2022-2023学年华东师大版数学九年级下册26.2.2 根据二次函数的图象判断式子的符号专题练习 （含解析）

根据二次函数的图象判断式子的符号专题测试卷（附解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
满分120分 考试时间120分钟
一、单选题（每小题4分，共48分）
1．抛物线（）的部分图像如图，则下列说法：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为．则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②一元二次方程的实数根为；③；④；⑤当时，．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
4．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②y随x的增大而增大；③方程两根之和大于零；④一次函数的图象一定不过第四象限，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：；；；若为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，且，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．若m为任意实数，则
7．二次函数的图象如图所示，在以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数的对称轴是，图象如图所示，下面四个结论：①；②；③；④其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根为和3；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x的增大而增大．其中错误的有（　 　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
12．抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有个．其中正确的有个（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．如下图，抛物线与x轴交于点下列判断：①；②；③；④．其中判断一定正确的序号是________．
14．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有__________（填写所有正确结论的序号）．
15．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：．正确的说法有___________（把正确的序号都填在横线上）
16．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是_________．（填序号）
三、解答题（6个小题，共56分）
17．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c．
18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝，请你解答下列问题：
（1）m＝　 　，抛物线与x轴的交点为　 　．
（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？
（3）x取什么值时，y＜0？
19．抛物线的图象如图所示：
（1）判断，，，的符号；
（2）当时，求，，满足的关系．
20．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，
确定，，，的符号；
求证：；
当取何值时，，当取何值时．
21．如图，抛物线C：经过点C（0，2），与x轴交于A，B两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点D（x1，y1），E（x2，y2）是抛物线C上两点，x1＜2＜x2，y1＜0，y2＞0．
①若∠CBD=75°，求BD所在直线的函数解析式；
②已知∠CBE=∠CBD，求证：（x1-1）（x2-1）为定值．
22．设二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，c＞1），当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证：．
参考答案：
1．D
【详解】∵抛物线（）的图像开口向上，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，
抛物线（）的图像与轴交于，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线（）的图像与轴有两个交点，
∴，
∴，故③正确；
∵根据抛物线（）的图像可知，
时，，
∴，故④正确；
故选：D
2．D
【详解】解：由抛物线的对称轴可得，故B错误；
由抛物线与轴的交点在轴的正半轴可得，
由抛物线的对称轴可得，则，故A错误；
由于抛物线与轴的左交点在到之间，根据抛物线的轴对称性可得：
抛物线与轴的右交点在5到6之间，
因而当时，，故C错误；
当时，，
由即可得，，则，故D正确．
故选：D．
3．D
【详解】解：∵抛物线的开口下，∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴，
∴，故①正确；
根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的交点坐标为和，
∴一元二次方程的实数根为，，故②正确；
∵，∴，故③错误；
由图象可知，当时，，故④正确；
由图象和②可知，当时，，故⑤错误，
综上，正确的结论是①②④，
故选：D．
4．C
【详解】∵当时，，对应的y值为正，即，故①正确；
∵因为抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故②错误；
∵由二次函数的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根，且正根的绝对值较大，
∴方程两根之和大于零，故③正确；
∵由图象开口向上，知，与y轴交于负半轴，知，由对称轴，知，
∴，
∴一次函数的图象一定不经过第四象限，故④正确；
综上，正确的个数为3个，
故选：C．
5．C
【详解】解：观察图象可知：，，，
，故错误；
对称轴为直线，，
可得，，
点，点，
当时，，即，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
当时，函数有最小值，
由，可得，
若为任意实数，则，故正确；
故选：C．
6．C
【详解】函数图像开口向下∴
对称轴为；；
又因为图像和y轴的交点在正半轴，∴
∴，故A正确，不符题意；
∵，∴，故B正确，不符题意；
∵，
∴,
∴
时，
故C错误，符合题意；
当时，函数取得最大值
当时，
由图像可知：
∴
故D正确，不符题意．
7．B
【详解】解：∵抛物线开口向上，则，
对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①不正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴方程有两个不等实数根，
∴，即，故②正确；
∵，，
∴，故③不正确；
根据函数图象，当时，函数值小于0，即，
故④正确，
综上所述，②④正确，
故选：B．
8．C
【详解】解：A、∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，即：，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴；选项正确，不符合题意；
B、当时，，
由A知：，
∴，选项正确，不符合题意；
C、抛物线关于直线对称，
∴的函数值等于的函数值，即：，选项错误，不符合题意；
D、抛物线关于直线对称，
∴的函数值等于的函数值，即：，
∵图象过，
∴，选项正确，不符合题意；
故选C．
9．B
【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，故①正确，
∵抛物线的对称轴直线为，
∴，
∴，
∴，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴，
∵，
∴，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
∴，故②正确，
∵抛物线的对称轴直线为，
∴和时的函数值相等，
由图象可知此时抛物线在x轴下方，即，
∴，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
10．B
【详解】解：①∵图像与轴有两个交点，
∴，
∴，
故①正确；
②∵当时，，
∴，
∴，
故②正确；
③∵图像的对称轴为，
∴，
∴，
∵由图像可知，当,，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的开口向下，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③错误；
∵由可得：，
∴把代入可得，
∵，
∴，
∴，
∴或者，
即：只用当或时，才成立
故④错误．
故选．
11．B
【详解】解：抛物线与轴有2个交点，
，
，故①错误；
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
方程的两个根是，，故②正确；
，即，
而时，，即，
，
即，故③错误；
抛物线与轴的两点坐标为，，
当时，的取值范围是，故④错误；
抛物线的对称轴为直线，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而增大，故⑤正确；
所以其中结论正确有①③④，共3个．
故选：B．
12．C
【详解】解：抛物线交轴于，
抛物线对称轴为直线：
故①正确；
②∵交轴于，．
，
消去a得
故②错误；
∵抛物线开口向上，对称轴是
∴时，二次函数有最小值
∴时，
故③正确；
④∵，，是等腰直角三角形．
设点D坐标为．
则．
解得．
∵点D在x轴下方．
∴点D为．
设二次函数解析式为，过点．
∴．
解得．
故④正确；
⑤由题意可得，
，
．
故是等腰三角形时，只有两种情况，故a的值有2个．
故⑤错误．
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
13．①②
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∴，，故②正确；
∴，
∴，故③错误；
∵当时，，
∴，故④错误；
∴正确的有①②；
故答案为：①②．
14．①③④
【详解】解：①函数开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧
异号，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①正确；
②图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，故②错误；
③二次函数的图象与轴的交点在的下方，对称轴在轴右侧，
最小值：，
，
；③正确；
④图象与轴的交点在和之间，
∵，
∴，
，
；故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
15．②④．
【详解】解∶①抛物线开口方向向上，则．抛物线与轴交于正半轴，则，
所以，
故①错误；
②如图所示，对称轴，则，则，故②正确；
③如图所示，抛物线与轴有2个交点，则，故③错误；
④对称轴，当与时的点是关于直线的对应点，所以与时的函数值相等，所以，故④正确；综上所述，正确的结论为②④．
故答案为∶②④．
16．①②③
【详解】解：①由图象得，图象与x轴的一个交点为，对称轴为，
∴另一个交点为
∴方程有两个不相等的实数根，，正确；
②因为开口向下，故，
∵，
∴，
又，
∴，正确；
③由对称轴，得，正确；
④由①得另一个交点为，
∴时，，
当时，，即，故错误；
故①②③正确．
故答案为：①②③．
17．①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＜0
【详解】解：①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x=﹣＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，则c＜0，abc＜0；
②抛物线与x轴没有交点，所以=b2﹣4ac＜0；
③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=a+b+c＜0；
④当自变量为﹣1时，图象在x轴下方，则x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．
18．（1）2；（﹣1，0），（2，0）；（2）x＞；（3）x＜﹣1或x＞2
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝ =，
∴m＝2，
抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，
当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0）；
（2）由函数图象可知,
当x＞时，y的值随x的增大而减小；
（3）由函数图象可知,
当x＜﹣1或x＞2时，y＜0．
19．（1）；（2）．
【详解】（1）由图象可知，抛物线开口向下，可得：a＜0；
x=0时，y=c＞0；
∵对称轴x=，a＜0，∴b＞0；
图象与x轴有两个不同交点可得b2﹣4ac＞0；
（2）当|OA|=|OB|时，即A点坐标为（﹣c，0），代入抛物线方程得y=ac2﹣bc+c两边同时除以c得：ac﹣b+1=0．
20．（1），，，；（2）详见解析；（3）当时，；当或时，．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴；
证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为，
∴当时，；
根据图象可知，
当时，；当或时，．
21．(1)；(2)①；②见解析
【详解】（1）
∵经过点C（0，2），
∴把（0，2）代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
（2）
①延长BD交y轴于点N，如图
∵令
∴，
∴A（1，0），B（2，0），
∴OC=OB=2，
∴，
∵∠CBD=75°，
∴∠OBD=30°，
∴在中，
∴，，
∴N（0，），
设BD所在直线的函数解析式为，
把B（2，0），N（0，）代入得，
∴，
∴BD所在直线的函数解析式为
②过点C作与BE的延长线相交于点P，
∵，CB=CB，，
∴CN=CP，
设直线BN的解析式为
直线BP的解析式为
将B（2，0）分别代入解析式中得，
∴直线BN的解析式为直线BP的解析式为
当时，
∴CN=2-（-2m）=2+2m，
∴CP=CN=2+2m，
∴P（2+2m，2），
将P（2+2m，2）代入解析式中得，
∴mn=1，
∵
∴可得
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴为定值．
22．（1）ac≤1，理由见解析；（2）见解析
【详解】（1）解：当x＝c时，y＝0，即ac2+bc+c＝0，c（ac+b+1）＝0，
又c＞1，所以ac+b+1＝0
又因为当0＜x＜c时，y＞0，x＝c时，y＝0，
于是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴：即b≤﹣2ac
所以b＝﹣ac﹣1≤﹣2ac即ac≤1；
（2）证明：因为0＜x＝1＜c时，y＞0，所以a+b+c＞0
由ac≤1及a＞0，c＞1得：0＜a＜1
因为
=
而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a﹣2ac﹣2+3c＝（1﹣a）（2c﹣1）+（c﹣1）＞0
所以当x＞0时，，
即．