专题三 一元二次方程根的判别式
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已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数满足ac<0，判别方程根的情况，并说明理由．
【思想方法】 一元二次方程根的判别式可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．常常有以下的应用．
一 判断一元二次方程根的情况
下列一元二次方程有两个相等实数根的是 ( )
A．x2＋3＝0
B．x2＋2x＝0
C．(x＋1)2＝0 21世纪教育网版权所有
D．(x＋3)(x－1)＝0
已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是 ( )
A．当k＝0时，方程无解
B．当k＝1时，方程有一个实数解
C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解
D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为 ( )
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根21世纪教育网版权所有
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
[2012·孝感]已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.
求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
二 确定一元二次方程中字母系数的值或取值范围
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ( )
A．k＞－1
B．k＜1且k≠0
C．k≥－1且k≠0 21世纪教育网版权所有
D．k＞－1且k≠0
已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__ __．
已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b的值是__ __．21世纪教育网版权所有
已知关于x的一元二次方程x2＋kx－3＝0.
(1)求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当k＝2时，用配方法解此一元二次方程．21世纪教育网版权所有
已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
三 一元二次方程隐含条件的综合运用
已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( )
A．k＜－2
B．k＜2
C．k＞2 21世纪教育网版权所有
D．k＜2且k≠1
关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋(k－1)＝0有实数根，则k的取值范围是__ __．21世纪教育网版权所有
关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值为 ( )
A．2 B．1
C．0 D．－121世纪教育网版权所有
参考答案
教材母题【答案】
解：Δ＝b2－4ac>0，
所以原方程有两个不相等的实数根．21世纪教育网版权所有
1、【答案】C
2、【答案】C
3、【答案】C
4、【答案】21世纪教育网版权所有
证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4.
∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
6、【答案】D21世纪教育网版权所有
7、【答案】－3
【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即(－2)2－4×(－k)＝12＋4k＝0，
解得k＝－3.
8、【答案】221世纪教育网版权所有
10、【答案】
解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.
∵方程有两个不相等的实根，
∴20－8k>0，
∴k<.21世纪教育网版权所有
(2)∵k为正整数，
∴0∴x1，2＝－1±.
∵方程的根为整数，
∴5－2k为完全平方数．
当k＝1时，5－2k＝3，不是完全平方数；
当k＝2时，5－2k＝1，是完全平方数，21世纪教育网版权所有
∴k＝2.
11、【答案】D
12、【答案】k≥－且k≠0
13、【答案】C
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