详解】解：（1）由题意得，2x-5≥0且5-2x≥0，
解得x≥且x≤，所以，x＝，y=-3，∴2xy=-15；
（2）由题意得n2+mn+4n=0，
∵n≠0，∴n+m+4=0，得m+n=-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及二次根式有意义的条件，解题的关键是能够了解方程的解的定义，难度不大．
24．（2022·浙江·八年级统考期末）如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数： (2)设．①请用含的代数式表示与的长； ②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
【答案】（1）；（2）①，；②是，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论；
（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，，
又，
是等边三角形．．
（2）①∵
又，．
②∵
∴线段的长是方程的一个根．
若与的长同时是方程的根，则，
即，，
，∴当时，与的长同时是方程的根．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．
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专题2.1 一元二次方程
模块一：知识清单
1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
3.一元二次方程的根
1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2）一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3）常考点:为利用根的概念求代数式的值；4）一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（台州市温岭市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）下列不是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（山东省枣庄市薛城区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．4，，0 B．4，，8 C．，， D．4，，
3．（湖北省黄冈市启黄中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题）关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
4．（南充市顺庆区2022-2023学年九年级月考）若是关于x的方程的一个解，则（ ）
A． B． C． D．6
5．（2033·山东·八年级期末）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）
-1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
6．（2022·浙江·八年级期末）若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．或2
7．（2022年河北省保定市安国市中考数学一模试题）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（ ）
A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
8．（2022春·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无法求解
9．（福建省龙岩北大附属实验学校2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试题）若方程中，，，满足和，则方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．无法确定
10．（2022·浙江绍兴·八年级校考期中）伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉（Thabit ibn Qurra，830-890）在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则方程的其中一个正根为（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（辽宁省葫芦岛市建昌县药王庙镇初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）方程的二次项系数是__________，一次项系数是________，常数项是________.
12．（2022年广东省广州市越秀区九年级数学一模试题）若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ________．
13．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）己如实数是方程的一个根，则代数式的值为______．
14．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为_____．
15．（2022春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）如果4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根有一个为______．
16．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是______ ．
17．（浙江省杭州市临平区2021-2022学年九年级下学期三月月考数学试题）关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______．
18．（2022春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（陕西省西安市临潼区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷）已知关于的方程是一元二次方程，求的值．
20．（2022-2023学年八年级数学课后练习）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1)，且； (2)．
21．（北京市海淀区人民大学附属中学2022-2023学年九年级上学期数学练习2（10月考））已知m是方程的一个根，求代数式的值．
22．（2020秋·浙江台州·九年级校联考期中）已知x＝﹣1是一元二次方程的一个根，求的值．
23．（2022·浙江杭州·模拟预测）完成下列问题：
（1）已知，为实数，且，求的值．
（2）若是关于的方程的根，求的值．
24．（2022·浙江·八年级统考期末）如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数： (2)设．①请用含的代数式表示与的长； ②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
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