2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
浙教版八下数学
2.4 一元二次方程根与系数关系
十字相乘法：
“十字相乘法”是乘法公式：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
的反向运算，它适用于分解二次三项式。
温故知新：
①竖分：二次项与常数项
②叉乘：交叉相乘，和相加
③横写：检验确定，横写因式
(1) x2+6x-7=
x2+6x-7=0
(x+7)(x-1)=0
x+7=0或x-1=0
x1=-7，x2=1
x1+x2=(-7)+1=-6
x1 x2=(-7) 1=-7
大胆猜想：二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项
(x+7)(x-1)
x
x
7
-1
Ⅹ
-x+7x=6x
①竖分：二次项与常数项
②叉乘：交叉相乘，和相加
③横写：检验确定，横写因式
(2) x2-6x-7=
x2-6x-7=0
(x-7)(x+1)=0
x-7=0或x+1=0
x1=7，x2=-1
x1+x2=7+(-1)=6
x1 x2=7 (-1)=-7
二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项
(x-7)(x+1)
x
x
-7
1
Ⅹ
-7x+x=-6x
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x2+(a+b)x+ab=0
(x+a)(x+b)=0
x1=-a，x2=-b
x1+x2=-（a+b）
x1x2=ab
①竖分：二次项与常数项
②叉乘：交叉相乘，和相加
③横写：检验确定，横写因式
(3) 2x2-13x-7=
2x2-13x-7=0
(x-7)(2x+1)=0
x-7=0或2x+1=0
大胆猜想：二次项系数不为1时，两根之和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数， 两根之积等于常数项与二次项系数的商
(x-7)(2x+1)
x
2x
-7
1
Ⅹ
-14x+x= -13x
x1=7，x2=-
.
x1+x2=7+(- )= -
.
x1 x2=7 (-)=
.
1.一元二次方程的一般形式：
2.一元二次方程根的判别式：
3.一元二次方程的求根公式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
4.一元二次方程的根的情况：
b2－4ac
.
b2－4ac
.
（
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根
二次项系数不为1时，两根之和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数
ax2+bx+c=0 (a
.
x1=
x2=
x1+x2=
=
=
.
两根之积等于常数项与二次项系数的商
x1x2=
=
=
.
=
.
=
.
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1， x2，那么
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
推论：如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1,x2
那么 x1+x2=－p ,x1x2=q
+ ==
.
韦达（1540——1603）是法国数学家,最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
解：
1. 设x1,x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，
求
学以致用：
=
.
代数式的恒等变形终止标志之一--------
两根和+两根积的出现
2. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是 ，1，请写出这个方程.
解:设这个方程为
∴这个方程为
待定系数法
1．一元二次方程根与系数的关系
如果x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么
2．一元二次方程的根与系数关系应用的前提
归纳总结：
+ ==
.
.
1.设x1，x2 分别是一元二次方程的两根，填空：
（1）x2+3x+1=0 x1+x2=____, x1x2=____.
（3）.x2+px+q=0 x1+x2=____, x1x2=____..
（2）2x2-3x-5=0 x1+x2=____, x1x2=____.
当堂检测：夯实基础，稳扎稳打
-3
1
.
.
-p
.
q
.
ax2+bx+c=0(a≠0)
x1+x2=- x1x2=
.
2、设x1，x2是方程3x2+2x -1＝0的两个根，求下列各式的值：
(1) x12x2+x1x22
(2) (x1+1)(x2+1)
(3)
.
(1) x12x2+x1x22=
x1 x2（x1+x2）=
-

=
(2) (x1+1)(x2+1)=
x1 x2+（x1+x2）+1=
（- ）+1=
+
0
(3) =
.
=
.
=
.
=
.
.
.
解：x1+x2 = -
.
x1 x2=
.
代数式的恒等变形终止标志之一--------
两根和+两根积的出现
3：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是-2，4.写出这个方程
解：设方程为：3x2+bx+c=0
-2+4= -
b=-6
-2
.
c= -24
该方程为：3x2-6x-24=0
待定系数法
4. 已知方程 的一个根是2，
求它的另一个根及k的值.
解：设方程 的两个根
分别是 、 ，其中 。
所以：
即：
由于
得：k=-7
答：方程的另一个根是 ，k=-7
5.已知方程X2+kX+k+2=0的两个根是X1、X2，且X12+X22 = 4，求k的值。
解：由根与系数的关系得：
X1+X2=-k， X1.X2=k+2
又X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 - 2 X1X2=4
K2- 2（k+2）=4
K2-2k-8=0
解得：k=4 或k=-2
∵ △= K2-4（k+2）
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
连续递推，豁然开朗
一元二次方程的根与系数关系应用的前提：
.
6.已知x1，x2是一元二次方程 的两个根，
求证：
.
证明：∵
.
+ ==
.
∴
.
.
思维拓展，更上一层
求证：
x1-x2
证明：
x1-x2
=
.
=
.
=
.
=
.
=
.
=
.
=
.
7. 已知x1，x2是一元二次方程 的两个根，
.
=
代数式的恒等变形终止标志之一--------
两根和+两根积的出现