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4.4平行四边形的判定（1）同步练习
A组
1、（2013 泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )( )21cnjy.com
A.AB//DC,AD//BC B.AB=DC,AD=BC C.AO=CO,BO=DO D.AB//DC,AD=BC
2、下列命题：①一组对边 ( http: / / www.21cnjy.com )平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是 （ ）
A.0个 B. 1个 C. 3个 D. 4个
3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O，若OA=OC，OB=OD，则图中全等的三角形有________对．21·cn·jy·com
4．画一个平行四边形ABCD，使得边BC=5cm，对角线AC=5cm，BD=8cm．
5、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE=CF且
四边形DEBF是平行四边形．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
6、如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：∠EBF=∠FDE．
B组
7、如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.21世纪教育网版权所有
求证：四边形AECF是平行四边形.
8．如图，已知AC∥DE且AC=DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形．21教育网
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9．如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，△BME是△AMD绕点M按顺时针方向旋转
180°得到的，连结AE，求证：DE=AC．
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参考答案
A组
1、D 2、B
3、6
4、略
5、证明：∵四边形DEBF是平行四边形。
∴OE=OF,BO=DO
∵AE=CF
∴OE+AE=OF+CF
∴AO=CO
∴四边形ABCD是平行四边形
6、证明：连接BD交AC于O点
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
又∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形BEDF是平行四边形
∴∠EBF=∠EDF
B组
7. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB,OA=OC
∴∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO
∴△FDO≌△EBO
∴OF=OE
∴四边形AECF是平行四边形
8、∵AC∥ED，∴∠C=∠E，∠CAB=∠EDB，
∴△ABC≌△DBE，∴AB=DB，CB=EB．[来源:21世纪教育网]
∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，
∴BG=BF，∴四边形AGDF是平行四边形
9．∵△BME是△AMD绕点M按顺时针方向旋转180°得到的，
∴△BME≌△AMD，∴BE=AD，∠EBM=∠DAM，
∴BE∥AD，∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BD．∵BD=CD，∴AE=CD，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴DE=AC
O
F
F
E
D
B
A
C
E
D
B
A
C
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学行四边形后，小明回家用细木棒钉制了一个。第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示。
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢？
大家都困惑了……
小丽却说：“我可以不用任何作图工具，只要两条细绳就能判断它是不是平行四边形。”
只见小丽用两条细绳做四边形的对角线，并在两条对角线的交点处作了个记号。然后分别把两条对角线沿记号点对折，发现它们被记号点分成的两段线段都能重合，小丽高兴地说：“这的确是个平行四边形！”
你认为小丽的做法有根据吗？
A
C
O
B
D
已知：在四边形ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，
且ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ,
求证：四边形ABCD是平行四边形
平行四边形判定定理：
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言：
∵OA=OC，OB=OD,
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
例1 已知：如图，在 ABCD中，Ｅ，Ｆ是对角线ＢＤ
上的两点，且BＥ＝ＤＦ．
求证：四边形AECF是平行四边
F
E
D
C
B
A
O
讨论：根据现有条件，说说你准备选用哪种方法证明？
大概的步骤是怎样的？
如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O
⑴若AB∥CD，＿＿＿＿＿＿，则得 ABCD；
⑵若AB＝CD，＿＿＿＿＿＿，则得 ABCD；
⑶若AC＝8，BD＝10，AO＝4，＿＿＿＿＿＿＿，则得 ABCD
1、补充一个合适的条件使⑴—⑶小题成立：
C
A
D
B
E
G
H
F
O
A
D
B
C
O
1、补充一个合适的条件使⑴—⑶小题成立：
2、 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OC、OB、OD的中点，四边形EGFH＿＿＿平行四边形。（填“是”或“不是”）
变式：已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF 求证：四边形AECF是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
O
证明:
连结AC,交BD于点O
∵AB∥CD
在 ABCD中，BO=DO，
AO=CO
∴∠ABE=∠CDF
又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD
∴△ABE≌△CDF
∴BE=DF
∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO
∴四边形AECF是平行四边形
如图：在 ABCD中，E,F是对角线AC上的两个点；
G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH,
求证：四边形EHFG是平行四边形.
O
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：
在 ＡＢＣＤ中，
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ
∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ
∴四边形EHFG是平行四边形
如图
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.
A
B
C
D
x
y
o
-1
-1
1
1
∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ
连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段a，b，两条对角线的夹角等于∠α
A
B
C
D
O
α
3.□ABCD中，AF＝CH， DE＝BG，
求证： EG和HF互相平分．
（平行四边形的对边相等，对角相等）
又∵ DE＝BG，
∴AD－ED=CB－GB，即AE＝CG．
∴ AD＝BC， ∠A＝∠C
在△AEF和△CGH中
AE＝CG
∠A＝∠C
AF＝CH
∴ EF＝GH．
同理FG＝HE
∴ 四边形EFGH是平行四边形
∴ EG和HF互相平分
证明 ：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ △AEF≌△CGH（SAS）
两组对边分别相等的的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的判定方法
对角线互相平分的四边形是平行四边形
探究活动
任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么 再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗 试证明你的发现。
发现：三角形一条边上的中线的2倍小于另两条边的和。
E
已知：如图，AD是⊿ABC的中线，
求证：2AD
证明：
如图，延长AD至E,使ED=AD.连结BE,EC.
∵BD=CD,
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。
∵AC+CE>AE,
∴AB+AC>2AD,
即2ADD
C
B
A
试一试：如图，在△ABC中，AB=14，BC=18，AD是AC边上的中线，求BD的取值范围。
D
A
B
C登陆21世纪教育 助您教考全无忧
4.4平行四边形的判定（2）学案
1、 新课引入
1、已知：在四边形ABCD中,对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD,
求证：四边形ABCD是平行四边形
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2、平行四边形的判定
____________________ ( http: / / www.21cnjy.com )________________________________________________________
几何语言：
_____________________ ( http: / / www.21cnjy.com )_______________________________________________________
_____________________ ( http: / / www.21cnjy.com )_______________________________________________________
二、例与练
例1、已知：如图，在ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．
求证：四边形AECF是平行四边
变式：如图，E，F是ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF
求证：四边形AECF是平行四边形。21世纪教育网版权所有
三、课堂练习
1、如图：在ABCD中，E,F是对角线AC上的两个点； G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH,求证：四边形EHFG是平行四边形.21教育网
2、四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.
3、已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段a，b，两条对角线的夹角等于∠α21cnjy.com
4、□ABCD中，AF＝CH， DE＝BG，求证： EG和HF互相平分．
四、课堂小结
_____________ ( http: / / www.21cnjy.com )______________________________________________________________
___________________ ( http: / / www.21cnjy.com )______________________________________________________
五、探究活动
1、任意画一个三角形和三角形一边上 ( http: / / www.21cnjy.com )的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么 再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗 试证明你的发现。
2、试一试：如图，在△ABC中，AB=14，BC=18，AD是AC边上的中线，求BD的取值范围。
C
B
α
A
B
A
C
D
E
F
G
H
D
O
A
B
C
D
E
F
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