(共19张PPT)
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动…
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
王戎推理方法是:
发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么
他是如何推断该命题的正确性的
小芳全家没外出旅游.
小芳全家没外出旅游.
假设小芳全家外出旅游,
那么今天不可能碰到小芳,
与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾,
所以假设不成立,
所以小芳全家没有外出旅游.
在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。
试一试
1、“a＜b”的反面应是（ ）
（A）a≠＞b （B）a ＞b
（C）a=b （D）a=b或a ＞b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？
___________________________________
D
假设三角形中有两个或三个角是直角
例 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角.
已知：如图，四边形ABCD
求证：四边形ABCD中至少有
一个角是钝角或直角.
证：假设四边形中没有一个角是钝角或直角.
这与四边形内角和等于360度相矛盾
所以四边形中至少有一个角是钝角或直角.
用反证法证明（填空）:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°.
这与________________________________相矛盾.
所以______不成立，所求证的结论成立.
已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于
或等于60°.
证明: 假设所求证的结论不成立，即
∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60°
则∠A+∠B+∠C < 180°.
<
<
<
三角形三个内角的和等于180°
假设
试一试
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
求证：a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴a∥b
反证法的一般步骤:
假设命题结论不成立。
假设不成立
（即命题结论反面成立）
与已知条件矛盾
假设
推理得出的结论
与定理，定义，公理矛盾
所证命题成立
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法
(2)如果选择反证法,先怎样假设 结果和什么产生矛盾
定理
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
l２
l１
l３
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
p
所以假设不成立，所求证的结论成立，
即 l１∥l３
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
定理
(3)不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证: l1∥l3
l1
l2
l3
l
p
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3
∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内，
如果一条直线和两条平行直线中的一条相
交，那么和另一条直线也相交）
证明:作直线l交直线l2于点p，
∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
2
1
3
定理:在同一平面内,如果两条直线都
和第三条直线平行,那么这两条
直线也互相平行.
几何语言表示:
∵a∥b,b∥c,
∴a∥c
a
b
c
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且 l1∥l3,l2∥l3,
求证:∠1=∠2
l1
l2
l3
l
⌒
⌒
1
2
证明: ∵l1∥l3,l2∥l3(已知)
∴l1∥l2
(在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
课堂小结:
2、反证法的一般步骤:
从假设出发
1、反证法的概念;
假设命题不成立
引出矛盾
假设不成立
求证的命题正确
得出结论
假设
归谬
结论
归纳: 宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）某些定理的逆命题；
（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的
命题；
（4）关于“唯一性”结论的命题；
（5）解决整除性问题；
（6）一些不等量命题的证明；
（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；
（8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角.
你能用反证法证明以下命题吗？
延伸拓展
证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.
这与____________________________矛盾；
当∠B是_____时，则______________
这与____________________________矛盾；
综上所述,假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
直角
钝角
直角
∠B+ ∠C= 180°
三角形的三个内角和等于180°
钝角
∠B+ ∠C＞180°
三角形的三个内角和等于180°
当∠B是_____时，则_____________
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：
Ａ说：这里有１个人说谎．
Ｂ说：这里有２个人说谎．
Ｃ说：这里有３个人说谎．
Ｄ说：这里有４个人说谎．
Ｅ说：这里有５个人说谎．
聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？
你会释放谁？
请与大家分享你的判断！
延伸拓展登陆21世纪教育 助您教考全无忧
4.6反证法同步练习
A组
1．“a>b”的反面应是（ ）
A．a≠b B．a2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．21·cn·jy·com
4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．
5.如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O ( http: / / www.21cnjy.com )′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．
( http: / / www.21cnjy.com )
6.证明: 在任何三角形中, 至少有一个内角大于或等于 60° ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).
7．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与BE不能被点H互相平分。www.21-cn-jy.com
B组
8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
9．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设_______________．【来源：21·世纪·教育·网】
10.求证：等腰三角形的底角必为锐角。
已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B、∠C必为锐角。
11．用反证法证明：是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成的形式，且a，b互质）
参考答案
A组
1、D 2、D
3、它们所对的角也不相等
4、a》4
5、两， 有且只有一条直线，原命题成立
6、假设命题不成立, 则三角形的三个内
( http: / / www.21cnjy.com )角都小于 60°, 则三个内角的和小于
180°, 这和 “三角形的内角和等于
180°” 的定理矛盾, 所以假设不成立,
所求证的命题成立.21世纪教育网版权所有
7、证明：假设AD、BE被交点H互相平分， ( http: / / www.21cnjy.com )则ABDE是平行四边形。
∴AE∥BD，即AC∥BC
这与AC、BC相交于C点矛盾，
故假设AD、BE被交点H平分不能成立。
所以AD与BE不能被点H互相平分。21教育网
B组
8、B
9、在直角三角形中，每个个锐角大于45
10、证明：假设∠B、∠C ( http: / / www.21cnjy.com )不是锐角，
则可能有两种情况：(1)∠B＝∠C＝90° (2)∠B＝∠C＞90°
若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理矛盾。
若∠B＝∠C＞90°，则 ∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理矛盾。
所以假设不能成立。
故∠B、∠C必为锐角。21cnjy.com
11、证明：假设是一个有理数，则存在a，b使=（a，b互质），所以2=，所以b2=2a2．因为2a2为偶数，所以b2为偶数，所以b为偶数． 设b=2k（k为整数），则b2=4k2，所以4k2=2a2，所以a2=2k2，所以a为偶数，这与a，b互质相矛盾，所以假设不成立，原命题成立2·1·c·n·j·y
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4.6反证法学案
一、新课引入
1、王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看 ( http: / / www.21cnjy.com )到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动…王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法
2、发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么 他是如何推断该命题的正确性的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
二、新课教学
1、反证法定义：
在证明一个命题时,有时先假设命题_ ( http: / / www.21cnjy.com )________,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等__________,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。这种证明方法叫做__________。21世纪教育网版权所有
2、“a＜b”的反面应是（ ）
（A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b
3、用反证法证明命题“三角形中最多有一个 ( http: / / www.21cnjy.com )是直角”时，应假设_______________________________________________________________________________
三、例与练
例 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).
练习：
1、 用反证法证明（填空）:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°.
2、已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2 ，求证：a∥b
3、合作学习
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
练习：
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且 l1∥l3,l2∥l3,
求证:∠1=∠2
四、课堂小结
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
五、拓展延伸
1、如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角.
2、警察局里有5名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：A说：这里有１个人说谎．
B说：这里有2个人说谎．C说：这里有3个人说谎．D说：这里有4个人说谎．
E说：这里有5个人说谎．
聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？你会释放谁？
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