专题二 配方法的应用
(教材P36作业题第5题)
已知9x2＋18(n－1)x＋18n是完全平方式，求常数n的值．21世纪教育网版权所有
【思想方法】 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝＋；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]．
若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．
利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求它的最大值．21世纪教育网版权所有
a，b满足a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，求a＋2b的值．
已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－4的值．21世纪教育网版权所有
已知4x2－4x＋1＋＝0，求x＋y的值．
已知a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根．
(1)求a2－4a＋2 012的值；
(2)化简求值－.21世纪教育网版权所有
对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.
(1)求m，n的值；
(2)当x为何值时x2＋4x＋9有最小值？并求最小值．21世纪教育网版权所有
小萍说，无论x取何实数，代数式x2＋y2－10x＋8y＋42的值总是正数．你的看法如何？请谈谈你的理由．21世纪教育网版权所有
当a，b为何值时，多项式a2＋2ab＋2b2＋6b＋18有最小值？并求出这个最小值．21世纪教育网版权所有
若a，b，c是△ABC的三边，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断这个三角形的形状．21世纪教育网版权所有
参考答案
教材母题【答案】
解：9x2＋18(n－1)x＋18n
＝9[x2＋2(n－1)x]＋18n
＝9[x2＋2(n－1)x＋(n－1)2]－9(n－1)2＋18n
＝[3(x＋n－1)]2－9(n－1)2＋18n.
已知9x2＋18(n－1)x＋18n是一个完全平方式，
∴－9(n－1)2＋18n＝0，
化简，得－9(n2－4n＋1)＝0，解得n＝2±.
1、【答案】21世纪教育网版权所有
解：∵x2＋9y2－6xy＝(x－3y)2≥0，
∴x2＋9y2≥6xy.
3、【答案】
解：∵a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，
∴a2＋b2－2ab＋b2－2b＋1＝0，21世纪教育网版权所有
∴(a－b)2＋(b－1)2＝0.
∵(a－b)2≥0，(b－1)2≥0，
∴a－b＝0，b－1＝0，
∴a＝1，b＝1，
∴a＋2b＝1＋2×1＝3，
∴a＋2b的值是3.
4、【答案】
解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，
∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，
即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，21世纪教育网版权所有
∴a＋2＝0且b－1＝0，∴a＝－2且b＝1，
∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－4＝13.
5、【答案】
解：4x2－4x＋1＋＝0，
即(2x－1)2＋＝0，
∵(2x－1)2≥0，≥0，
∴2x－1＝0，且3y－2＝0，即x＝，y＝，
则x＋y＝＋＝1.21世纪教育网版权所有
7、【答案】
解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，
解得m＝2，n＝5；21世纪教育网版权所有
(2)∵m＝2，n＝5，
∴x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝(x＋2)2＋5，
∴当x＝－2时，x2＋4x＋9有最小值是5.
9、【答案】
解：a2＋2ab＋2b2＋6b＋18＝a2＋2ab＋b2＋b2＋6b＋9＋9＝(a＋b)2＋(b＋3)2＋9，
∴当a＝3，b＝－3时，多项式的最小值为9.
10、【答案】21世纪教育网版权所有
解：由已知条件可把原式变形为(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，由于a2＋b2＝c2，故此三角形为直角三角形．21世纪教育网版权所有
