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5.1 矩形（2）（巩固训练）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
基础自测
1.下列命题中错误的是……………………………………………………（ ）
Ａ.平行四边形的对边相等 Ｂ.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
Ｃ.矩形的对角线相等 Ｄ.对角线相等的四边形是矩形
2.(宁夏中考)平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是…………………………………………（ ）
A. AB=BC B.AC=BD C. AC⊥BD D.AB⊥BD
3.下列图形中，恰好能与图3拼成一个矩形的是 …………………………( )
4. 下列命题错误的是……………………………………………………………………… ( )
A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
5. 对角线_____ ___的四边形是矩形.
6. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(0，4)，(6，0)，点C在第一象限.若四边形AOBC是矩形，它的两条对角线相交于点D，则点D的坐标是 .
7.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点.如果DR=3，AD=4，则EF的长为 .
8.如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接.
（1）求证：是的中点；
（2）如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论.
9.如图，在□ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE.
求证：(1)；
(2)四边形ABCD是矩形.
能力提升
10.下面检查一个门框是否是矩形的方法正确的是………………………………………（ ）
A.测量两条对角线是否相等 B.用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角
C.测量对角线是否互相平分 D.用曲尺测量对角线，它们是否互相垂直
11.已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点.若AC=6，BD=8，则四边形EFGH的面积为…………………………………………（ ）
A.48 B.24 C.12 D.条件不足，无法计算
12. 四边形四边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足，则顺次连结此四边形各边的中点所组成的四边形必是 .
13.已知平面上四点A(0，0)，B(10，0)，C(10，6)，D(0，6)，直线y=mx-3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则的值为 .
14.一张三角形纸片ABC如图，三条边互不相等，把它剪开，拼成矩形，至少要剪几刀 说明剪拼的方法，并在另两个图中分别画出剪拼的示意图.
15. 求证：平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.
已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别交于E、F、G、H.
求证：四边形EFGH为矩形.
创新应用
16.如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
参考答案
基础自测
答案：C
答案：(3，2)
7.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点.如果DR=3，AD=4，则EF的长为 .
答案：2.5
9.如图，在□ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE.
求证：(1)；
(2)四边形ABCD是矩形.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.
∵BE=CF，∴BF=CE.
又∵AF=DE，∴△ABF≌△DCE(SSS).
(2) ∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C.
∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形.
能力提升
10.下面检查一个门框是否是矩形的方法正确的是………………………………………（ ）
A.测量两条对角线是否相等 B.用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角
C.测量对角线是否互相平分 D.用曲尺测量对角线，它们是否互相垂直
解析：选项A不能保证是否是平行四边形；选项C只能保证是平行四边形，但不能保证是矩形；选项D同样不能保证是平行四边形；选项B符合矩形的判定定理1.
答案：B
11.已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点.若AC=6，BD=8，则四边形EFGH的面积为…………………………………………（ ）
A.48 B.24 C.12 D.条件不足，无法计算
14.一张三角形纸片ABC如图，三条边互不相等，把它剪开，拼成矩形，至少要剪几刀 说明剪拼的方法，并在另两个图中分别画出剪拼的示意图.
答案：剪两刀.
创新应用
B
A
F
C
E
D
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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5.1 矩形(2)（讲练互动）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预习】
1.矩形的判定：
定理1：有三个角是 的四边形是矩形;
定理2：对角线 的平行四边形是矩形
【课前热身】
1. 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是……………………………………………（ ）
A. 对边相互平行 B. 对角线相等 C. 对角线相互平分 D. 对角相等
2. 矩形是轴对称图形，它至少有 条对称轴.
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 .（写出一种情况即可）
4. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(0，4)，(6，0)，点C在第一象限.若四边形AOBC是矩形，则点C的坐标是 .
【讲练互动】
【例1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是…………………（ ）
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
【绿色通道】要证一个四边形是矩形共有三种方法：一是根据定义，证明平行四边形加一个直角；二是根据判定定理1，证明三个直角；三是根据判定定理2，证明平行四边形加对角线相等.
【变式训练】
1. 只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是………（ ）
A.先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等
B.先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角
C.先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等
D.先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等
【例2】已知，如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形AEFD是矩形.
【变式训练】
2.已知，如图，在RtΔABC中，∠C=Rt∠，点D，E，F分别是AB，BC，CA边上的中点. 求证：四边形CEDF是矩形.
【例3】如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点.
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由.
【变式训练】
3. 如图，在平行四边形中，对角线AC与BD交于点O，OM⊥BC于点M，且BM=CM.
求证：平行四边形是矩形.
参考答案
【要点预习】
1.矩形的判定：
定理1：有三个角是 的四边形是矩形;
定理2：对角线 的平行四边形是矩形
【课前热身】
4. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(0，4)，(6，0)，点C在第一象限.若四边形AOBC是矩形，则点C的坐标是 .
答案：(6，4)
【讲练互动】
【例1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是…………………（ ）
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
解析：由于四边形ABCD的对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，只需添加条件对角线相等或有一个内角为直角即可.
答案：D
【绿色通道】要证一个四边形是矩形共有三种方法：一是根据定义，证明平行四边形加一个直角；二是根据判定定理1，证明三个直角；三是根据判定定理2，证明平行四边形加对角线相等.
【变式训练】
2.已知，如图，在RtΔABC中，∠C=Rt∠，点D，E，F分别是AB，BC，CA边上的中点. 求证：四边形CEDF是矩形.
证明：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA边上的中点，
∴DF∥BC，DE∥AC，∴四边形CEDF是平行四边形.
∵∠C=Rt∠，∴四边形CEDF是矩形.
【例3】如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点.
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAF=∠AFC，∠ABC=∠BCF.
又∵E为BC的中点，∴BE=EC.
∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AB=CF.
(2) BC=AF.
证明：∵ABCF，∴四边形ABFC是平行四边形.
∵BC=AF，∴四边形ABFC是矩形.
A
D
C
B
O
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新浙教版数学八年级（下）
5.1 矩形(2)
联系生活-引入新知
工作师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
(1)摆放成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是____________形，数学原理是________________________________
B
A
C
D
E
F
G
H
平行四边
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
工作师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
(2)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图所示)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是_____形， 数学原理是__________________________
B
A
C
D
E
F
G
H
矩
有一个角为直角的平行四边形是矩形
联系生活-引入新知
矩形的定义
定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
若 ABCD
∠B=90°
则四边形ABCD是矩形。
工作师傅做铝合金窗框，遇到的问题：
(3)工人师傅甲说只要测量三个角为直角，窗框就是矩形；而工人师傅乙说，要测量四个角为直角；那么到底是哪个工人师傅说的对？
联系生活-引入新知
有一个角是直角
有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？
有三个角是直角
猜想加证明
有三个角是直角的四边形是矩形吗
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
B
C
A
∴四边形ABCD是矩形.
判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
若∠A=∠B=∠C=90°
则四边形ABCD是矩形
工作师傅做铝合金窗框，遇到的问题：
(4)这时工人师傅丙说只要测量，这个四边形两条对角线的长度，只要对角线长度相等，这个四边形就是一个矩形，那么到底工人师丙傅说的对吗？
A
B
C
D
联系生活-引入新知
A
B
C
D
已知：如图，在 ABCD中，AC=DB
求证： ABCD是矩形。
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=DC
又∵ AC=BD，BC=CB，AB=DC
∴ △ABC≌△DCB（SSS）
∴ ∠ABC=∠DCB
又∵ AB∥DC
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=90°
∴ ABCD是矩形。
A
B
C
D
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形；
几何语言：
∵AC=BD
∴□ ABCD是矩形
矩形有几种判定方法？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
方法总结：
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A 对角线相等
B 对角线垂直
C 对角线互相平分且相等
D 对角线垂直且相等
C
做一做：判断下命题是否正确，并说明理由。
（1）对角互补的平行四边形是矩形。
（2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。
（3）对角线相等的四边形是矩形。
（4）内角都相等的四边形是矩形。
A
O
B
D
C
3、已知如图四边形ABCD中
AO=BO=CO=DO，
试说明四边形ABCD是矩形。
证明：
∵ AO=BO=CO=DO
∴AO=CO，BO=DO
∴四边形EFGH是平行四边形
即AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
又∵AO+CO=BO+DO
4：已知M为 ABCD的AD边的中点，且MB＝MC。求证： ABCD是矩形。
A
B
D
C
M
证明：
∵ABCD是平行四边形
AB＝DC
∵M是AD的中点
∴AM＝DM
∵ MB＝MC
∴△BAM≌ △CDM
∴∠A＝ ∠D
∴ ∠A＋ ∠D＝1800
∴∠A＝ 900
∴ ABCD是矩形
5：延长Rt△ABC斜边上的中线CE到D，使DE＝CE。求证：四边形ACBD是矩形。
A
C
B
E
D
分析：要证四边形ACBD是矩形，已经有一个直角的条件，若能证它是平行四边形就可以了。
A
O
B
D
C
1、已知如图四边ABCD，AO=BO=CO=DO，
试说明四边形ABCD是矩形。
证明：
∵ AO=BO=CO=DO
∴AO=CO，BO=DO
∴四边形EFGH是平行四边形
即AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
又∵AO+CO=BO+DO
2：已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，且AC⊥BD。E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。 ①求证：四边形EFGH是矩形
A
B
C
D
O
H
E
F
G
②追加一问：
若AC=6，BD=8，
求矩形EFGH的面积
已知：如图，AC与BD相交于点O，AB CD
且∠1=∠2 。①求证：四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
E
F
②过C作EF∥BD，与AB延长线交于E点，
则有哪些角和∠1，∠2 度数相同
3
4
③∠3，∠4大小如何？
④BC，DC分别
哪个角的平分线？
A
B
C
D
E
F
G
H
O
已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。
求证：四边形EFGH是矩形。
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ AO=BO=CO=DO
又∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形
例 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．
已知：如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形 EFGH为矩形．
∴∠BGC=90°
同理可证∠AFB=∠AED=90°
∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＋∠BCD=180°
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
如图,在△ABC中,点0是AC边上的一个动点,过点0作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,
A
B
C
M
N
0
)
1
)
2
(
5
(
4
(
3
(
6
(1)求证:0E=0F
(2)当0运动到何处时, 四边形AECF为矩形 说明理由
E
F
证明：∵CF平分∠ACD
∴∠1=∠2
又∵ MN∥BC
∴∠1=∠3
∴ ∠2=∠3
∴OC=OF
同理可证：OC=OE
∴OE=OF
D
答：当点0为AC的中点时，
四边形AECF是矩形
理由：由（1）知0E=0F，
又AO=CO
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EC平分∠ACB，FC平分∠ACD
∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形
E
F
M
N
P
Q
A
C
D
B
C
如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ）
A 菱形 B 平行四边形
C 矩形 D 不能确定
1
2
4
3
G
H
②延长AD，
与MN交于点G，
△ACG是
什么三角形？
④连结BD，
BD和MN有
什么位置关系
③比较CH和CG的大小
⑤比较上下两个三角形的面积有什么关系
矩形有几种判定方法？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形 是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等 的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
