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专题-2.3 一元二次方程的应用
模块一：知识清单
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；
③依据等量关系式和未知数x建立方程；
④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
2.一元二次方程应用题常见类型：
1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。
3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础
1.增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
总结：有关增长率和降低率的有关数量关系
增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”).
4.传播问题实例探索
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
5. 碰面问题（循环问题）
（1）不重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m=
（2）重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，
∴上述求法无重叠 ∴m=
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江杭州·八年级校考期中）一个长，宽的长方形纸板，将四个角各剪去一个边长为的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为的无盖长方体盒子，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·浙江杭州·八年级期中）电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022年黑龙江九年级一模数学试题）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共增出1980件礼物，那么这个班级共有学生（ ）
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
6．（2022年浙江省金华市浦江县初中毕业升学调研考试数学试题）如图，要设计一幅宽10cm，长15cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽度是3xcm，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022年山东省泰安市中考数学真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（重庆市南开中学校2021-2022学年九年下学期练习（十）数学试题（三诊））小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
9．（河南省2021年中考数学真题）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）在中，，，，动点从点沿线段向点动，一动点从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点运动的时间是（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022年广东省韶关市乐昌市新时代学校九年级下学期第二次模拟考试数学试题（6月））比亚迪汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，由于该型汽车既环保，又经济，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达18辆．设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x，可列方程为：_________．
12．（四川省成都市新都区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）新冠肺炎全球蔓延，为防控疫情，做到有“礼”有“距”，“碰肘礼”逐渐流行起来．某次会议上，每两个参加会议的人都相互一次“碰肘礼”，经统计所有人共碰肘36次，则这次会议到会人数是 _____人．
13．（2022年新疆中考数学模拟试卷）如图，将边长为的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为的长方形，剩余的部分面积为，则根据题意可列出形式为一般式的方程为______，的值是______．
14．（辽宁省葫芦岛市建昌县药王庙镇初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为___________．
15．（2022春·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米．若矩形围栏面积为210平方米，要求栅栏的长，则可列出方程________．
16.（2022 沧州八年级期末）如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是 ．
17．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．
18．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为；若时，则_________；若再在边长为大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图3），当时，则图3中阴影部分的面积_________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19（2022 扶风县期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
20．（2022·黑龙江大兴安岭地区·）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
21．（2022·浙江杭州·八年级校考期中）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率．
(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
22．（重庆市巴蜀中学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）蹦床是一项有利于提高全身协调性、增进亲子关系的运动，安吉蹦床推出了一种家庭套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买张套票的费用比现场购买张套票的费用少元，从网上购买点张套票的费用和现场购买张套票的费用共元．
(1)求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元？
(2)2022年元旦当天，安吉蹦床按各自的价格在网上和现场售出的总票数为张．元旦刚过，玩蹦床的人数下降，于是安吉蹦床决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发现现场购票每降价元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加张．经统计，1月3日的总票数中有通过网上平台售出，共余均由现场售出，且当天安吉蹦床的总收益为元．请问安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了多少元？
23．（2022·浙江·八年级统考阶段练习）社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米．
(1)求通道的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？
24．（2022年重庆市第七中学中考一诊数学试题）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题-2.3 一元二次方程的应用
模块一：知识清单
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；
③依据等量关系式和未知数x建立方程；
④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
2.一元二次方程应用题常见类型：
1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。
3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础
1.增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
总结：有关增长率和降低率的有关数量关系
增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”).
4.传播问题实例探索
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
5. 碰面问题（循环问题）
（1）不重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m=
（2）重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，
∴上述求法无重叠 ∴m=
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江杭州·八年级校考期中）一个长，宽的长方形纸板，将四个角各剪去一个边长为的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为的无盖长方体盒子，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为，宽为，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】由题意得，，故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
2．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：，
第二轮传染后患流感的人数是：，
而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，
．即故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
3．（2022春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意求出每支球队进行场比赛，再根据每个队之间比赛一场即可表示总的场次，然后根据总的比赛场次（场）列出方程即可．
【详解】根据题意可知．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是列方程的关键．
4．（2022春·浙江杭州·八年级期中）电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】第一天为3亿元，根据增长率为x得出第二天为亿元，第三天为亿元，根据三天累计为10亿元，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得．故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2022年黑龙江九年级一模数学试题）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共增出1980件礼物，那么这个班级共有学生（ ）
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
【答案】D
【分析】设九年级（11）班有x人，根据每个同学都向其他同学赠送纪念品一件，全班共送出纪念品1980件，可列方程求解．
【详解】解：设有x人，则x（x-1）=1980
x=45或x=-44（舍去）．即全班共有45人．故选：D．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是知道每人送出（x-1）件礼物，从而可得解．
6．（2022年浙江省金华市浦江县初中毕业升学调研考试数学试题）如图，要设计一幅宽10cm，长15cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽度是3xcm，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设横彩条的宽度是3xcm，根据剩余部分的面积是图案面积的四分之三列方程即可．
【详解】解：设横彩条的宽度是3xcm，则竖彩条的宽度是2xcm，由题意得
，故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用-几何问题，解题关键是要读懂题目的意思，掌握几何图形的性质，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
7．（2022年山东省泰安市中考数学真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x 1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x 1）文，依题意得：3（x 1）x＝6210，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（重庆市南开中学校2021-2022学年九年下学期练习（十）数学试题（三诊））小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程即可．
【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，
由题意得，故选：C．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9．（河南省2021年中考数学真题）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,∴,即,
∵∴,∵点为的中点，∴,故选：C．
【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．
10．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）在中，，，，动点从点沿线段向点动，一动点从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点运动的时间是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】设点运动的时间为，则，，根据三角形面积公式建立方程求解即可．
【详解】解：设点运动的时间为，则，，
依题意得：，整理得：，解得：，，
当到达点时两点同时停止运动，，，．故选：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的几何应用，正确理解题意利用三角形面积公式建立方程求解是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022年广东省韶关市乐昌市新时代学校九年级下学期第二次模拟考试数学试题（6月））比亚迪汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，由于该型汽车既环保，又经济，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达18辆．设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x，可列方程为：_________．
【答案】
【分析】汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x，则4月份的销售额是8（1+x），5月份的销售额是，据此可列出方程．
【详解】解：根据题意可列方程：
，故答案为：．
【点睛】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．增长用“+”，下降用“-”．
12．（四川省成都市新都区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）新冠肺炎全球蔓延，为防控疫情，做到有“礼”有“距”，“碰肘礼”逐渐流行起来．某次会议上，每两个参加会议的人都相互一次“碰肘礼”，经统计所有人共碰肘36次，则这次会议到会人数是 _____人．
【答案】9
【分析】设这次会议到会人数是x人，利用碰肘的总次数＝参会人数×（参会人数 1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这次会议到会人数是x人，
依题意得：x（x 1）＝36，整理得：x2 x 72＝0，
解得：x1＝9，x2＝ 8（不合题意，舍去）．故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2022年新疆中考数学模拟试卷）如图，将边长为的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为的长方形，剩余的部分面积为，则根据题意可列出形式为一般式的方程为______，的值是______．
【答案】
【分析】由正方形两边两边各剪去一个一边长为的长方形，可知余下正方形边长为，由面积等于，可列出方程化为一般式，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】由题意知，，化一般式为，
，解得：（舍去），∴，故答案为：，．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，一元二次方程一般式形式，据题意列出一元二次方程是关键．
14．（辽宁省葫芦岛市建昌县药王庙镇初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为___________．
【答案】
【分析】根据题意找出等量关系即可列出方程，主干+支杆+小分支=43．
【详解】解：设主干长出x个支干，
，整理得：故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．
15．（2022春·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米．若矩形围栏面积为210平方米，要求栅栏的长，则可列出方程________．
【答案】
【分析】根据栅栏的全长49米结合中间共留2个1米的小门，可以得出AB的长，再利用矩形围栏面积为210平方米列方程即可．
【详解】解：由栅栏的全长49米可得：，∴（m）．
又∵矩形围栏面积为210平方米，即（），
∴可列出方程是：．故答案是：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用中的列方程．正确理解题意，求出用x表示AB是解题关键是．
16.（2022 沧州八年级期末）如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是 ．
【分析】据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案．
【解答】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：x+8，根据题意可得：
x（x+8）＝128，整理得：x2+8x﹣128＝0，
（x﹣8）（x+16）＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣16，
则这4个数中最小的数是8．故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出最大数是解题关键．
17．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．
【答案】或
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．
【详解】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，∴AB⊥AG，∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，∴AP=BE，
∵AP=2t，∴BE=2t，∴E点坐标为(2t,0)，
∵AB=BC=3，∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，
∴Q点坐标为(t-3,0)，∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，整理：，解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，整理：，解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，．故答案为：，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．
18．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为；若时，则_________；若再在边长为大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图3），当时，则图3中阴影部分的面积_________．
【答案】 3 6.5##
【分析】先将，，用用a，b表示，再分别根据与，计算即可．
【详解】解：在图1中，根据题意得：，
∴，
同理在图2中，，
∴
∴，
又∵，∴．又∵，即，
将代入方程中得：
解得：（舍去），∴．
在图3中，
∴故答案为：3；．
【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，解一元二次方程，掌握相关知识和技巧是解题的关键．本题难度较大，所列式子较复杂，需要较强的阅读理解能力和对数学思想的运用能力．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19（2022 扶风县期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有169人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+12），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（2022·黑龙江大兴安岭地区·）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
【答案】（Ⅰ）（x﹣1），x（x﹣1）；（Ⅱ）10家
【分析】（1）理解题意，列出代数式即可；
（2）根据“所有公司共签订了45份合同”得到等量关系，列出方程并求解即可．
【详解】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，
所有公司共签订了x（x﹣1）份合同，故答案为：（x﹣1），x（x﹣1）；
（Ⅱ）根据题意列方程得：x（x﹣1）＝45，
解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去）检验：x＝﹣9不合题意舍去，所以x＝10．
答：共有10家公司参加商品交易会．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．
21．（2022·浙江杭州·八年级校考期中）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率．
(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
【答案】(1)三、四这两个月的月平均增长率为．
(2)当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
【分析】（1）直接利用二月销量四月的销量进而求出答案．
（2）首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，再解即可．
【详解】（1）解：（1）设三、四这两个月的月平均增长率为x
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：三、四这两个月的月平均增长率为．
（2）设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
根据题意可得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
22．（重庆市巴蜀中学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）蹦床是一项有利于提高全身协调性、增进亲子关系的运动，安吉蹦床推出了一种家庭套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买张套票的费用比现场购买张套票的费用少元，从网上购买点张套票的费用和现场购买张套票的费用共元．
(1)求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元？
(2)2022年元旦当天，安吉蹦床按各自的价格在网上和现场售出的总票数为张．元旦刚过，玩蹦床的人数下降，于是安吉蹦床决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发现现场购票每降价元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加张．经统计，1月3日的总票数中有通过网上平台售出，共余均由现场售出，且当天安吉蹦床的总收益为元．请问安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了多少元？
【答案】(1)网上购买套票是88元，现场购买套票的价格是元；
(2)安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了元
【分析】（1）设网上购买套票和现场购买套票的价格分别是元，根据题意列一元二次方程解方程求解即可；（2）先求得总票数，进而根据票数乘以价格等于收益建立一元二次方程，解方程求解即可
（1）设网上购买套票和现场购买套票的价格分别是元，根据题意得，
解得：
答：网上购买套票是88元，现场购买套票的价格是元
（2）安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了元，根据题意，得：
解得
答：安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了30元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的有意义，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程（组）是解题的关键．
23．（2022·浙江·八年级统考阶段练习）社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米．
(1)求通道的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？
【答案】(1)6；(2)40
【分析】（1）设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设每个车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量为个，再根据“月租金=每个车位的月租金×租出的车位数”列方程并求解．
【详解】（1）解：设通道的宽为x米，
根据题意，得，
，
，
或（不符合实际，舍去），
答：通道的宽是6米；
（2）解：设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，或，
，
不符合题意，舍去，
（元）
故每个车位的月租金应上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解答此题的关键．
24．（2022年重庆市第七中学中考一诊数学试题）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米(2)a的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得：，解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，∴符合题意；
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
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