浙教版八下 6.3 反比例函数的应用
一、选择题(共10小题)
1. 某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 是气球体积 的反比例函数,其图象如图所示,当气球内的气压大于 时,气球将爆炸,为了安全,气球的体积应该
A. 不小于 B. 小于 C. 不大于 D. 小于
2. 第三条穿越世界第二大流动沙漠塔克拉玛干沙漠的公路——新疆尉犁至且末沙漠公路全长 千米,其中沙漠路段约 千米,则平均每天修筑的里程 (千米)与时间 (天)之间的函数关系式是
A. B. C. D.
3. 若一次函数 与反比例函数 的图象都经过点 ,则 的值是
A. B. C. D.
4. 如图,点 , 是反比例函数 图象上的两点,过点 , 分別作 于点 , 于点 ,连接 ,,已知点 ,,,则 等于
A. B. C. D.
5. 如图,在菱形 中,,它的一个顶点 在反比例函数 的图象上,若 ,则反比例函数的表达式为
A. B. C. D.
6. 如图,, 是函数 上两点, 为一动点,作 轴, 轴,下列说法正确的是
① ;② ;③若 ,则 平分 ;④若 ,则 .
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
7. 如图,在平面直角坐标系中,直线 与 轴交于点 ,与 轴夹角为 ,将 沿直线 翻折,点 的对应点 恰好落在双曲线 上,则 的值为
A. B. C. D.
8. 如图,在平面直角坐标系 中,已知 为坐标原点,点 是反比例函数 图象上的一个动点,若以点 为圆心, 为半径的圆与直线 相交,交点为 ,,当弦 的长等于 时,点 的坐标为
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
9. 如图,点 , 在反比例函数 (,)的图象上, 轴于点 , 轴于点 , 轴于点 ,连接 .若 ,,,则 的值为
A. B. C. D.
10. 如图,点 , 是直线 上的两点,过 , 两点分别作 轴的平行线交双曲线 于点 ,.若 ,则 的值为
A. B. C. D.
二、填空题(共7小题)
11. 京沪线铁路全长 ,某次列车的平均速度 随此次列车的全程运行时间 的变化而变化, 与 的函数关系式为 .
12. 如图,在平面直角坐标系 中,矩形 的两边 , 分别在 轴、 轴的正半轴上,反比例函数 的图象分别与边 、边 相交于点 、点 ,且点 、点 分别为 , 边的中点,连接 .若 的面积为 ,则 的值是 .
13. 如图,点 为矩形 的边 的中点,反比例函数 的图象经过点 ,交 边于点 .若 的面积为 ,则 .
14. 在 中,,,.把 放在平面直角坐标系中,顶点 与原点重合,一个顶点在 轴的正半轴上,另一个顶点在第一象限内,且这个顶点在反比例函数 的图象上,则 的值是 .
15. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 的坐标为 ,射线 与反比例函数 的图象交于点 ,过点 作 轴的垂线交双曲线于点 ,过点 作 轴的垂线交双曲线于点 ,连接 ,,那么 的值是 .
16. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 的图象与半径为 的 交于 、 两点,若动点 在 轴上,则 的最小值是 .
17. 如图,一次函数 与反比例函数 的图象交于 , 两点,点 在以 为圆心,半径为 的 上, 是 的中点,已知 长的最大值为 ,则 的值是 .
三、解答题(共6小题)
18. 如图,是 个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是 和 ,每个台阶凸出的角的顶点记作 ( 为 的整数).函数 的图象为曲线 .
(1)若 过点 ,则 ;
(2)若 过点 ,则它必定还过另一点 ,则 ;
(3)若曲线 使得 这些点分布在它的两侧,每侧各 个点,则 的整数值有 个.
19. 如图,在直角坐标平面内,直线 与 轴, 轴交于点 ,,且与函数 (, 是常数)的图象交于 ,,其中 .过点 作 轴的垂线,垂足为 ,过点 作 轴的垂线,垂足为 ,连接 ,,.
(1)若 的面积为 ,求点 的坐标;
(2)若四边形 是等腰梯形,求直线 的表达式.
20. 已知正比例函数 ( 为常数,)的图象与反比例函数 ( 为常数,)的图象有一个交点的横坐标是 .
(1)求这两个函数图象的交点坐标;
(2)若点 , 是反比例函数 图象上的两点,且 ,试比较 , 的大小.
21. 年春节高速免费时间: 年 月 日 时— 年 月 日 时,共 天.王明从河南信阳老家驾车返回距离 千米的北京上班,假设高速公路全程限速 千米/小时,设小汽车的行驶时间为 (单位:小时),行驶平均速度为 (单位:千米/小时).
(1)求 关于 的函数表达式;
(2)春节假期最后一天是返程高峰,王明预计高速公路会出现拥堵,估计小汽车的行驶速度不超过 千米/小时,王明若下午 点出发,能否在高速免费截止时间( 月 日 时)前下高速
22. 如图,已知直线 与双曲线 交于 , 两点,且点 的横坐标为 .
(1)求 的值;
(2)若双曲线 上的点 的纵坐标为 ,求 的面积;
(3)过原点 的另一条直线 交双曲线 于 , 两点( 点在第一象限),若由点 ,,, 为顶点组成的四边形面积为 ,请直接写出符合条件的点 的坐标.
23. 如图,在平面直角坐标系 内,点 在直线 上(点 在第一象限),.
(1)求点 的坐标;
(2)过点 作 轴,垂足为点 ,如果点 和点 都在反比例函数 图象上(点 在第一象限),过点 作 轴,垂足为点 ,如果 ,求点 的坐标.
答案
1. A
【解析】设气球内气体的气压 和气体体积 的关系式为 ,
因为图象过点 ,
所以 ,即 ,
当 时,,
因为在第一象限内, 随 的增大而减小,
所以当 时,.
2. A
【解析】由题意,得 ,
与 的函数关系式为 .
3. B
【解析】将点 代入解析式,得 ;
再把点 和 代入一次函数,得 ,
解得 .
4. D
【解析】,,
,
,
,
,
,
,
,
点 是反比例函数 图象上的点,
,
点 在该反比例函数的图象上.且 ,
.
5. D
【解析】过点 作 于点 ,
在菱形 中,,,
,,
,
,,则 ,
顶点 在反比例函数 的图象上,
,
反比例函数的表达式为 .
故选D.
6. B
7. D
8. C
9. B
【解析】因为 轴于点 , 轴于点 ,
所以四边形 是矩形,
所以 ,
把 代入 ,求得 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
因为 轴于点 ,
把 代入 得,,
所以 ,
因为 ,,
在 中,,
所以 ,解得 ,
因为在第一象限,
所以 ,
故选:B.
10. C
【解析】延长 交 轴于 ,延长 交 轴于 .
设 , 的横坐标分别是 ,,
点 , 为直线 上的两点,
的坐标是 , 的坐标是 .则 ,.
, 两点在交双曲线 ,则 ,.
,.
又 ,
,
两边平方得:,即 ,
在直角 中,,同理 ,
.
11.
12.
【解析】 四边形 是矩形,
,,
设 点的坐标为 ,
点 、点 分别为 , 的中点,
,,
, 在反比例函数的图象上,
,
,
,即 ,
,
.
13.
【解析】设点 ,
因为点 为矩形 的边 的中点,
所以 ,
所以 ,
因为 的面积为 ,
所以 ,
解得 .
14. 或
【解析】分两种情况:
①如图 , 在 轴上,
,,,
,
,
点 的坐标为 ,
点 在反比例函数 的图象上,
.
②如图 , 在 轴上,作 于点 ,
,
,
又在 中,,
点 的坐标为 ,
点 在反比例函数 的图象上,
.
综上所述, 的值为 或 .
15.
【解析】设 的解析式为 ,
,
,
,
联立 解得
,
过 点作 交于点 , 交于点 ,
,,
,,,,
,,
.
16.
17.
【解析】联立
,
,
,,
与 关于原点 对称,
是线段 的中点,
是线段 的中点,
连接 ,则 ,且 ,
的最大值为 ,
的最大值为 ,
在 上运动,
当 ,, 三点共线时, 最大,
此时 ,
,
,
,
.
18. (1)
【解析】因为每个台阶的高和宽分别是 和 , 的纵坐标为 , 的横坐标为 ,所以 的坐标为 , 的坐标为 , 的坐标为 .
若 过点 ,则 .
(2)
【解析】若 过点 ,则 ,
因为 ,所以 过点 ,则 .
(3)
【解析】当 时, 经过点 和 ,当 时, 经过点 和 ,显然若曲线 使得 这些点分布在它的两侧,每侧各 个点,一定是点 ,,, 在曲线上方,其余四个点在曲线下方,点 的坐标为 若 过点 ,则 ;点 的坐标为 ,若 过点 ,则 .所以满足题意的 的取值范围为 ,故 的整数值有 个.
19. (1) 因为点 在函数 上,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 的面积为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
(2) 因为 与 相交于点 ,
所以 与 不平行.
又因为四边形 是等腰梯形,
所以 ,,
又 ,
所以 ,
又 轴,
所以 ,
所以 .
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以直线 的表达式为 .
20. (1) 由题意得 ,解得 ,
正比例函数的表达式为 ,反比例函数的表达式为 ,解 得 ,由 得 ,
这两个函数图象的交点坐标为 、 .
(2) 反比例函数 的图象在第一、三象限,且在每个象限内, 随 的增大而减小,
当 时,;
当 时,;
当 时,
,,
.
21. (1) ,
关于 的函数表达式为 ().
(2) 把 代入 得 ,所以王明至少在中午 点开始从老家出发,才能在高速免费截止时间前下高速,所以王明若从下午 点出发,不能在高速免费截止时间前下高速.
22. (1) 设 ,
在直线 上,
代入得 ,即 ,
又 在双曲线 上,
代入得 .
(2) 设点 ,
点 在双曲线 上,
代入得 ,即 .
过 作 垂直于 轴,垂足为 ;过 作 垂直于 轴,
, 在双曲线 上,
,
,
.
(3) ;.
23. (1) 点 在直线 上(点 在第一象限),
设 ,其中 ,
,
,
解得 ,
点 的坐标为 .
(2) 点 在反比例函数 的图象上,
,
可得反比例函数解析式为 ,
由题意得点 的坐标为 ,
,
,
设点 ,可得 ;
点 在点 的上方,由 ,得 (舍去).
点 的坐标不存在.
点 在点 的下方,由 ,得 ,
点 的坐标为 .
综上所述:满足条件的点 .