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八下数学第二章：一元二次方程培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
2.对于实数定义新运算：※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
3.李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
4.若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知一元二次方程（）的两根分别为﹣3，1，则方程的两根分别为（ ）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
7．关于x的方程有根且只有整数根的一切有理数的值有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定
8.若关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
9.空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有一种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是
12．若方程有两个相等的根，则方程的根分别是________
13．已知都是方程的根，则的值为
14.若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为_____________
15．若是的一个实数根，则
16．在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）解方程：
（1） （2） （3）
18．（本题8分）已知是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，关于x的方程的根为 .
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若是关于x的一元二次方程的两个实数根，求m的值.
19（本题8分）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm．
（1）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
（2）能围成面积为80m2的花圃吗？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
20.（本题10分）已知关于 的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值.
21（本题10分）某毕业班将举办同学会，特为参会同学购买文化衫，据文化衫销售商家介绍，购买不超过10件，每件价格为140元；若超出10件，每超出1件，文化衫单价就降低1元；若购买数量不少于60件时，一律每件80元．
（1）若购买x件（10＜x＜60）文化衫，总费用为 元（用x的代数式表示）；
（2）由于同学会筹备组没有统一协调好，导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件，但不超过40件，且两次购买文化衫一共支付了9200元，求第一次购买的文化衫数量．
22．（本题12分）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
23．（本题12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
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八下数学第二章：一元二次方程培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
故答案为：A.
2.答案：A
解析：∵※
∴，
即
∵关于的方程※有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
3.答案：B
解析：设这个平均增长率是x，根据题意得
3000（1+x）2=3630
解之：x1=0.1=10％，x2=-2.1（舍去）.
故答案为：B.
4.答案：B
解析：∵ x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根 ，设另一个根为a，
-1+a=-1
解之：a=0，
∴方程的另一个根为0.
故答案为：B.
5.答案：C
解析：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，
∴Δ＝22﹣4（m﹣5）×2≥0且m﹣5≠0，
解得：m≤5.5且m≠5，
m的最大整数解为4，
故选：C．
6.答案：B
解析：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，
∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得：x＝﹣1或3，
即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，
故选择：B．
7.答案：B
解析：（1）若时，原方程为：
∴解为，∴原方程无整数根；
（2）当时，；
消去得：
转化为：
即，
∵，
∴①，解得，
∴，解得；
②，解得；
同理得：
③，解得，∴，
④，解得，∴．
∴使得关于x的方程有根且只有整数根的值是或1，
故选：B．
8.答案：A
解析：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴
∵是方程的两个实数根，
∴，
∵
∴
把代入整理得，
解得，
故答案为：A.
9.答案：A
解析：如图，设矩形ABCD的边AB为x米，则宽BC为（40﹣2x）米，
根据题意得：S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x，
A、当a＝16，S＝196时，﹣2x2+40x＝196，即x2﹣20x+98＝0．
解得x1＝，x2＝，均不符合题意，
故本选项说法错误，符合题意；
B、当a＝20，S＝198时，﹣2x2+40x＝198，即x2﹣20x+99＝0．
解得x1＝9（不符合题意舍去），x2＝11，
所以有一种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当a＝24，S＝198时，﹣2x2+40x＝198，即x2﹣20x+99＝0．
解得x1＝11，x2＝9，均符合题意，
所以有两种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
D、当a＝24，S＝200时，﹣2x2+40x＝200，即x2﹣20x+100＝0．
解得x1＝x2＝10，符合题意，
所以有一种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
故选择：A．
10.答案：B
解析：①若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程的一个根，
则，
∴
若c＝0，等式仍然成立，
但不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：
∴或
∴，故④正确．
故选择：B．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：10
解析：解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2＝10．
故答案为10．
12.答案：x1＝0，x2＝3
解析：∵关于x的方程x2﹣（a﹣3）x﹣3a﹣b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣3a﹣b2）＝＝（a+3）2+4b2＝0，
∴a＝﹣3，b＝0，
把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0
得：x2﹣3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
13.答案：
解析：∵m，n都是方程的根，
∴，，
∴，，
∴
故答案：
14.答案：
解析：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴是方程：的两根，
∴，
∴
15.答案：3
解析：∵是的一个实数根，
∴，
∴
∴
故答案为：3.
16.答案：或.
解析：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD=，
∴△ABC的面积是；
故答案为：或.
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）
因式分解得：
∴
（2）
方程两边同除以2得：
开平方得：
∴
（3）
∵，
∴
∴
∴
18.解析：（1）∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴Δ=-4×1×(2c-a)=0，
∴a+b=2c.
又∵关于x的方程3cx+2b=2a的根为x=0，
∴a=b，
∴a=b=c，即△ABC是等边三角形.
（2）∵a，b是关于x的一元二次方程x2+mx-3m=0的两个实数根，
又由（1）知a=b，
∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=m2+4×3m=0，
解得m=0或m=-12.
当m=0时，方程x2+mx-3m=0可化为x2=0，
解得x1=x2=0.
又由a，b，c是△ABC的三边长，得a>0，b>0，c>0，故m=0不符合题意：
当m=-12时，方程x2+mx-3m=0可化为
x2-12x+36=0，
解得x1=x2=6，
可知m=-12符合题意.
故m的值为-12.
19.解析：（1）根据题意，得x（30﹣3x）＝63，
解得x1＝3，x2＝7，
当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意；
当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意，
答：AB的长是7m；
（2）不能，理由如下：
根据题意，得x（30﹣3x）＝80，
整理，得3x2﹣30x+80＝0，
∵Δ＝900﹣4×3×80＝﹣60＜0，
∴原方程没有实数根，
答：不能围成面积为80m2的花圃．
20.解析：（1）证明：
∵，
∴，
∴该方程总有两个不相等的实数根
（2）∵方程的两个实数根，
由根与系数关系可知，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，即
21.解析：（1）由题意得：x[140﹣（x﹣10）]＝x（150﹣x）＝﹣x2+150x，
故答案为：（﹣x2+150x）；
（2）设第一次购买了x（30＜x≤40）件，则第二次购买（100﹣x）件，
由题意得：x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，
解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40，
答：第一次购买了40件文化衫．
22.解析：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或（舍去）
∴m＝50
答：m的值为50．
23.解析：（1）∵关于x的分式方程 的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵，且，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）≥0，
则m＞0或m≤；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2==1﹣，
∴为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠-1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣ =﹣m，x1x2=，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3× =（﹣1）2，
m2﹣4=1，
m2=5，
m=±，
∴|m|≤2不成立
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