2022-2023浙教版数学八年级下册 第二章 一元一次方程 单元复习
一、单选题
1．（2022八下·定远期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A. ，是分式方程，不是一元二次方程，不合题意；
B. ，当a≠0时，是一元二次方程，当a=0，b≠0时，是一元一次方程，不合题意；
C. ，原方程整理得，是一元二次方程，符合题意；
D. ，原方程整理得-6x+13=0，不是一元二次方程，不合题意．
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2022八下·鄞州期末）一元二次方程x（x-2）=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=-2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x（x-2）=0 ，
∴x=0或x-2=0，
解得 x1=0，x2=2 .
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，即可解答.
3．（2022八下·常熟期末）某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元.若增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得：；
故答案为：D.
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数分别表示出上映第二天与第三天的票房收入，进而根据三天后累计票房收入达到4亿元列出方程.
4．（2022八下·拱墅月考）方程 化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程 ，
去括号，得 ，
整理，得 ，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，18，
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，据此解答.
5．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则a，b的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴ ，
解得a=-，b=1.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系分别列式求出a、b值，即可解答.
6．（2022八下·莱芜期末）以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A．此方程的根为x=，符合题意；
B．此方程的根为x=，不符合题意；
C．此方程的根为x=，不符合题意；
D．此方程的根为x=，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用公式法求解一元二次方程的方法逐项判断即可。
7．（2022八下·门头沟期末）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】设平均每天票房的增长率为，根据题意直接列出方程即可。
8．（2022八下·安庆期末）关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的同号实数根 B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】因为，所以有两个不相等的异号实数根，
又两根之积等于-1，方程有两个异号实数根，所以原方程有两个不相等的异号实数根.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断求解即可。
9．（2022八下·合肥期末）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】换元法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意得，
整理得：，
则，
方程两边同时除以，
，
（负值已经舍去），
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
10．一元二次方程 ，其中 ，给出以下四个结论：(1)若方程 有两个不相等的实数根，则方程 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 的两根符号相同，则方程 的两根符号也相同；(3)若 是方程 的一个根，则 是方程 的一个根；(4)若方程 和方程 有一个相同的根，则这个根必是 .其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： (1)∵方程 有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac>0，∴方程的△=b2-4ac>0，∴
方程 有两个不相等的实数根，正确；
(2)∵方程 的两根符号相同，∴x1x2=>0，∴方程的中两根之积ac>0，则两根同号，正确；
(3)若 是方程 的一个根，则am2 +bm+c=0，而c× +b×+a=(am2+bm+c)=0，则am2+bm+c=0，正确；
(4) 设ax2+bx+c=cx2+bx+a，则(a-c)x2=(a-c)，解得x=±1，不正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】(1)根据一元二次方程的判别式△的符号进行判断即可；(2)分析根与系数的关系的两根之积的符号进行判断；(3)把m和分别代入两个方程进行比较即可判断；(4)联立两个一元二次方程，求出公共根，即可判断.
二、填空题
11．（2022八下·潜山期末）关于x的方程的一个根是-2，则m的值为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x的方程的一个根是，
∴，
解得：．
故答案为：2
【分析】将x=-2代入求出m的值即可。
12．（2022八下·环翠期末）代数式与4x的值相等，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：x2-2x=4x，
整理得：x2-6x=0，
分解因式得：x（x-6）=0，
所以x=0或x-6=0，
解得：x1=0，x2=6，
故答案为：x1=0，x2=6．
【分析】根据题意列出方程x2-2x=4x，再求出x的值即可。
13．（2022八下·定远期末）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 ．
【答案】20
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得：
令则原方程可化简为
∴
解之得： ，（不合题意，舍去）
∴
．
故答案为：20.
【分析】先求出，再求出，最后作答即可。
14．（2022八下·杭州期中）对于实数 ， ，定义一种运算 为： 如果关于 的方程 有两个相等的实数根，则 .
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由 得 ，
依题意有 ，
，
解得， ，或 舍去 .
故答案为：0.
【分析】根据定义新运算将方程变形为，由方程有两个相等实数根，可得且△=0，据此解答即可.
15．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
16．（2017八下·丽水期末）在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
【答案】6或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x +(c 4)x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=(c 4) 4×1× =0，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD= ，
∴△ABC的面积是 ×4× =2 ；
故答案为：6或2 .
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想.
三、计算题
17．（2020八下·岑溪期末）解方程：
【答案】解：将方程左边分解因式得：
，
，
所以 或 ，
所以 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】方程则左边利用平方差公式分解因式，将右边整体移到方程的左边，然后左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
18．（2021八下·龙口期中）按要求解下列方程：
（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
【答案】（1）解：（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
（2）解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝± ，
所以x1＝1+ ，x2＝1﹣ ．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】
(1)解：由（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
得2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
(2)解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝±
所以x＝1±
【分析】此题考查因式分解解二元一次方程和用配方法解二元一次方程，关键在于掌握这2种解方程的方法即可。
四、解答题
19．（2022八下·平谷期末）已知关于x的一元二次方程x2 mx+m 2=0．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程有一个根是0，求出m的值和另一个根．
【答案】（1）证明：Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4＞0，即Δ＞0，∴方程总有两个不等实数根；
（2）解：∵方程有一个根是0，∴m-2=0，解得：m=2，∴x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得：x1=0，x2=2，∴此方程的另一个根是2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先求出m的值，再将m代入原方程求出方程的解即可。
20．（2022八下·泰安期末）“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台．已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
【答案】解：设商店应将学习机的售价定为x元，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
答：商店应将学习机的售价定为1300元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设商店应将学习机的售价定为x元，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
21．对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：h=vt- gt2，其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度（g≈10m/s2），t是抛出后的时间.如果一物体以25m/s的初速度从地面竖直向上抛出，经过几秒钟后它在离地面20m高的地方？
【答案】解：由题意得25t- ×10t2=20，∴5t-t2=4，
∴（t- ）2= ，∴t- =± ，
解得t1=1，t2=4.
答：经过1s或4s后它在离地面20m高的地方.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据h=vt- gt2，结合h、v和g的值，得出一个关于t的一元二次方程求解即可.
22．（2022八下·滨江期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙 墙足够长，篱笆要全部用完 .
（1）如图1，问 为多少米时，矩形 的面积为200平方米？
（2）如图2，矩形 的面积比（1）中的矩形 面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长 比图①中矩形的长 少2米就可以了.请你通过计算，判断小明的想法是否正确.
【答案】（1）解：设 米，则 米，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： .
答： 为10米时，矩形 的面积为200平方米.
（2）解：由（1）可知： .
米 ，
米 ，
矩形 的面积 平方米 ， ，
小明的想法不正确.
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB=x米，则BC=(40-2x)米，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可；
（2）由（1）可得BC=40-2x=20，由题意可得MN=BC-2=18米，然后求出EM的值，根据矩形的面积公式求出矩形EMNF的面积，据此判断.
23．（2022八下·临淄期中）如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点从点出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒），当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，即3t2-32t+144=0，
此时，△=（-32）2-4×3×144=-704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，再分类讨论：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122，再分别求解即可。
24．（2022八下·定远期末）综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①；②．
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【答案】（1）解：①解方程得：，，，，不是“邻根方程”；②，，，，是“邻根方程”；
（2）解：，，，方程是常数）是“邻根方程”，或，或.
【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据邻根方程的定义计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求解即可。
1 / 12022-2023浙教版数学八年级下册 第二章 一元一次方程 单元复习
一、单选题
1．（2022八下·定远期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八下·鄞州期末）一元二次方程x（x-2）=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=-2
3．（2022八下·常熟期末）某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元.若增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022八下·拱墅月考）方程 化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
5．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则a，b的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022八下·莱芜期末）以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八下·门头沟期末）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022八下·安庆期末）关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的同号实数根 B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
9．（2022八下·合肥期末）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ）
A． B． C． D．
10．一元二次方程 ，其中 ，给出以下四个结论：(1)若方程 有两个不相等的实数根，则方程 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 的两根符号相同，则方程 的两根符号也相同；(3)若 是方程 的一个根，则 是方程 的一个根；(4)若方程 和方程 有一个相同的根，则这个根必是 .其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2022八下·潜山期末）关于x的方程的一个根是-2，则m的值为 ．
12．（2022八下·环翠期末）代数式与4x的值相等，则x的值为 ．
13．（2022八下·定远期末）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 ．
14．（2022八下·杭州期中）对于实数 ， ，定义一种运算 为： 如果关于 的方程 有两个相等的实数根，则 .
15．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
16．（2017八下·丽水期末）在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
三、计算题
17．（2020八下·岑溪期末）解方程：
18．（2021八下·龙口期中）按要求解下列方程：
（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
四、解答题
19．（2022八下·平谷期末）已知关于x的一元二次方程x2 mx+m 2=0．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程有一个根是0，求出m的值和另一个根．
20．（2022八下·泰安期末）“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台．已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
21．对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：h=vt- gt2，其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度（g≈10m/s2），t是抛出后的时间.如果一物体以25m/s的初速度从地面竖直向上抛出，经过几秒钟后它在离地面20m高的地方？
22．（2022八下·滨江期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙 墙足够长，篱笆要全部用完 .
（1）如图1，问 为多少米时，矩形 的面积为200平方米？
（2）如图2，矩形 的面积比（1）中的矩形 面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长 比图①中矩形的长 少2米就可以了.请你通过计算，判断小明的想法是否正确.
23．（2022八下·临淄期中）如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点从点出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒），当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
24．（2022八下·定远期末）综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①；②．
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A. ，是分式方程，不是一元二次方程，不合题意；
B. ，当a≠0时，是一元二次方程，当a=0，b≠0时，是一元一次方程，不合题意；
C. ，原方程整理得，是一元二次方程，符合题意；
D. ，原方程整理得-6x+13=0，不是一元二次方程，不合题意．
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x（x-2）=0 ，
∴x=0或x-2=0，
解得 x1=0，x2=2 .
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，即可解答.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得：；
故答案为：D.
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数分别表示出上映第二天与第三天的票房收入，进而根据三天后累计票房收入达到4亿元列出方程.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程 ，
去括号，得 ，
整理，得 ，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，18，
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，据此解答.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴ ，
解得a=-，b=1.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系分别列式求出a、b值，即可解答.
6．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A．此方程的根为x=，符合题意；
B．此方程的根为x=，不符合题意；
C．此方程的根为x=，不符合题意；
D．此方程的根为x=，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用公式法求解一元二次方程的方法逐项判断即可。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】设平均每天票房的增长率为，根据题意直接列出方程即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】因为，所以有两个不相等的异号实数根，
又两根之积等于-1，方程有两个异号实数根，所以原方程有两个不相等的异号实数根.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断求解即可。
9．【答案】C
【知识点】换元法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意得，
整理得：，
则，
方程两边同时除以，
，
（负值已经舍去），
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： (1)∵方程 有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac>0，∴方程的△=b2-4ac>0，∴
方程 有两个不相等的实数根，正确；
(2)∵方程 的两根符号相同，∴x1x2=>0，∴方程的中两根之积ac>0，则两根同号，正确；
(3)若 是方程 的一个根，则am2 +bm+c=0，而c× +b×+a=(am2+bm+c)=0，则am2+bm+c=0，正确；
(4) 设ax2+bx+c=cx2+bx+a，则(a-c)x2=(a-c)，解得x=±1，不正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】(1)根据一元二次方程的判别式△的符号进行判断即可；(2)分析根与系数的关系的两根之积的符号进行判断；(3)把m和分别代入两个方程进行比较即可判断；(4)联立两个一元二次方程，求出公共根，即可判断.
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x的方程的一个根是，
∴，
解得：．
故答案为：2
【分析】将x=-2代入求出m的值即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：x2-2x=4x，
整理得：x2-6x=0，
分解因式得：x（x-6）=0，
所以x=0或x-6=0，
解得：x1=0，x2=6，
故答案为：x1=0，x2=6．
【分析】根据题意列出方程x2-2x=4x，再求出x的值即可。
13．【答案】20
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得：
令则原方程可化简为
∴
解之得： ，（不合题意，舍去）
∴
．
故答案为：20.
【分析】先求出，再求出，最后作答即可。
14．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由 得 ，
依题意有 ，
，
解得， ，或 舍去 .
故答案为：0.
【分析】根据定义新运算将方程变形为，由方程有两个相等实数根，可得且△=0，据此解答即可.
15．【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
16．【答案】6或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x +(c 4)x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=(c 4) 4×1× =0，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD= ，
∴△ABC的面积是 ×4× =2 ；
故答案为：6或2 .
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想.
17．【答案】解：将方程左边分解因式得：
，
，
所以 或 ，
所以 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】方程则左边利用平方差公式分解因式，将右边整体移到方程的左边，然后左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
18．【答案】（1）解：（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
（2）解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝± ，
所以x1＝1+ ，x2＝1﹣ ．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】
(1)解：由（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
得2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
(2)解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝±
所以x＝1±
【分析】此题考查因式分解解二元一次方程和用配方法解二元一次方程，关键在于掌握这2种解方程的方法即可。
19．【答案】（1）证明：Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4＞0，即Δ＞0，∴方程总有两个不等实数根；
（2）解：∵方程有一个根是0，∴m-2=0，解得：m=2，∴x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得：x1=0，x2=2，∴此方程的另一个根是2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先求出m的值，再将m代入原方程求出方程的解即可。
20．【答案】解：设商店应将学习机的售价定为x元，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
答：商店应将学习机的售价定为1300元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设商店应将学习机的售价定为x元，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
21．【答案】解：由题意得25t- ×10t2=20，∴5t-t2=4，
∴（t- ）2= ，∴t- =± ，
解得t1=1，t2=4.
答：经过1s或4s后它在离地面20m高的地方.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据h=vt- gt2，结合h、v和g的值，得出一个关于t的一元二次方程求解即可.
22．【答案】（1）解：设 米，则 米，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： .
答： 为10米时，矩形 的面积为200平方米.
（2）解：由（1）可知： .
米 ，
米 ，
矩形 的面积 平方米 ， ，
小明的想法不正确.
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB=x米，则BC=(40-2x)米，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可；
（2）由（1）可得BC=40-2x=20，由题意可得MN=BC-2=18米，然后求出EM的值，根据矩形的面积公式求出矩形EMNF的面积，据此判断.
23．【答案】解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，即3t2-32t+144=0，
此时，△=（-32）2-4×3×144=-704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，再分类讨论：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122，再分别求解即可。
24．【答案】（1）解：①解方程得：，，，，不是“邻根方程”；②，，，，是“邻根方程”；
（2）解：，，，方程是常数）是“邻根方程”，或，或.
【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据邻根方程的定义计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求解即可。
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