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5.2 菱形(1)（讲练互动）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预习】
1.菱形的概念：
一组 相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：
定理1：菱形的四条边都 .
定理2：菱形的对角线 ，并且每条对角线 .
【课前热身】
1. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是…………………………………………………（ ）
A. 两组对角分别相等 B. 对角线相互垂直
C. 对角线相互平分 D. 对角线相等
2如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是……………………（ ）
A.6 B.18 C.24 D.30
3.菱形的一条边长为4，则此菱形的周长是 .
4.如图，菱形中，已知，则的大小是 .
【讲练互动】
【例1】)如图所示，正△CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.
(1)求证：；(2)求的度数.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
【绿色通道】利用几何图形的性质，找出等量关系列方程来求解几何计算题，是重要的数学思想方法.
【变式训练】
1.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F.
请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想.
【例2】如图，已知四边形ABCD为菱形，DE⊥BC于E，且E为BC中点.
(1)求∠A的度数；
(2)若BD＝10㎝，求菱形的周长.
【绿色通道】在菱形中有4个全等的直角三角形，两对全等的等腰三角形. 在菱形的题目中，还要注意挖掘60°，30°，45°的角，这样可利用等边三角形，含30°角的直角三角形，等腰直角三角形的有关性质解题.
【变式训练】
2.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝16㎝，BD＝12㎝.求菱形的高.
参考答案
【要点预习】
1.菱形的概念：
一组 相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：
定理1：菱形的四条边都 .
定理2：菱形的对角线 ，并且每条对角线 .
【课前热身】
【讲练互动】
【例1】)如图所示，正△CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.
(1)求证：；(2)求的度数.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA.
∵CB=CE=CF=CD，∴∠CEB=∠B=∠D=∠CFD.
∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF，
∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.
(2)设∠CEB=∠B=∠D=∠CFD=x，则∠BCE=∠DCF=180-2x.
∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°.
∵△CEF是正三角形，∴∠ECF=60°.
∴x+2(180-2x)+60=180，解得x=80，即∠B=80°.
【绿色通道】在菱形中有4个全等的直角三角形，两对全等的等腰三角形. 在菱形的题目中，还要注意挖掘60°，30°，45°的角，这样可利用等边三角形，含30°角的直角三角形，等腰直角三角形的有关性质解题.
【变式训练】
2.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝16㎝，BD＝12㎝.求菱形的高.
E
C
D
B
A
H
O
C
D
B
A
H
O
C
D
B
A
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新浙教版数学八年级（下）
5.2 菱形(1)
下面图形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.
图片欣赏
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
由于平行四边形的对边相等，
而菱形的邻边相等，故：
菱形的性质1：
菱形的四条边都相等。
A
B
D
C
菱形是特殊的平行四边形，
具有平行四边形的所有性质.
一、菱形的性质的研究
探索新知：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
探索新知：
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
A
D
C
B
O
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA
∴ ∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
又∵ AC = AC
∴ △ADC ≌ △ABC
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD,OD=OB
又∵ AO = AO
∴ △AOD ≌ △AOB
∴ ∠DOA=∠BOA
又∵ ∠DOA+∠BOA= 180°
∴ ∠DOA=∠BOA= 90°
已知:四边形ABCD是菱形
求证: ∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
AC⊥BD
菱形的性质2：
证明：
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
已知四边形ABCD是菱形
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
例1.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, ∠BAC=30°,BD=6.求菱形的边长和对角线AC的长.
A
B
C
D
O
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD(菱形的定义)
AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)
∵∠BAC=30°
∴∠BAD=60°
又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
由勾股定理,得AO=
AC=2AO=
∴ABD是等边三角形.
AB=BD=6
C
菱形面积公式的探索
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗
ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD
S菱形
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
为什么
A
B
C
D
例：如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（ 分别精确到0.01m和0.1m ）
2
O
解：∵ 花坛ABCD是菱形
∴ AC⊥BD, ∠ABO = ∠ABC = ×60°=30°
AB = BC = CD = AD = ×80 = 20 (m)
在Rt△OAB中，AO= AB= ×20=10(m)
BO= ≈17.32（m）
∴ 花坛的两条小路长
AC = 2AO = 20 (m)
BD = 2BO ≈34.64(m)
花坛的面积 = AC·BD≈346.4 ( )
想一想 矩形、菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条
矩形是轴对称图形，对称轴有两条。
菱形是轴对称图形，对称轴有两条。
菱形 边 对称性 角 对角线
性
质
面积
对边平行
四条边都相等
中心对称图形
轴对称图形
对角相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
每一条对角线平分一组对角
2、 （a，b表示两条对角线的长度）
用列表形式小结出菱形的性质
归纳小结,提炼知识
1、底乘以高
１、下列说法中错误的是（ ）
A、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C、对角线互相平分的四边形是菱形；
D、菱形的每一条对角线平分一组对角。
2、对于以下图形（1）矩形（2）等边三角形（3）平行四边形（4）菱形（5）圆（6）线段， 既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、已知菱形的两条对角线长分别是10和24,则
菱形的周长为_____。
52
C
D
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
3cm
60度
3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。
4.菱形ABCD中两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积.
例：如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝1200。对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。。
解：∵ ∠BAD＝1200
∴∠BAC＝600
又∵ AB ＝B C
∴ △ BAC是等边三角形
∴ AC ＝ 4cm
∴B O ＝2√ 3
∴B D ＝ 4√ 3
＝ 8√ 3
如图，在一种可伸缩的衣帽架中，每个菱形的周长都为100厘米，固定在墙上的两点A、B之间的距离为25厘米，则∠ACB= .
A
B
C
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积．
D
O
A
C
B
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
A
D
C
B
O
（2）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且 AC=12，BD=16，则菱形ABCD的面积为 ，边长为 ，周长为 。
（1）在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，则∠B= , △ABC是 三角形，∠ABD的度数为________ 。
等边
30 °
96
10
40
60 °
A
B
C
D
（3）在菱形ABCD中∠BAC=30°，BD=6㎝，则 ∠BAD= , ∠ABD= , AB= .
60 °
60 °
6㎝
1、已知,在菱形ABCD中,∠BAD= ,现将一块含 角的三角尺AMN(其中∠NAM= )叠放在菱形上,然后将三角尺绕点A旋转.在旋转过程中,设AM交边BC于点E,AN交边CD于点F,那么BE+DF与AB有着怎样的数量关系 请你通过动手操作、度量、猜想、验证等方法予以探索。
挑战自我
2、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
2
∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB
解：
∴AD=AB=BD
∵ E是AB的中点，且DE⊥AB
∴DA=DB（DE为AB 的中垂线）
∴ ∠DAB= 60 °， ∴ ∠ABC=120 °
（2）
∵AE=2， ∴ AB=4 ∴ BD=AB=4
∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥DB
∵ DB=4 ∴ 0B=2
∴ 在R t△AOB中,由勾股定理得
2
AO=
∴ AC=4
（3）
在Rt△DAE中,由勾股定理得
DE=
=2
∴ S菱形ABCD=4×2
=8
（1）
你对这一步
有什么看法？登陆21世纪教育 助您教考全无忧
5.2 菱形（2）（巩固训练）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【同步测控】
基础自测
1.如图，在菱形中，对角线相交于点为的中点，且，则菱形的周长为………（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，四边形是菱形，过点作的平行线交的延长线于点，则下列式子不成立的是…………………………………（ ）
A. B.
C. ° D.
3. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于………（ ）
A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°
4.菱形中，是对角线的交点，
，，则 cm.
5.如图，菱形中，，对角线，则菱形的周长等于 .
如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为 .
7.已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝，则菱形的面积为 .
8.如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 cm.
9.如图，已知四边形是菱形，点分别是边，的中点.
求证：.
10.菱形中，垂直平分，垂足为，.
求菱形的面积与对角线的长.
能力提升
11.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为…………………………………………………………（ ）
A. B. C. D.
12如图，在菱形中，对角线分别等于8和6，将沿 的方向平移，使与重合，与延长线上的点重合，则四边形的面积等于…………（ ）
A.36 B.48 C.72 D.96
13.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为3和8，P是对角线AC上的任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F.则阴影部分的面积是_______.
14.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________.
15.已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.
(1)求证：AE=AF.
(2)若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形.
16.如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD≠CD，我们称这样的四边形为“半菱形”.小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”.他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论.
创新应用
17.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
参考答案
【同步测控】
基础自测
4.菱形中，是对角线的交点，
，，则 cm.
答案：6
5.如图，菱形中，，对角线，则菱形的周长等于 .
答案：32
6.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为 .
答案：(，)
7.已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝，则菱形的面积为 .
答案：24cm2
8.如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 cm.
答案：3
9.如图，已知四边形是菱形，点分别是边，的中点.
求证：.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD.
∵点E、F分别是边CD，AD的中点，∴DE=DF.
又∠D=∠D，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF.
10.菱形中，垂直平分，垂足为，.
求菱形的面积与对角线的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=4cm.
∵AE垂直平分BC，∴AC=AB=4cm.
∴△ABC是等边三角形，∴BE=2cm，∠ABC=60°.
∴AE=cm.
∴S菱形=BC·AE=cm2.
又AC·BD= S菱形=，∴BD=cm.
能力提升
是△AEF是边长为的等边三角形，进而可求得周长.
解析：根据已知易求得菱形的边长为5，取CD的中点E，连结PE，则可证得△CPN≌△CPE，故PE=PN，因此只需求PM+PE的最小值，显然当E，P，M成一直线时取得最小值，此时EM=5.
答案：5
15.已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.
(1)求证：AE=AF.
(2)若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D.
又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE=AF.
(2)连结AC.
∵AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形.
∵点E，F分别为BC和CD的中点，∴AE⊥BC，AF⊥CD.
∴∠EAC=∠FAC=30°，即∠EAF=60°.
又AE=AF，∴△AEF为等边三角形.
∴△ABD和△BCD都为正三角形.
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC.
∵AE+DE=2，AE+CF=2，∴DE=CF.
∴△BDE≌△BCF.
(2)解：△BEF是正三角形.
D
C
B
O
A
E
F
E
C
D
B
A
A
C
B
D
y
x
O
A
D
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(B)
A
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C
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P
A
E
C
D
B
F
A
D
C
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A
B
C
D
E
O
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C
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A
B
C
D
E
D
C
B
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A
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y
x
O
A
D
C
(B)
A
C
B
D
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B
C
D
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A
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C
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B
F
A
D
C
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