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专题-2.2 一元二次方程的解法
模块一：知识清单
1.一元二次方程的解法：直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成(x+a）2=b（b≥0）的形式，则x＝.
2.一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
（1）一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)
（2）公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
（3）一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac)
①当时，方程有两个不相等的实根；② 当时，方程有两个相等的实根；③ 当时，方程没有实根。
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
4.因式分解法：将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
2）即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
3）因式分解的主要方法：
提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。
①平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）； ②完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴
4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种解法的一定要合理选用，一般按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．
如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江嘉兴·八年级校考期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】解：，，，．故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
2．（2022·浙江杭州·八年级校考期中）方程的解是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】直接利用因式分解法解方程即可．
【详解】，，
或，∴或，故选：C．
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是解题的关键．
3．（2022·浙江绍兴·八年级校考期中）三角形两边的长是4和3，第三边满足方程，则三角形周长为（ ）
A．10 B．15 C．10或15 D．以上都不对
【答案】A
【分析】先求出方程的解，再分情况讨论，最后求出答案即可．
【详解】解：解方程得：，，
当三边为3、4、3时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长为3+4+3=10，
当三边为3、4、8时，，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
即三角形的周长是10，故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程和三角形的三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
4．（2022·浙江宁波·八年级校考期中）关于x的一元二次方程（其中a为常数）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．可能有实数根，也可能没有实数根
【答案】A
【分析】直接根据根的判别式计算即可．
【详解】，
即有两个不相等的实数根，故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
5．（2022·山东聊城·二模）关于x的一元二次方程，如果有一个根为0，那么另一个根为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】把x=0代入方程中，求得a的值，现a的值代入方程中并解方程即可求得另一个根．
【详解】∵x=0是关于x的一元二次方程的一个根，∴a=1，
则原方程为，即，解得：，，
∴方程的另一个根为，故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的概念及解一元二次方程，根据解的概念求得a的值是问题的关键；当然本题也可以用一元二次方程根与系数的关系来解．
6．（2022年湖北省武汉市新洲区阳逻街一中中考数学调研试卷（6月份））解决次数较高的代数式问题时，通常可以用降次的思想方法．已知：，且，则的值是（ ）
A．1 B．1 C．3 D．3
【答案】A
【分析】首先解方程，然后利用整体代入的思想把换成，多次代入即可求解．
【详解】解：，，，，
．故选：A．
【点睛】此题主要考查了分解因式的实际运用，同时也考查了解一元二次方程，有一定的综合性．
7．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程有实数根的条件可得且，求解即可获得答案．
【详解】解：根据题意，
可得且，解得且．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式是解题关键．
8．（2022年内蒙古一模数学试题）若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1
【答案】C
【分析】设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出x+y的值．
【详解】解：设：，则变为，
变形可得：，则，则，
解得：，即的值为2或﹣1，故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将等式转化为一元二次方程是解决本题的关键．
9．（2021秋·浙江·八年级期末）定义：如果一元二次方程满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
【答案】A
【分析】根据a+b+c＝0得b＝﹣a﹣c，根据方程有两个相等的实数根得，将b＝﹣a﹣c代入得到，进而即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，
又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，代入得＝0，
即，
∴a＝c．∴b＝﹣a﹣c=﹣2a故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式，将a+b+c＝0变成b＝﹣a﹣c再代入化简是解题的关键．
10．（2022春·浙江嘉兴·八年级校考期中）已知方程（1）与方程（2），其中ac≠0，a≠c．下列说法：①当方程（1）有两个不相等的实数根时，方程（2）也有两个不相等的实数根；②当两个方程均存在实数根时，它们的根一定相同；③当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1；④当方程（1）有一个根是2时，方程（2）也有一个根是．其中正确的是（ ）．
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①方程（1）有两个相等的实数根，则，对于方程（2）有，则方程（2）也有两个相等的实数根；②利用求根公式分别求出两个方程的解，然后进行判断即可；③把x=1分别代入，，得：，于是得到结论正确；
④把x=2分别代入，得：，等式的两边通除以4得到得：，于是得到结论正确．
【详解】解：①∵方程（1）有两个相等的实数根，∴，
∴方程（2）的，
∴方程（2）也有两个相等的实数根，故正确；
②当时，解方程（1），得，
解方程（2），得，
∵a不一定等于c，∴两个方程均存在实数根时，它们的根不一定相同；故错误；
③∵把x=1代入 ，得：，
把x=1代入，得：，
∴当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1，故正确；
④∵把x=2分别代入，得：，
∴，∴是方程（2）的一个根，故正确；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022年荆州市中考数学真题）一元二次方程配方为，则k的值是______．
【答案】１
【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解．
【详解】解：
∴故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
12．（湖北省黄冈市2021年中考数学真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式，
解得，则的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
13．（2022年吉林省长春市第四十八中学九年级中考数学模拟试卷）关于的一元二次方程的根的判别式的值等于，则______．
【答案】
【分析】据根的判别式的定义得到，然后解关于m的方程即可得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值等于，
∴，∴
解得：故答案为：
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式和找出a，b，c的值是本题的关键．
14．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）关于的方程没有实数根，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】由于方程没有实数根，则其判别式，由此可以建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．
【详解】解：由题意知，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
15．（2022·浙江·八年级统考期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值是______．
【答案】9
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于c的方程，求出c的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，解得．故答案为：9．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
16．（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为______．
【答案】12
【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算该等腰三角形的周长．
【详解】解：由得到，，
∴或，∴，，
∵，∴等腰三角形只能腰为5，底边为2，
∴该等腰三角形的周长为．故答案为：12．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义．
17．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）对于实数a，b，定义运算“ ”： ，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则=___________.
【答案】
【分析】根据方程求得其解为：1或5，由于不确定，具体值，故需分两种情况讨论，代入新运算进行计算即可．
【详解】解：，∴该方程的两根为：1或5，
①当，时，；
②当，时，，故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程求解以及与定义新运算的综合，分类讨论是解本题的主要思想．
18．（2022春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知，则的值为________．
【答案】8
【分析】设a2+b2＝y，则原方程换元为，然后整理求出y，最后再根据是非负数即可解答．
【详解】解：设a2+b2＝y，则原方程变形为
∴（y+2）（y－8）＝0，解得：y1＝－2，y2＝8，
即 a2+b2＝8或 a2+b2＝－2（不合题意，舍去），
∴a2+b2＝8．故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程、非负性的应用等知识点，正确掌握换元法是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江舟山·八年级校联考期末）在用配方法解一元二次方程时，李明同学的解题过程如下：
解：方程可化成，
移项，得．
配方，得，
即．
由此可得∴， ．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
【答案】见解析
【分析】晓强认为李明的解题过程错误， 我不同意他的想法， 说明理由即可．
【详解】解：不同意晓强的想法，
当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方．
【点睛】此题考查了解一元二次方程 - 配方法， 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）解方程：
(1)（配方法） (2)x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）
【答案】(1)=1，=；(2)=2，=-1．
【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
（1）解：整理得，
配方得，即，
开方得，
所以=1，=；
（2）解：因式分解得（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以=2，=-1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解的方法和配方的方法是解本题的关键．
21．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
∴x+4=0或x-1=0
∴
（2）解：（x-5）（x+3）=0
∴x-5=0或x+3=0
∴
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
22．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定；
（2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题．
【详解】（1）解：
；
又，
，
原方程有两个实数根；
（2）原方程可变为，
则方程的两根为，，
直角三角形三边为2，3，；
，
①若为直角三角形的斜边时，则：
，
；
②若3为直角三角形的斜边时，则：
．
综上，或．
【点睛】此题考查利用根的判别式探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透．
23．（2022·浙江舟山·校考一模）阅读下面的例题，
范例：解方程 ，
解：（1）当 时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是，，
请参照例题解方程
【答案】，，
【分析】根据题意分两种情况，解方程即可求得．
【详解】解：，
（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
故原方程的根是，．
【点睛】本题考查了绝对值方程及一元二次方程的解法，熟练掌握和运用绝对值方程及一元二次方程的解法是解决本题的关键．
24．（江苏省常州市金坛区金坛区水北中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或
③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
【答案】(1)见解析
(2)(3)当，时，取得最小值，最小值为
【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；
（2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果；
（3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，
；
第二种形式：选取二次项和常数项配方，
；
或；
第三种形式：选取一次项和常数项配方，
；
（2）解：，
配方，得：，
即，
∵，，
∴，，解得：，，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
当，时，取得最小值，
即当，时，取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．
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专题-2.2 一元二次方程的解法
模块一：知识清单
1.一元二次方程的解法：直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成(x+a）2=b（b≥0）的形式，则x＝.
2.一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
（1）一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)
（2）公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
（3）一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac)
①当时，方程有两个不相等的实根；② 当时，方程有两个相等的实根；③ 当时，方程没有实根。
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
4.因式分解法：将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
2）即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
3）因式分解的主要方法：
提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。
①平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）； ②完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种解法的一定要合理选用，一般按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．
如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江嘉兴·八年级校考期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江杭州·八年级校考期中）方程的解是（ ）
A． B．或 C．或 D．
3．（2022·浙江绍兴·八年级校考期中）三角形两边的长是4和3，第三边满足方程，则三角形周长为（ ）
A．10 B．15 C．10或15 D．以上都不对
4．（2022·浙江宁波·八年级校考期中）关于x的一元二次方程（其中a为常数）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．可能有实数根，也可能没有实数根
5．（2022·山东聊城·二模）关于x的一元二次方程，如果有一个根为0，那么另一个根为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2022年湖北省武汉市新洲区阳逻街一中中考数学调研试卷（6月份））解决次数较高的代数式问题时，通常可以用降次的思想方法．已知：，且，则的值是（ ）
A．1 B．1 C．3 D．3
7．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
8．（2022年内蒙古一模数学试题）若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1
9．（2021秋·浙江·八年级期末）定义：如果一元二次方程满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
10．（2022·浙江嘉兴·八年级校考期中）已知方程（1）与方程（2），其中ac≠0，a≠c．下列说法：①当方程（1）有两个不相等的实数根时，方程（2）也有两个不相等的实数根；②当两个方程均存在实数根时，它们的根一定相同；③当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1；④当方程（1）有一个根是2时，方程（2）也有一个根是．其中正确的是（ ）．
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022年荆州市中考数学真题）一元二次方程配方为，则k的值是______．
12．（湖北省黄冈市2021年中考数学真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）
13．（2022年吉林省长春市第四十八中学九年级中考数学模拟试卷）关于的一元二次方程的根的判别式的值等于，则______．
14．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）关于的方程没有实数根，则的取值范围为______．
15．（2022·浙江·八年级统考期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值是______．
16．（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为______．
17．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）对于实数a，b，定义运算“ ”： ，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则=___________.
18．（2022春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知，则的值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江舟山·八年级校联考期末）在用配方法解一元二次方程时，李明同学的解题过程如下：
解：方程可化成，
移项，得．
配方，得，
即．
由此可得∴， ．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
20．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）解方程：
(1)（配方法） (2)x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）
21．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)；(2)．
22．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
23．（2022·浙江舟山·校考一模）阅读下面的例题，
范例：解方程 ，
解：（1）当 时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是，，
请参照例题解方程
24．（江苏省常州市金坛区金坛区水北中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或
③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
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