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5.2 菱形（2）（巩固训练）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
基础自测
1.下列命题中，真命题是…………………………………………………（ ）
A.一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形
B.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形
C.等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2.如图，下列条件之一能使□ABCD是菱形的为（ ）
① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ② HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ③ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ④ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③
3. 已知DE∥AC，DF∥AB，添加下 ( http: / / www.21cnjy.com )列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是…………………………………………………………………（ ）
A. AD平分∠BAC B. AB＝AC且BD＝CD
C. AD为中线 D. EF⊥AD
4.一张矩形纸片按如图(1)，(2)所示对折，然后沿着图(3)中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的平面图形必是………（ ）21cnjy.com
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.矩形 D.菱形
5.若四边形ABCD中，AC=BD，则顺次连结此四边形四边中点所得的四边形必为 .
6. 命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题 ( http: / / www.21cnjy.com )是___________________________________，它是一个_______命题(填“真”或“假”).www.21-cn-jy.com
7.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志 ( http: / / www.21cnjy.com ).将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______cm2.21·世纪*教育网
8.如图，在四边形ABCD中，点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的中点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的中点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 满足什么条件时，四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 是菱形？请证明你的结论.
9.如图，E、F分别是等腰△ABC的腰AB、AC的中点.
(1)用尺规在BC边上求作一点M，使四边形AEMF为菱形；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB＝5cm，BC＝8cm，求菱形AEMF的面积
( http: / / www.21cnjy.com )
能力提升
11.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为………………（ ）21世纪教育网版权所有
A.1 B.2 C. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 D. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
答案：D
12. 如图，点E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF=∠B=60°，∠EAB=18°，则∠CEF=………（ ）21教育网
A.16° B.18° C.20° D.22°
13.如图，矩形A1B1C ( http: / / www.21cnjy.com )1D1的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连结四边形A2B2C2D2四边中点得到四边形A3B3C3D3，依此类推，则四边形AnBnCnDn的面积是 .2-1-c-n-j-y
14. 如图，菱形纸片ABCD的一内角 ( http: / / www.21cnjy.com )为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°，得菱形A′B′C′D′，则旋转前后两菱形重叠部分多边形(图中阴影部分)的周长为 .
15如图，四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 平分 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 交 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
(1)求证：四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 是菱形；
(2)若点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的中点，试判断 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的形状，并说明理由.
16.（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上.（保留作图痕迹）2·1·c·n·j·y
（2）写出你的作法.
创新应用
17. 在菱形ABCD中，∠BAD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，E、F在菱形边上.△AEF为正三角形.
(1)如图1，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，求证：不论E、F在BC、 CD上如何移动，总有BE=CF；
(2)我们把三个顶点都在菱形的边上的三角形称作菱形的内接三角形(如图1中之△AEF)请你操作，探索：当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别满足下列条件时，能否作出菱形的内接正三角形AEF 请填写下表(不必说明理由).【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
满足的条件 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
内接正△AEF 个数
(以上图形供操作、探索用)
参考答案
【同步测控】
基础自测
( http: / / www.21cnjy.com )4.一张矩形纸片按如图(1)，(2)所示对折，然后沿着图(3)中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的平面图形必是………（ ）21·cn·jy·com
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.矩形 D.菱形
答案：D
5.若四边形ABCD中，AC=BD，则顺次连结此四边形四边中点所得的四边形必为 .
答案：菱形
6. 命题“菱形的对角线互相垂直” ( http: / / www.21cnjy.com )的逆命题是___________________________________，它是一个_______命题(填“真”或“假”).
答案：对角线互相垂直的四边形是菱形 假
( http: / / www.21cnjy.com )9.如图，E、F分别是等腰△ABC的腰AB、AC的中点.
(1)用尺规在BC边上求作一点M，使四边形AEMF为菱形；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB＝5cm，BC＝8cm，求菱形AEMF的面积
解：(1)作BC的中点，即得M点，图略.
(2)连结AM，EF.
∵BC=8cm，M是BC的中点，∴BM=4cm.
∵AB=AC=5cm，∴AM⊥BC. ∴AM= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 cm.
∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 BC=4cm.
∴S菱形AEMF= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AM·EF=6cm2.
能力提升
11.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为………………（ ）
A.1 B.2 C. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 D. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
解析：由题意可得OC=BC，而由四边形AECF是菱形知AC=2OC，即AC=2BC，由勾股定理得AC2=AB2+BC2，即(2BC)2=32+BC2，解得BC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .www-2-1-cnjy-com
答案：D
12. 如图，点E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF=∠B=60°，∠EAB=18°，则∠CEF=………（ ）【出处：21教育名师】
A.16° B.18° C.20° D.22°
解析：连结AC，则易证△ABC是正 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，得∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，可推得∠ACD=∠B=60°，∠BAE=∠CAF=60°-∠EAC，于是△ABE≌△ACF，得AE=AF，可证得△AEF是正三角形，得∠AEF=60°，因此得∠BAE+∠AEB=120°=∠AEB+∠CEF=120°，于是∠CEF=∠EAB=18°.【版权所有：21教育】
答案：B
13.如图，矩形A1B1C1D1的面积为４， ( http: / / www.21cnjy.com )顺次连结各边中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连结四边形A2B2C2D2四边中点得到四边形A3B3C3D3，依此类推，则四边形AnBnCnDn的面积是 .21教育名师原创作品
解析：显然可证得四边形的面积每次缩小为原来和一半，于是四边形AnBnCnDn的面积是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
答案： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
14. 如图，菱形纸片AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°，得菱形A′B′C′D′，则旋转前后两菱形重叠部分多边形(图中阴影部分)的周长为 . 21*cnjy*com
解析：可求得AO= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，B′O=1，则AB′= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 . 而根据对称性和旋转性易证阴影部分边长为AB′，于是可求得阴影部分的周长.21*cnjy*com
答案： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）图①的作法：
作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1；
连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1．
四边形E1F1G1H1即为菱形．
图②的作法：
在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合；
以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；
以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；
连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．
创新应用
17. 在菱形ABCD中，∠BAD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，E、F在菱形边上.△AEF为正三角形.
(1)如图1，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，求证：不论E、F在BC、 CD上如何移动，总有BE=CF；
(2)我们把三个顶点都在菱形的边上的三角形称作菱形的内接三角形(如图1中之△AEF)请你操作，探索：当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别满足下列条件时，能否作出菱形的内接正三角形AEF 请填写下表(不必说明理由).【来源：21·世纪·教育·网】
满足的条件 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
内接正△AEF 个数
(以上图形供操作、探索用)
证明：(1)连结AC.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD∥BC，∠C=∠BAD=120°.
∴∠B=60°，∴△ABC是正三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.
∵△AEF是正三角形，∴AE=AF，∠BAE=60°-∠EAC=∠CAF.
( http: / / www.21cnjy.com )
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5.2 菱形(2)（讲练互动）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预习】
1.菱形的判定：
定理1：四条边都 的四边形是菱形.
定理2：对角线互相 的平行四边形是菱形.
【课前热身】
1.边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是 .
2. 已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为菱形，还应添加条件 .
3. 顺次连结矩形四边中点所得的四边形必为 .
4.将两个全等的等边三角形沿一条边重合所拼成的四边形必为 .
【讲练互动】
【例1】已知∠α与线段a，如图，请用直尺与圆规作一个菱形，使它的一个内角等于∠α，边长为a.
【变式训练】
1. 已知线段m、n，求作一个菱形，使其对角线为m和n.
【例2】如图，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC.请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由.2·1·c·n·j·y
【绿色通道】要证明一个四边形是菱形的方 ( http: / / www.21cnjy.com )法有三种：一是根据定义，证明平行四边形加邻边相等；二是根据判定定理1，证明四条边相等；三是根据判定定理2，证明平行四边形加对角线垂直.21·cn·jy·com
【变式训练】
2.将 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 沿直角边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 所在直线翻折 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （如图所示），点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别是斜边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的中点，连接 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 是菱形，请给予证明.
【例3】如图，□ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )，将直线 ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )顺时针旋转，分别交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点 ( http: / / www.21cnjy.com ).【来源：21·世纪·教育·网】
（1）证明：当旋转角为 ( http: / / www.21cnjy.com )时，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时 ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )顺时针旋转的度数.21·世纪*教育网
【变式训练】
3. 已知四边形ABCD为矩形，AD＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )0㎝，AB＝10㎝. M点从D到A，P点从B到C速度为2㎝/s；N点从A到B，Q点从C到D速度为1㎝/s.若四个点同时出发.
(1)判断四边形MNPQ的形状.
(2)四边形MNPQ能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由.
参考答案
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【例2】如图，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC.请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由.21世纪教育网版权所有
解：四边形ABDC是菱形.
理由：∵AB=AC，△ABC≌△DBC.
∴AB=AC=DB=DC，∴四边形ABDC是菱形.
【绿色通道】要证明一个四边形是菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )的方法有三种：一是根据定义，证明平行四边形加邻边相等；二是根据判定定理1，证明四条边相等；三是根据判定定理2，证明平行四边形加对角线垂直.21cnjy.com
【变式训练】
2.将 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 沿直角边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 所在直线翻折 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （如图所示），点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别是斜边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的中点，连接 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 是菱形，请给予证明.www.21-cn-jy.com
解：四边形ADCF是菱形.
证明：∵△ABC≌△AEC，∴AB=AE.
∵点D与点F分别是斜边AB，AE的中点，
∴CD=AD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AB= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AE=AF=CF.
∴四边形ADCF是菱形.
( http: / / www.21cnjy.com )理由：如图，连接 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
由（2）知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 互相平分．
∴当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为菱形．
在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，又 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 绕点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 顺时针旋转 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为菱形．
【变式训练】
3. 已知四边形ABCD为矩形，AD ( http: / / www.21cnjy.com )＝20㎝，AB＝10㎝. M点从D到A，P点从B到C速度为2㎝/s；N点从A到B，Q点从C到D速度为1㎝/s.若四个点同时出发.21教育网
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新浙教版数学八年级（下）
5.2 菱形(2)
菱形的定义：
复习与引入
菱形的性质：
边
对角线
角
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边分别平行
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直，
且每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
1.(1)已知菱形ABCD的边长为4, ∠DAB=60°,则对角线AC=______,BD=____,面积S菱形ABCD=________.
(2)已知菱形ABCD的两条对角线长分别为2cm, cm,则菱形ABCD的边长为_____cm.
2.已知点E为菱形ABCD的一条对角线AC上的任意一点,连结BE并延长交AD于点F,连结DE.
求证:∠AFB=∠CDE.
A
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E
4
复习与引入
小明同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
猜想：四边都相等的四边形是菱形 。
探究活动一
四条边都相等的四边形是菱形
证明： ∵ AB=CD，BC=DA
∴四边形ABCD为平行四边形
又∵AB=BC
∴平行四边形ABCD是菱形
已知： 在四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA 求证： 四边形ABCD是菱形
(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)
(有一组邻边相等的平行四边形为菱形)
菱形的判定的证明
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
探究活动二
∴ □ ABCD是菱形. （一组邻边相等的平行四边形是菱形）
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：在□ ABCD中
又∵AC⊥BD
∴BD为AC的中垂线
∴AB=AD
AO=CO ，BO=DO
已知： 在□ ABCD中，对角线AC⊥BD于点O 求证： □ ABCD是菱形
(垂直平分线的性质)
菱形的判定的证明
菱形的判定：
定理1：四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
∵□ABCD，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
四种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
1、画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4cm和6cm。
o
A
C
D
B
6cm
4cm
练一练
（1）两条对角线互相垂直的四边形是菱形. ( )
2、辨一辨
（2）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ( )
A
B
C
D
O
错
对
A
D
C
B
例、如图，在 矩形ABCD中，对角线AC垂直平分与AD，BC分别交于E，F。求证：四边形AFCE是菱形
O
E
F
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE//FC(矩形的定义)
∴∠EAC=∠ACF
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF,
∴EO=FO.
∴四边形是平行四边形
(对角线相互平分的四边形是平行四边形).
∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
A
D
C
B
O
2
1
解：（1）∵ AB= ，AO=2，OB=1.
∴
∴ ∠AOB=Rt∠， ∴AC⊥BD.
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形.
4、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= ，AO=2，OB=1.
（1）AC，BD互相垂直吗？为什么？
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
练一练:
5 .如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, EH⊥AC于H, FG⊥AB于G.GF,EH相交于P. 求证：四边形PEDF是菱形。
A
B
E
D
C
G
H
F
P
证明：连接AD
∵△ABC中，AB=AC, D为BC的中点
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB ,DF⊥AC
∴DE=DF
∵ DE⊥AB , FG⊥AB
∴DE∥FG
同理可证∴DF∥EH
∴四边形PEDF是平行四边形
∴四边形PEDF是菱形。
∴∠DEG=∠FGA=90°
邻边相等
对角线互相垂直
平行四边形
A
D
B
C
平行四边形
A
B
C
D
AD=DC
AC⊥BD
四边相等
四边形
A
B
C
D
AD=DC=CB=BA
对角线互相垂直平分
四边形
A
B
C
D
AC⊥BD,AO=CO,BO=DO
O
归 纳
（4）有一组邻边相等的四边形是菱形；
1、判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）对角线互相平分且邻边相等的四边
形是菱形；
（2）两组对边分别平行且一组邻边相等
的四边形是菱形；
（3）邻角相等的四边形是菱形；
练 习
X
X
2.下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ ）．
Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ、AB=BC=CD=DA
Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
O
A
D
C
B
练 习
C
例2、求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
A
B
C
D
1
2
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB
求证：四边形ABCD是菱形
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD
（平行四边形的定义）
∴ ∠2=∠ACD
（两直线平行，内错角相等）
∵ AC平分∠DAB
∴ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠ACD
∴ AD=AC
（在一个三角形中，等角对等边）
∴ 四边形ABCD是菱形
（邻边相等的平行四边形是菱形）
例3.如图，已知AD是△ABC的角平分线，
DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，
求证：AD⊥EF。
1
2
3
A
B
C
E
D
F
证明：∵DE∥AC ,DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∴ ∠2=∠3
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠3
∴ AE=DE
∴ □AEDF是菱形
∴ AD⊥EF
∵DE∥AC
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
练习
A
B
C
D
O
菱
矩
矩
菱
2、如图, 在△ABC中, AB=AC, 点M在边BC上, 过点M分别作AB、AC的平行线, 与AC、AB分别相交于点D、E. 当点M位于BC的什么位置时, 四边形AEMD是菱形 请给予证明.
证明：∵EM∥AC,DM∥AB
∴四边形AEMD是平行四边形
若EM=DM,则□AEMD是菱形
∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C
又∵EM∥AC,DM∥AB
∴∠BEM=∠EMD=∠MDC
∠B=∠C, ∠BEM=∠CDM, EM=DM
在△BME和△CMD中
∴ △BME≌ △CDM
∴BM=CM
∴当M为BC的中点时，四边形AEMD是菱形
3、已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。
求证：四边形CDEF是菱形
O
1
2
A
C
B
D
E
F
练 习
文字语言 图形语言 符号语言
判定法一
判定
法二
判定法三
全课小结——菱形的判定
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵□ABCD
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵□ABCD
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
四边相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
