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专题2-5 一元二次方程 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江杭州·八年级模拟）下面关于x的方程中①；②；③；④；⑤；⑥是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：①当时，是一元一次方程，故错误；
②是一元二次方程，故正确；③是分式方程，故错误；
④是一元三次方程，故错误；⑤可化为是一元一次方程，故错误；⑥是一元一次方程，故错误．故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
2．（2022·江苏初三期中）定义为不大于实数x的最大整数，如，．函数的图象如图所示，则方程的解为（ ）
A．0或 B．0 C． D．0或
【答案】B
【分析】根据图象确定出[x]的可能值，进而求出x的值确定出方程的解即可．
【解析】当时，原方程可化为，
解得，均不符合题意，舍去；
当时，原方程可化为，解得（舍去）；
当时，原方程可化为，此时无实数解；
当时，原方程化为，此时无实数解．
综上所述，方程的解为，故选B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及函数的图象，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2022春·浙江嘉兴·八年级校考期中）某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，由此可得出方程．
【详解】解：设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，故可得：，即．故选：A．
【点睛】此题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
4．（2022·浙江八年级月考）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【答案】C
【分析】由根的情况，依据根的判别式得出m的范围，结合m为正整数得出m的值，代入方程求解可得．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，解得：m＜2，
∵m为正整数，∴m＝1，则方程为x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.
5．（2022·浙江绍兴·八年级校考期中）三角形两边的长是4和3，第三边满足方程，则三角形周长为（ ）
A．10 B．15 C．10或15 D．以上都不对
【答案】A
【分析】先求出方程的解，再分情况讨论，最后求出答案即可．
【详解】解：解方程得：，，
当三边为3、4、3时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长为3+4+3=10，
当三边为3、4、8时，，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
即三角形的周长是10，故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程和三角形的三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
6．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，则方程a（x﹣1）2＋bx＝b﹣c的两根为（ ）
A．﹣2，11 B．﹣，6 C．﹣3，10 D．﹣5，21
【答案】B
【分析】令，则方程a（x﹣1）2＋bx＝b﹣c可变为，根据方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5得出的两个根为﹣，5，即可得出或，解出x的值即可．
【详解】解：∵a（x﹣1）2＋bx＝b﹣c，
∴，令，则，
∵方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，
∴的两个根为﹣，5，
∴或，解得：，，
即方程a（x﹣1）2＋bx＝b﹣c的两根为﹣，6，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，将方程a（x﹣1）2＋bx＝b﹣c变形为，得出或，是解题的关键．
7．（2022·广东九年级期中）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（ ）
A．1s B．1.2s C．2s D．4s
【答案】A
【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设约用了x秒．汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8，
∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．
∴（20﹣4x）×x=16，解得：x1=1，x2=4，∵20﹣8x＞0，∴x=1，故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值．
8．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期末）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）
-1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
【答案】B
【分析】根据表格中的数据，可判断代数式的值为4.61和4.56时，对应的值为-1.12和-1.11，观察原方程可理解为求代数式的值为4.6时，对应的的值，由此判断即可．
【详解】解：∵时，；时，；
∴时，对应应满足，
∴原方程的近似解为：-1.118，故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的近似解，理解表格中的数据，掌握求近似解的方法是解题关键．
9．（2021·湖北荆州市·中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，∴．整理得，．
∵方程有两个实数根，∴判别式且．由得，，解得，．
∴k的取值范围是且．故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
10．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）设关于的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出a的取值范围，再由根与系数的关系求出a的取值范围，找到公共解集即可解答．
【详解】解：根据题意得，
，解得
或，无解
综上， 故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 宝应县月考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1、b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根为 ．
【分析】把x＝﹣1代入ax2+bx+c﹣1＝0中计算求出
【解答】解：把x＝﹣1代入ax2+bx+c﹣1＝0得：a﹣b+c﹣1＝0，
把a＝1，b＝4代入得：1﹣4+c﹣1＝0，解得：c＝4，
方程为x2+4x+4＝0，即（x+2）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣2．故答案为：x1＝x2＝﹣2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，确定出正确的c值是解本题的关键．
12．（2022·浙江杭州·八年级期中）若关于的一元二次方程没有实数根，请写出一组正确的，的值______，______．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】利用一元二次方程的定义得到，再利用根的判别式得到，则，然后先确定一个的值，再确定一个的值（答案不唯一）．
【详解】解：方程为一元二次方程，，
方程没有实数根，，即，
当时，，可以取，此时方程没有实数解．
故答案为：，（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
13．（2022·江苏灌云初三月考）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）
【答案】②．
【分析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积，可求出，此题得解．
【解析】解：即，
构造如图中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
14．（2022·成都市·九年级期中）若，是关于的方程的两个实数根，且，则的值是___________．
【答案】或
【分析】设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到，，根据题意有，可得，解得或，而△≥0，即（2k﹣3）2﹣4k2≥0，解得；最后得到满足条件的k值；
【详解】解：根据题意，，
∵，∴，∴，∴，
整理得，解得或．
∵方程有两个实数根∴△≥0，即（2k﹣3）2﹣4k2≥0，解得，
∴或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2，x1 x2．
15．（2022·上海九年级期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为 .
【答案】
【分析】根据“月亮”方程的定义得出，变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵方程是“月亮”方程，∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16．（2022·江西·九年级一模）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．
【答案】8或
【分析】分类讨论：当a＝b，解方程易得原式＝8±2；当a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
【详解】解：当a＝b时，由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，∴a+b＝8±2；
当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8．故答案为8或8±2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a、b进行分类讨论是解题关键．
17．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【详解】解（x-3m）（x-m）=0∴x-3m=0或x-m=0解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
18．（2022·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程，下列命题中是正确的有__________（填序号）．
①若，则；
②若方程两个根为和3，则；
③若，则方程一定有两实数数根，并且这两个根互为相反数；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根．
【答案】④
【分析】①根据，可以得到，然后代入，看最后的结果，再和小题中的结论对比，即可解答本题；
②根据根与系数的关系，可以得到a和c的关系，从而可以判断的值是否等于0；
③根据和根的判别式，可以判断方程的根的情况；
④根据方程有两个不相等的实数根，可以得到根的判别式大于0，然后即可判断方程的根的判别式的正负，从而可以解答本题．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，故①错误；
②∵方程两根为和3，
∴，，
∴，，
∴，故②错误；
③∵，
∴，
∵题目中a、c的值不确定，故的值不确定，不能判定该方程根的情况，故③错误；
④∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵方程，
∴，故方程必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：④．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的命题是否成立．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）解下列方程：
(1)（配方法） (2)（运用公式法） (3)（分解因式法）
【答案】(1)或(2)(3)或
【分析】（1）利用配方法得到（x-2）2=3，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式解方程；
（3）先移项，然后利用因式分解法解方程；
【解析】(1)
解： ，
∴，
∴
∴，
(2)
解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
(3)
解：
∴，
∴，
∴，；
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（山东省济宁市嘉祥县祥城中学2022-2023学年九年级上学期9月月考数学试题）阅读材料：为解方程（x2－1）2－5（x2－1）＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－l＝y，则（x2－1）2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0．
解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2－1＝1．∴x2＝2．∴x＝±；
当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－
请利用以上知识解决下列问题：
如果，求的值．
【答案】2
【分析】根据所给材料，将看成一个整体，然后解关于的方程，并根据是非负数对结果进行取舍即可得到答案；
【详解】解：设=x，
化为
解得：
∵x=
∴
∴应舍掉
∴=2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握相关知识并熟练使用，注意解题中需注意的事项，尤其注意 是非负数，这是本题的解题关键．
21．（2021·四川南充市·中考真题）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；
【详解】解：（1）
∵△==
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵ ∴∴=0
∴，或，
当，时，∵k与都为整数，∴k=0或-2
当，时，∴，∵k与都为整数，∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
22.（2022 平江县期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆达到288次，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，
根据题意，得：128 （1+x）2＝288
解得x1＝0.5；x2＝﹣2.5（舍去）．
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）第四个月进馆人数为288（1）＝432（人次），
由于432＜500
答：市图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
23．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解；（2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得；
（2）设该方程的两个根为、，∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴，，∴，∴m的值为1或2，
当时，方程两个根为、；
当时，方程两个根与不是整数；∴m的值为1．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．
24．（江苏省常州市金坛区金坛区水北中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或
③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当，时，取得最小值，最小值为
【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；
（2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果；
（3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，
；
第二种形式：选取二次项和常数项配方，
；
或
；
第三种形式：选取一次项和常数项配方，
；
（2）解：，
配方，得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
当，时，取得最小值，
即当，时，取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．
25.（2022·江苏无锡市·九年级专题练习）健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元、已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元．（1）用含的代数式表示；（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元．①求2017年每种套餐的销售量；②由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份套餐的利润在2017年的基础上增加，2019年在2018年的基础上又增加、若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利万元，求的值．
【答案】（1）（或）；（2）①2017年项套餐销售量为万份，2017年项套餐销售量为万份；② .
【分析】（1）根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）①根据题意，先确定A和B套餐的销售量，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；
②分别求出B套餐2017年、2018年、2019年的盈利，然后列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）根据题意，B套餐卖出份，则，
∴（或）；
依题意得，2017年项套餐销售量为：万份，
项套餐销售量为：万份，
根据题意得： 解得：
所以2017年项套餐销售量为（万份）
2017年项套餐销售量为(万份）
依题意可知，2017年项套餐每份盈利元，2018年项套餐每份盈利元，
2019年项套餐每份盈利元，
所以根据题意得：
设，则 解得：
(不符合题意，舍去） ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及列代数式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确理解题意，列出方程进行解题．
26．（2022·南阳九年级期末）如图，平行四边形位于直角坐标系中，为坐标原点，点，点交轴于点 动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度终点运动，同时动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为 t（秒）． （1）用t的代数式表示： ________， ________
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当恰好是等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1）5－t，2t；（2）或；（3）或
【分析】(1)根据题意，可得点B的坐标为( 5，4)，即可求得BE=5 t，OF=2t；
（2）分两种情况讨论：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，BE=AF；②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，BE=AF，列方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当BF=EF时；②当EB=FB时；③当BE=FE时，分别列方程求解即可．
【详解】（1）如图
根据题意，可得点B的坐标为( 5，4)，点，
∴BD=BC-CD=8-3=5，BE=BD-DE=5－t；OF＝2t 故答案为BE=5-t，OF=2t．
(2)解：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，
， 即，解得，
②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，
，即，解得；
(3)解：当恰好是等腰三角形时，过点B作BJ⊥x轴于J，过点E作EK⊥x轴于K，
BE=5-t，EF=，BF=，
有以下三种情况：
①当时，有=，
，解得；
②当时，有，
△=100-4×3×16=-92＜0，故方程无解；
③当时，有，解得；
所以，当或时，恰好是等腰三角形．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟悉并综合运用以上性质解决问题．
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专题2-5 一元二次方程 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江杭州·八年级模拟）下面关于x的方程中①；②；③；④；⑤；⑥是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·江苏初三期中）定义为不大于实数x的最大整数，如，．函数的图象如图所示，则方程的解为（ ）
A．0或 B．0 C． D．0或
3．（2022春·浙江嘉兴·八年级校考期中）某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·浙江八年级月考）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
5．（2022·浙江绍兴·八年级校考期中）三角形两边的长是4和3，第三边满足方程，则三角形周长为（ ）
A．10 B．15 C．10或15 D．以上都不对
6．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，则方程a（x﹣1）2＋bx＝b﹣c的两根为（ ）
A．﹣2，11 B．﹣，6 C．﹣3，10 D．﹣5，21
7．（2022·广东九年级期中）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（ ）
A．1s B．1.2s C．2s D．4s
8．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期末）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）
-1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
9．（2021·湖北荆州市·中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
10．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）设关于的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 宝应县月考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1、b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根为 ．
12．（2022·浙江杭州·八年级期中）若关于的一元二次方程没有实数根，请写出一组正确的，的值______，______．
13．（2022·江苏灌云初三月考）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）
14．（2022·成都市·九年级期中）若，是关于的方程的两个实数根，且，则的值是___________．
15．（2022·上海九年级期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为 .
16．（2022·江西·九年级一模）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．
17．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
18．（2022·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程，下列命题中是正确的有__________（填序号）．
①若，则；
②若方程两个根为和3，则；
③若，则方程一定有两实数数根，并且这两个根互为相反数；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）解下列方程：
(1)（配方法） (2)（运用公式法） (3)（分解因式法）
20．（山东省济宁市嘉祥县祥城中学2022-2023学年九年级上学期9月月考数学试题）阅读材料：为解方程（x2－1）2－5（x2－1）＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－l＝y，则（x2－1）2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0．
解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2－1＝1．∴x2＝2．∴x＝±；
当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－
请利用以上知识解决下列问题：
如果，求的值．
21．（2021·四川南充市·中考真题）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
22.（2022 平江县期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
23．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
24．（江苏省常州市金坛区金坛区水北中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或
③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
25.（2022·江苏无锡市·九年级专题练习）健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元、已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元．（1）用含的代数式表示；（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元．①求2017年每种套餐的销售量；②由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份套餐的利润在2017年的基础上增加，2019年在2018年的基础上又增加、若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利万元，求的值．
26．（2022·南阳九年级期末）如图，平行四边形位于直角坐标系中，为坐标原点，点，点交轴于点 动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度终点运动，同时动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为 t（秒）． （1）用t的代数式表示： ________， ________ （2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当恰好是等腰三角形时，求t的值．
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