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4.6 反证法 (1)(巩固训练)21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
基础自测
1. 下列矩形中按虚线剪开后,能拼成平行四边形,又能拼成直角三角形的是…………( )
A B C D
2.已知AC为矩形ABCD的对角线,则图中∠1与∠2一定不相等的是( )
A. B. C. D.
3.如图,把矩形OABC放在直角坐标系中,OC在x轴上,OA在y轴上,且OC=2,OA=4,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形,则点的坐标为………………………( )
A.(2,4) B.(-2,4) C.(4,2) D.(2,-4)
4.如图,矩形的周长为,两条对角线相交于点,过点作 的垂线,分别交于点,连结,则的周为………………………( )
A.5cm B.8cm C.9cm D.10cm
5. (临汾中考)如图,将矩形纸片的一角沿折叠,使点落在矩形的内部处,若,则 度..
答案:70
6.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠AOB=60°,AB=4cm,则AC的长
为 cm.
7.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 .
8.如图,将左边的矩形绕点B旋转一定角度后,位置如右边的矩形,则∠ABC=___ ___ .
9. 如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC, CF⊥BD,垂足分别为E,F.
求证:BE=CF.
10.在矩形ABCD中,M是BC的中点,且MA⊥MD,若矩形的周长为48cm,求矩形ABCD的面积.
能力提升
11.如图,将一个边长分别为4和8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是…………( )
A. B. C. D.
12.如图矩形ABCD中,AB=8㎝,CB=4㎝,E是DC的中点,BF=BC,则四边形DBFE的面积为 .
13. 如图,已知矩形ABCD,AB=4cm,BC=6cm.R是BC上的动点,E、F、R分别是AP、RP、CD的中点,当P在BC上从B向C移动时,EF始终等于 cm.
解析:连结AR,则由三角形的中位线定理得EF=AR,而AR可由勾股定理求得.
14.如图在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点P在AD上,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF= .
15.已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.
16.如图,把矩形纸片沿折叠,使点落在边上的点处,点落在点处.
(1)求证:;
(2)设,试猜想之间的一种关系,并给予证明.
创新应用
17.已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图(1)所示)时,易证得结论:,请你探究:当点P分别在图(2)、图(3)中的位置时,又有怎样的数量关系?请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图(2)证明你的结论.
答:对图(2)的探究结论为____________________________________.
对图(3)的探究结论为_____________________________________.
证明:如图(2)
参考答案
6.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠AOB=60°,AB=4cm,则AC的长为 cm.
答案:8
7.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 .
答案:3
8.如图,将左边的矩形绕点B旋转一定角度后,位置如右边的矩形,则∠ABC=___ ___ .
答案:90°
9. 如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC, CF⊥BD,垂足分别为E,F.
求证:BE=CF.
能力提升
11.如图,将一个边长分别为4和8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是…………( )
A. B. C. D.
解析:设BE=x,则由题意知AE=EC=8-x. 在Rt△ABE中由勾股定理得AB2+BE2=AE2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,故BE=3,AE=5. 而易证∠AEF=∠FEC=∠AFE,故AF=AE=5. 作FH⊥BC于H,则BH=AF=5,EH=5-3=2. 又FH=AB=4,故在Rt△EFH中,EF=.
答案:D
12.如图矩形ABCD中,AB=8㎝,CB=4㎝,E是DC的中点,BF=BC,则四边形DBFE的面积为 .
解析:由题意易求得矩形ABCD、△ABD、△CEF的面积,进而可求得四边形DBFE的面积.
答案:10cm2
证得.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=∠BAD=90°,∴∠BEF+∠BFE=90°.
∵EF⊥ED,∴∠BEF+∠CED=90°,∴∠BFE=∠CED.
又∵EF=ED,∴△BEF≌△CDE(AAS).
∴BE=CD=AB,∴∠BAE=45°,∴∠EAD=45°=∠EAB,即AE平分∠BAD.
16.如图,把矩形纸片沿折叠,使点落在边上的点处,点落在点处.
(1)求证:;
(2)设,试猜想之间的一种关系,并给予证明.
分析:对于(1),可由∠B/FE=∠BFE=∠B/EF,得B/E=B/F=BF. 对于(2)由于B/E=BF=c,A/B/=AB=b,A/E=AE=a,故由勾股定理可求得a,b,c间的关系.
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠BFE=∠B/EF.
由题意可得∠B/FE=∠BFE,B/F=BF,
∴∠B/FE =∠B/EF,∴B/E=B/F=BF.
(2)a2+b2=c2.
证明:∵∠A/=∠A=90°,∴B/E2=A/B/2+A/E2.
而已知得B/E=BF=c,A/B/=AB=b,A/E=AE=a,∴a2+b2=c2.
创新应用
17.已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图(1)所示)时,易证得结论:,请你探究:当点P分别在图(2)、图(3)中的位置时,又有怎样的数量关系?请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图(2)证明你的结论.
答:对图(2)的探究结论为____________________________________.
对图(3)的探究结论为_____________________________________.
证明:如图(2)
B
A
1
D
C
2
1
1
2
B
A
D
C
B
A
C
1
2
D
1
2
B
A
D
C
B
A
C
D
E
F
A
D
B
C
E
F
P
O
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
F
E
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新浙教版数学八年级(下)
5.1 矩形(1)
在□ABCD中,
(1)若AB=3cm,BC=4cm,则□ABCD的周长是 cm;
(2)若∠B=60°,则∠A= ,∠D= ;
(3)若AC=4,BD=6,则BC的取值范围是 .
A
B
C
D
O
A
B
C
D
14
60°
120°
1<BC<5
细心观察平行四边形内角的变化
定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
1、是平行四边形
2、有一个角为直角
选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、
矩形的关系
D
C
四边形
矩形
平行四边形
四边形
矩形
平行四边形
四边形
矩形
平行四边形
平行四边形
矩形
四边形
A
B
学习新知
1、平行四边形变成矩形时,图形的内角
有何特征?
2、平行四边形变成矩形时,两条对角线
的长度有什么关系?
在操作过程中,请你思考下列问题:
探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形,除了具有平行四边形的所有性质外,还有哪些特殊性质呢?
猜想1:矩形的四个角都是直角.
猜想2:矩形的对角线相等.
A
B
C
D
求证:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明: ∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
A
O
D
C
B
求证:矩形的对角线相等
已知:矩形ABCD中,
对角线AC和BD相交于点O,
求证:AC=BD
矩形的性质:
1、矩形的四个角均为直角
2、矩形的对角线相等
注:矩形还含有平行四边形的所有性质
证明二:∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠DCB=90°, AB=CD
∴
∴AC=BD
证明一:∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB
∴△ABC≌△DCB
∴AC=BD
矩形特殊的性质
矩形的四个角都是直角.
矩形的两条对角线相等.
从角上看:
从对角线上看:
边 角 对角线 对称性
平行四
边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
这是矩形所特有的性质
O
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ).
A、对角线相等 B、对边相等
C、对角相等 D、对角线互相平分
2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm,
则它的对角线长是 cm.
A
5
A
O
D
C
B
直角三角形的性质:
直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半.
即兴练一练:
已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其
斜边上的中线长为________.
5
学有所得
已知:在Rt△ABC中,∠ABC=900,BO是AC上的中线.
求证: BO = AC
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D,使OD=BO,
连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900
∴ ABCD是矩形
∴AC=BD
1
2
1
2
∴BO= BD= AC
再探新知
A
B
C
D
O
思路分析
⊿ABO是等边三角形,
AO=AB=
AC=2AO=
矩形两条对角线夹角为60°,较短一边长 为 , 则此矩形对角线长为_______.
O
D
C
B
A
相等的线段:
AB=CD,AD=BC,AC=BD, OA=OC=OB=OD= AC= BD.
相等的角:
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,
∠AOB=∠DOC,∠AOD=∠BOC,
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD, ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB。
等腰三角形有:
△OAB,△OBC,△OCD,△OAD。
直角三角形有:
Rt△ABC,Rt△BCD,Rt△CDA,Rt△DAB。
全等三角形有:
Rt△ABC≌Rt△BCD≌Rt△CDA≌ Rt△DAB,
△OAB≌△OCD,△OAD≌△OCB。
已知四边形ABCD是矩形
矩形具有而一般平行四边形不
具有的性质是 ( )
B.对边相等
A.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
例: 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长?
∴AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
解:∵ 四边形ABCD是矩形
D
C
B
A
o
已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AC=8cm,求矩形对角线的长.
A
B
O
C
D
解:
在矩形ABCD中,
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠AOB=60°
∵OA=OB
∴ △AOB为等边三角形
∴AB=OA= AC=4cm
在Rt△ABC中,
≈6.93(cm)
BC=
=
=
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
思考:矩形ABCD是轴对称图形吗?
它的对称轴有几条?
矩形是中心对称图形吗?对称中心是?
A
B
C
D
E
F
G
H
.
已知:四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝,AD=6㎝,
则AC=_______ ㎝ OB=_______ ㎝
2.若已知 ∠DOC=120°,AC=8㎝,则AD= _____cm
AB= _____cm
O
D
C
B
A
5
10
4
D
C
B
A
┓
3.已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,
BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝ 则AC= ㎝
(2) 若∠C=30°,AB=5㎝,则AC= ㎝,
BD= ㎝.
6
5
10
2 如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别为AC、AB的中点,点F在BC延长线上,且∠CDF=∠A,试说明四边形DECF是平行四边形。
A
B
D
C
E
F
四边形ABCD是矩形
若已知AB=8㎝,AD=6㎝,
则AC= ㎝ OB= ㎝
若已知∠CAB=40°,则∠OCB=
∠OBA= ∠AOB= ∠AOD=
若已知AC=10㎝,BC=6㎝,则矩形的周长= ㎝
矩形的面积= ㎝2
4 若已知 ∠DOC=120°,AD=6㎝,则AC= ㎝
O
D
C
B
A
5
50°
10
100°
40°
12
48
28
80°
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5.1 矩形(1)(讲练互动)21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预习】
1.矩形的定义:
有一个角是 的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质:
定理1:矩形的四个角都是 .
定理2:矩形的对角线 .
【课前热身】
1如图,把矩形沿对折后使两部分重合,若50°,则=…………………………………………( )
A.110° B.115° C.120° D.130°
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若OA = 2,则BD的长为………………………………………………………( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3. 矩形的四个角都是 度.
4. 矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝,则其对角线为 ㎝.
【讲练互动】
【例1】已知,如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,∠ACB=30°,求∠AOB的度数及CD的长.
【绿色通道】在矩形中,要善于发现30°,45°,60°的角,以便使用等腰三角形、等边三角形及含30°的直角三角形的性质.
【变式训练】
1. 如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,∠EAB=30°,AE=2,求AC的长.
【例2】如图,矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE于F,连结DE.
求证:DF=DC.
【变式训练】
2.已知:如图,在矩形ABCD中,AF=BE.
求证:DE=CF.
参考答案
【要点预习】
1.矩形的定义:
有一个角是 的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质:
定理1:矩形的四个角都是 .
定理2:矩形的对角线 .
∴CD=AB=OA=5.
【绿色通道】在矩形中,要善于发现30°,45°,60°的角,以便使用等腰三角形、等边三角形及含30°的直角三角形的性质.
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