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专题-2.4 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
模块一：知识清单
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。
1）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则，
注意：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
2）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根
则：时，有; 时，有
时，有
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A．－3 B．2 C．3 D．－4
【答案】C
【分析】设方程的一个根＝1，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：设方程的一个根＝1，另一个根为，根据题意得： ＝3，
将＝1代入，得＝3．故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键．
2．（山东省烟台市栖霞市2021-2022学年九年级下学期期中数学试题）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式(m+n)2022的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】直接利用根与系数的关系得出两根之和，进而得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，
∴1+n=-m，解得：m+n=-1，故（m+n）2022=1．故选：A．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，正确得出m+n的值是解题关键．
3．（2022秋·浙江温州·八年级校考阶段练习）已知是方程的两根，则的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可．
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，，，，
∴
，故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．
4．（2022春·浙江温州·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根的差为2，则m=( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．0或1
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，解得：，
设是一元二次方程的两根，∴，
∵该方程的两个实数根的差为2，∴，
∴，∴，解得：或-1．故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
5．（2022·浙江·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．
【答案】A
【分析】先利用根的判别式得到m≥，再根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，则2m+3＝m2，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．
【详解】解：根据题意得Δ＝（2m+3）2﹣4m2≥0，解得m≥，
根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，
∵＝1，∴α+β＝αβ，即2m+3＝m2，
整理得m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，
∵m≥，∴m的值为3．故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，是解答此题的关键．
6．（2022年河北省廊坊市5月中考模拟考试数学试卷）若关于x的方程两根异号，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式，可得，再由方程的两根异号，可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：方程有两个不相同的实数根，
∴，解得：，设是方程的两根，
∵方程的两根异号，∴，∴a的取值范围是．故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
7．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知，是方程x2＋2022x＋1＝0的两个根，则代数式（1＋2023＋2）（1＋2026＋2）的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系得到αβ=1，通过根的定义得到α2+2022α+1=0，β2+2022β+1=0，即可得到1+2023α+α2=α，1+2026β+β2=4β，进一步即可求出答案．
【详解】∵α，β是方程x2+2022x+1=0的两个根，
∴αβ=1，α2+2022α+1=0，β2+2022β+1=0，∴1+2023α+α2=α，1+2026β+β2=4β
∴（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）=a 4β=4αβ=4×1=4．故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程根的定义，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题．
8．（2022年广东省佛山市禅城区中考一模数学试题）已知：实数a、b满足a2+a＝b2+b＝3，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由题意可知a、b是方程x2＋x＝3的两根，∴a＋b＝ 1，ab＝ 3，
∴原式＝，故选：A．
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
9．（2022春·浙江杭州·八年级统考期中）已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（ ）
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．若x是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1
C．无论m取何值，方程都有一个负数根
D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】m＝0化为一元一次方程，即可得；当时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得，即可得方程的另一个根，根据求根公式得，，解得当时，，根据求根公式得当时，方程有两个不相等的实数根，综上即可得．
【详解】解：当m＝0时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得，，
∴当m＝0时，方程只有一个实数根，
当时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得，解得，，
此时方程为，，
，，，则方程的另一个根为-1；
当时，，
当时，，
当时，，
解得，，，
∴无论m取何值，方程都有一个负数根，
∴当时，方程有两个不相等的实数根，
综上，选项A、B、C正确，故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系和分类讨论．
10．（2022秋·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）设关于的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出a的取值范围，再由根与系数的关系求出a的取值范围，找到公共解集即可解答．
【详解】解：根据题意得，
，解得 或，无解
综上，故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，则m=______，方程的另一个根是______．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系：，进行求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为：，
∵∴，∴，
∴；故答案为：，
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系：，是解题的关键．
12．（2022年中考数学第二次模拟考试）在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________．
【答案】 ﹣2 ﹣3
【分析】由小明看错了系数p知常数项q无误，根据所得两根之积可得q的值；由小红看错了系数q知一次项系数p无误，根据所得两根之和可得p和q的值．
【详解】解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为和，∴，
∵小红看错了系数q，解得方程的根为和，∴，∴，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝﹣，x1 x2＝，解题关键熟记根与系数的关系．
13．（2022·浙江·九年级专题练习）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x12+4x1﹣2x2的值为 ______．
【答案】11
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x12＝﹣3x1+4，则4x12+4x1﹣2x2化为﹣2（x1+x2）+8，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵x1是方程2x2+3x﹣4＝0的根，
∴2x12+3x1﹣4＝0，∴2x12＝﹣3x1+4，
∴4x12+4x1﹣2x2＝2（﹣3x1+4）+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8，
∵x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣ ，
∴4x12+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8＝﹣2×（﹣）+8＝11．故答案为:11．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，．
14．（2022年四川省内江市中考数学真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．
【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）设，且，则代数式的值为______．
【答案】7
【分析】由a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，可以设a、b为方程设x2﹣3x+1＝0的两个根，则a+b＝3，ab＝1，由此整理整体代入即可．
【详解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，∴设a、b为方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴a+b＝3，ab＝1，∴＝＝＝＝7．故答案为：7．
【点睛】此题考查根与系数的关系，正确理解题意，把a、b看作方程x2﹣3x+1＝0的两个根是解决问题的关键．
16．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）设，，已知方程有两个不等的实根、；方程有两个根、，若，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据韦达定理，将两个一元二次方程根与系数的关系分别表示出来，再利用进行求解即可．
【详解】解：根据韦达定理：在中，，
在中，有两个根、，
所以，
化简为，即
，即，
，
解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练应用韦达定理是解题的关键．
17．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）若，且，，则的值是______．
【答案】
【分析】方程可变形为，把两边都除以得，结合可得出，是方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得答案．
【详解】解：，∴，
．
把两边都除以，得．
，，，是方程的两个不相等的实数根，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的值，根据已知条件得到，是方程的两个不相等的实数根是解题的难点．
18．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程，下列命题中是正确的有__________（填序号）．
①若，则；
②若方程两个根为和3，则；
③若，则方程一定有两实数数根，并且这两个根互为相反数；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根．
【答案】④
【分析】①根据，可以得到，然后代入，看最后的结果，再和小题中的结论对比，即可解答本题；
②根据根与系数的关系，可以得到a和c的关系，从而可以判断的值是否等于0；
③根据和根的判别式，可以判断方程的根的情况；
④根据方程有两个不相等的实数根，可以得到根的判别式大于0，然后即可判断方程的根的判别式的正负，从而可以解答本题．
【详解】解：①∵，∴，
∴，故①错误；
②∵方程两根为和3，∴，，∴，，
∴，故②错误；
③∵，∴，
∵题目中a、c的值不确定，故的值不确定，不能判定该方程根的情况，故③错误；
④∵方程有两个不相等的实数根，∴，
∵方程，
∴，故方程必有两个不相等的实数根，故④正确；故答案为：④．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的命题是否成立．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）已知关于x的方程．
(1)求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个实数根是，求p的值及方程的另一个实数根．
【答案】(1)见解析
(2)p=，方程的另一个实数根为
【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质证明Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）设方程的另一个根为t，则利用根与系数的关系得-p+1+t=5，（-p+1）t=6-p2，则t=4+p，消去t得到（-p+1）（4+p）=6-p2，然后解关于p的方程，再计算t的值．
（1）解：证明：原方程化为x2-5x+6-p2=0，
∵Δ=（-5）2-4（6-p2）=1+4p2，而4p2≥0，∴Δ＞0，
∴无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得-p+1+t=5，（-p+1）t=6-p2，
∴t=4+p，∴（-p+1）（4+p）=6-p2，
整理得p=，∴t=，
即p的值为，方程的另一个实数根为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式．
20．（湖北省十堰市2021年数学中考试题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解；
（2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得；
（2）设该方程的两个根为、，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴，，
∴，∴m的值为1或2，
当时，方程两个根为、；
当时，方程两个根与不是整数；∴m的值为1．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．
21．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)若方程有两个实数解，求实数a的取值范围：
(2)若方程的两个实数解是，，满足，求实数a的值．
【答案】(1)实数取值范围是；(2)都符合题意
【分析】（1）利用根的判别式得到，然后解不等式即可．
（2）利用根与系数的关系结合已知得到，然后解关于a的一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
∵方程有两个实数解，∴，
∴即实数取值范围是；
（2）解：由一元二次方程的根与系数关系得
，∵，∴，是同号的两个实数或其中一个为零，
∴，∵，∴，
∴，∴，∵，∴都符合题意．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．也考查了判别式的意义．
22．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)若这个方程的两个实根，，满足，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）△=＞0，无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数关系可得：，即可求解.
（1）证明：∵，
无论m取何实数，的值都大于零．∴这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵，是方程的两个实数根，∴．
又∵，∴．∴，代入原方程得：
，化简得：．解得：，．
【点睛】本题考查了根的判别式及根与系数的关系、解一元二次方程，解题的关键是熟知根与系数的关系及用根的判别式判定根的情况．
23．（2022·浙江绍兴·八年级校考期中）如果关于的一元二次方程（不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程．
(1)若关于的方程是倍根方程，则的值．
(2)请写出一个倍根方程，要求二次项系数为1，并求出它的解．
(3)关于a的一元二次方程（不为0）是倍根方程，且，请求出此方程的两个根．
【答案】(1)或 (2)（答案不唯一），解为，(3)，
【分析】（1）利用因式分解法解方程，再利用“倍根方程”的定义得到或，即可得到结果；
（2）根据“倍根方程”的定义写出一个二次项系数为1的方程，求解即可；
（3）利用“倍根方程”的定义设，根据，利用根与系数的关系得到，即可求出结果．
【详解】（1）解：∵，∴，，
当时，；当时，；
（2）例如，二次项系数为1，
∴，解得：，，
∴方程是倍根方程；
（3）∵方程是倍根方程，∴设，
∵，∴，∴，
∴，∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
24．（2022年湖北省黄石市部分学校九年级5月模拟考试数学试题）已知一元二次方程的两个根是，，则______，______．
（1）若实数m、n满足，，则的值是______．
（2）若实数s、t分别满足，，且．求的值．
【答案】； （1）或（2）
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系代入计算即可求解．
【详解】解：一元二次方程的两个根是，，
，，故答案为：；，
（1）实数m、n满足，，
①当时，，
②当时，、是的两个根，
，
，，
综上所述，的值为或故答案为：或，
（2）实数s、t分别满足，，且，
实数，是方程的两个不相等的实数根，
，，，的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查学生的计算能力，正确运用根与系数的关系是解题的关键．
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专题-2.4 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
模块一：知识清单
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。
1）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则，
注意：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
2）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根
则：时，有; 时，有
时，有
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A．－3 B．2 C．3 D．－4
2．（山东省烟台市栖霞市2021-2022学年九年级下学期期中数学试题）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式(m+n)2022的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．（2022秋·浙江温州·八年级校考阶段练习）已知是方程的两根，则的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2022春·浙江温州·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根的差为2，则m=( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．0或1
5．（2022·浙江·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．
6．（2022年河北省廊坊市5月中考模拟考试数学试卷）若关于x的方程两根异号，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知，是方程x2＋2022x＋1＝0的两个根，则代数式（1＋2023＋2）（1＋2026＋2）的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2022年广东省佛山市禅城区中考一模数学试题）已知：实数a、b满足a2+a＝b2+b＝3，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．2
9．（2022春·浙江杭州·八年级统考期中）已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（ ）
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．若x是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1
C．无论m取何值，方程都有一个负数根
D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根
10．（2022秋·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）设关于的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，则m=______，方程的另一个根是______．
12．（2022年中考数学第二次模拟考试）在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________．
13．（2022·浙江·九年级专题练习）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x12+4x1﹣2x2的值为 ______．
14．（2022年四川省内江市中考数学真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
15．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）设，且，则代数式的值为______．
16．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）设，，已知方程有两个不等的实根、；方程有两个根、，若，则的值为__________．
17．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）若，且，，则的值是______．
18．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程，下列命题中是正确的有__________（填序号）．
①若，则；
②若方程两个根为和3，则；
③若，则方程一定有两实数数根，并且这两个根互为相反数；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）已知关于x的方程．
(1)求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个实数根是，求p的值及方程的另一个实数根．
20．（湖北省十堰市2021年数学中考试题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
21．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)若方程有两个实数解，求实数a的取值范围：
(2)若方程的两个实数解是，，满足，求实数a的值．
22．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)若这个方程的两个实根，，满足，求m的值．
23．（2022·浙江绍兴·八年级校考期中）如果关于的一元二次方程（不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程．
(1)若关于的方程是倍根方程，则的值．
(2)请写出一个倍根方程，要求二次项系数为1，并求出它的解．
(3)关于a的一元二次方程（不为0）是倍根方程，且，请求出此方程的两个根．
24．（2022年湖北省黄石市部分学校九年级5月模拟考试数学试题）已知一元二次方程的两个根是，，则______，______．
（1）若实数m、n满足，，则的值是______．
（2）若实数s、t分别满足，，且．求的值．
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