三角形中位线定理
一、选择题（共20小题）
1、如图，在等边△ABC中，D、E、F是三边中点．在图中可以数出的三角形中，任选一对三角形（不计顺序），如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“友好三角形”．那么，从图中选出“友好三角形”共有（ ）
A、120对 B、240对
C、234对 D、114对
2、如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的平面展开图（ ）
A、正方体 B、三棱柱
C、三棱锥 D、圆锥
3、如图，O是△ABC的重心，AO、BO的延长线分别交BC、AC于点E、D，若AB=12，则DE长为（ ）
A、3 B、4
C、6 D、8
4、在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）
A、EF∥AB B、BF=CF
C、∠A=∠DFE D、∠B=∠DEF
5、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为（ ）
A、6cm B、8cm
C、3cm D、4cm
6、如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（ ）
A、2cm B、1.5cm
C、1.2cm D、1cm
7、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ）
A、8 B、9
C、10 D、12
8、如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若中位线EF=2cm，则BC边的长是（ ）
A、1cm B、2cm
C、3cm D、4cm
9、如图，直角三角形纸片ABC的∠C为90°，将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是（ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、等腰梯形 D、直角梯形
10、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF=（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
11、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC=（ ）
A、6 B、8
C、10 D、12
12、如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
13、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（ ）
A、3 B、4
C、4.8 D、5
14、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A、7 B、9
C、10 D、11
15、在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm，则BC的长是（ ）
A、2cm B、3cm
C、4cm D、5cm
16、如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A、BC=2BE B、∠A=∠EDA
C、BC=2AD D、BD⊥AC
17、如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上．若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB的长度是（ ）
A、4 B、5
C、6 D、7
18、如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A、15米 B、20米
C、25米 D、30米
19、如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB=4，则OE的长是（ ）
A、2 B、
C、1 D、
20、如图，D，E分别是△ABC的边AC和BC的中点，已知DE=2，则AB=（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
二、填空题（共5小题）
21、如图，一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第2个三角形，第2个三角形的三条中位线组成第3个三角形，照上述方法继续做下去，则第6个三角形的周长为 _________ ．
22、如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是 _________ ．
23、如图，在△ABC中，AB=AC=6，中线CE=5．延长AB到D使BD=AB．则CD= _________ ．
24、如图，在△ABC中，F、G是BC边上两点，使∠B、∠C的平分线BE、CD分别垂直AG，AF（E、D为垂足）．若△ABC的周长为22，BC边长为9，则DE的长为 _________ ．
25、已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，点E是BC边的中点，AB=8，AC=12，则DE长为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、如图．已知H是△ABC的垂心，O是外心，OL⊥BC于L．求证：AH=2OL．
27、如图，在平面坐标系中有一正三角形ABC，A（﹣8，0）、B（8，0），直线l经过原点O及BC的中点D，另一动直线a平行于y轴，从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线a分别交线段BC、直线l于点E、F，以EF为边向左侧作等边△EFG，设△EFG与△ABC重叠部分的面积为S（平方单位），当点G落在y轴上时，a停止运动，设直线a的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出：C点坐标 _________ ，直线l的解析式： _________ ．
（2）请用含t的代数式表示线段EF；
（3）求出S关于t的函数关系式及t的取值范围．
28、如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点．求证：MN∥AD．
29、已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AG：GX=2：1．
30、已知两直线于交Q点，A，B，C是一直线上的三个点，L，M，N是另一直线上的三个点，且QA=AB=BC，LQ=QM=MN．求证：AL，BN，CM三线共点．
三角形中位线定理
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如图，在等边△ABC中，D、E、F是三边中点．在图中可以数出的三角形中，任选一对三角形（不计顺序），如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“友好三角形”．那么，从图中选出“友好三角形”共有（ ）
A、120对 B、240对
C、234对 D、114对
考点：加法原理与乘法原理；等边三角形的性质；三角形中位线定理。
专题：数形结合。
分析：把题中的所有三角形按大小分为4类，表示出相应的边长，排除不是“友好三角形”的对数，让总对数减去不是“友好三角形”的对数即可得到所求．
解答：解：原图中有4类三角形．若设AB=6，则AE=3，AD=3，AO=2，OD=，那么4类三角形的边长（按自小到大的顺序排列）为，3，2；2，2，6；3，3，6；6，6，6．
若把这些三角形分为a，b，c，d共4类．可得：
a，b，c3类的三角形，任取2个，必有一条边相等；
b，c，d类的三角形，任取2个，也必有一条边相等；
只有a类和d类的三角形没有相等的边，这种情形的三角形共有6对，是非“友好三角形”．
∵图中共有16个三角形，任意取2个后，不考虑顺序应有16×15÷2=120种选取方法，
∴“友好三角形”共有120﹣6=114对．
故选D．
点评：主要考查乘法原理的应用；把所给三角形合理进行分类，根据所给定义判断“友好三角形”是解决本题的突破点．
2、如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的平面展开图（ ）
A、正方体 B、三棱柱
C、三棱锥 D、圆锥
考点：几何体的展开图；等边三角形的性质；三角形中位线定理。
专题：几何图形问题。
分析：根据几何体的平面展开图的特征可知：该图形是三棱锥的展开图．
解答：解：观察如图所示的展开图可知，该立体图形是三棱锥．
故选C．
点评：本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
3、如图，O是△ABC的重心，AO、BO的延长线分别交BC、AC于点E、D，若AB=12，则DE长为（ ）
A、3 B、4
C、6 D、8
考点：三角形的重心；三角形中位线定理。
分析：根据三角形重心的定义，即各边中点的连线，以及三角形中位线的性质得出答案．
解答：解：∵O是△ABC的重心，
∴AD=CD，BE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=6，
故选：C．
点评：此题主要考查了三角形的中位线定理以及三角形的重心性质，根据题意得出DE是△ABC的中位线是解决问题的关键．
4、在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）
A、EF∥AB B、BF=CF
C、∠A=∠DFE D、∠B=∠DEF
5、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为（ ）
A、6cm B、8cm
C、3cm D、4cm
考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；三角形中位线定理。
专题：计算题。
分析：过A作AF∥DE交BD于F，则DE是△CAF的中位线，根据线段垂直平分线的性质，即可解答．
解答：解：作辅助线过A做AF∥DE交BD于F，则DE是△CAF的中位线，
∴AF=2DE=2，又∵DE⊥AC，∠C=30°，∴FD=CD=2DE=2，
在△AFB中，∠1=∠B=30°，
∴BF=AF=2，∴BD=4．
故选D．
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
6、如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（ ）
A、2cm B、1.5cm
C、1.2cm D、1cm
7、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ）
A、8 B、9
C、10 D、12
考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半．
解答：解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
8、如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若中位线EF=2cm，则BC边的长是（ ）
A、1cm B、2cm
C、3cm D、4cm
9、如图，直角三角形纸片ABC的∠C为90°，将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是（ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、等腰梯形 D、直角梯形
考点：三角形中位线定理。
专题：作图题。
分析：将剪开的△ADE绕E点顺时针旋转180°，使EA与EB重合，得到矩形，也就是平行四边形，将剪开的△ADE绕D点逆时针旋转180°，使DA与DC重合，得到等腰梯形，故不能得到直角梯形．
解答：解：将剪开的△ADE绕E点顺时针旋转180°，使EA与EB重合，得到矩形，也就是平行四边形，故A、B正确；
将剪开的△ADE绕D点逆时针旋转180°，使DA与DC重合，得到等腰梯形，故C正确；
∴不能得到直角梯形，故D错误．
故选D．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，旋转的性质．关键是运用中位线的性质，旋转的方法得出基本图形．
10、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF=（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
11、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC=（ ）
A、6 B、8
C、10 D、12
考点：三角形中位线定理。
专题：计算题。
分析：利用三角形的中位线定理求得BC即可．
解答：解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=BC，
∵DE=5，
∴BC=10．
故选C．
点评：此题主要是根据三角形的中位线定理进行分析计算．
12、如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：三角形中位线定理。
专题：作图题。
分析：将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题．
解答：解：①使得CE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：
∵∠C=60°，
∴AB=BC，
∴BD≠BC．
②使得BD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：
③使得BD与DE重合，构成有一个角为锐角的平行四边形，不是菱形，如图：
故计划可拼出①②．
故选C．
点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，考查了三角形中位线定理的性质，本题中求证BD≠BC是解题的关键．
13、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（ ）
A、3 B、4
C、4.8 D、5
考点：三角形中位线定理；勾股定理。
分析：由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，根据勾股定理即可求得AC的长，又由DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，求得DE的长度．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴AC==6，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=AC=3．
故选A．
点评：此题考查了勾股定理与三角形中位线的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
14、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A、7 B、9
C、10 D、11
考点：三角形中位线定理；勾股定理。
专题：计算题。
分析：根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG=BC=EF，EH=FG=AD，求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长．
解答：解：∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC==5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴HG=BC=EF，EH=FG=AD，
∵AD=6，
∴EF=HG=2.5，EH=GF=3，
∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（2.5+3）=11．
故选D．
点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH、FG的长是解此题的关键．
15、在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm，则BC的长是（ ）
A、2cm B、3cm
C、4cm D、5cm
考点：三角形中位线定理。
分析：先根据题意画出图形，由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理解答即可．
16、如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A、BC=2BE B、∠A=∠EDA
C、BC=2AD D、BD⊥AC
考点：三角形中位线定理。
分析：根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC且BC=2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB=∠DBE=∠BDE，所以BE=DE=AE，所以AB=2DE，所以AB=BC，即可得出B、D选项正确．
解答：解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE∥BC且BC=2DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE=AE，
∴AB=2DE，BC=2DE=2BE，故A正确；
∴AB=BC，
∴∠A=∠C=∠EDA，故B正确；
C、∵AE=DE，与AD不一定相等，故本选项不一定成立；
D、∵AB=BC，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，故本选项正确．
故选C．
点评：本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．
17、如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上．若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB的长度是（ ）
A、4 B、5
C、6 D、7
18、如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A、15米 B、20米
C、25米 D、30米
考点：三角形中位线定理。
专题：应用题。
分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，周长也就不难得到．
解答：解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF=5米，
∴BC=2EF=10米，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BE=CF=BC=5米，
∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米．
故选C．
点评：本题利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质和等边三角形三边相等的性质求解．
19、如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB=4，则OE的长是（ ）
A、2 B、
C、1 D、
考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质。
分析：根据平行四边形的性质得BO=DO，所以OE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
解答：解：在?ABCD中，AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，
∵点E是边BC的中点，
所以OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=2．
故选A．
点评：本题利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理求解，需要熟练掌握．
20、如图，D，E分别是△ABC的边AC和BC的中点，已知DE=2，则AB=（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
二、填空题（共5小题）
21、如图，一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第2个三角形，第2个三角形的三条中位线组成第3个三角形，照上述方法继续做下去，则第6个三角形的周长为 ．
考点：规律型：图形的变化类；三角形中位线定理。
分析：先从具体图形中找到规律，三角形三边中点为顶点组成的一个新的三角形的三边是原三角形三边的中位线，故两三角形相似，根据三角形的中位线定理，相似比为1：2．
解答：解：由于三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半，三条中位线组成的三角形的周长是原三角形的周长的一半，依此类推，第6个三角形的周长为1×××××=．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，寻找周长之间的规律是解题的关键．
22、如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是 （，） ．
考点：坐标与图形性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理。
专题：规律型。
分析：这一系列三角形趋向于一个点M．这个点就是△ABC的重心，因而点M的坐标是（，），即（，）
解答：解：由题可知，M是△ABC的重心，点M的坐标是（，），即（，）．
点评：理解点M就是三角形的重心是解决本题的关键．
23、如图，在△ABC中，AB=AC=6，中线CE=5．延长AB到D使BD=AB．则CD= 10 ．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理。
分析：取AC的中点F，连接BF，根据中点的性质可得到AE=AF，再根据SAS判定△ABF≌△ACE，由全等三角形的对应边相等可得到BF=CE，再利用三角形中位线定理得到DC=2BF，即证得了DC=2CE．
解答：解：取AC的中点F，连接BF，
∵AB=AC，点E，F分别是AB，AC的中点，
∴AE=AF，
∵∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴BF=CE，
∵BD=AB，AF=CF，
∴DC=2BF，
∴DC=2CE=10．
故答案为10．
点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是运用SAS证明△ABF≌△ACE，此题还考查等腰三角形的性质及三角形中位线定理的综合运用．
24、如图，在△ABC中，F、G是BC边上两点，使∠B、∠C的平分线BE、CD分别垂直AG，AF（E、D为垂足）．若△ABC的周长为22，BC边长为9，则DE的长为 2 ．
解和掌握，能根据这些性质证出DE=FG和AC=CF、AB=BG是解此题的关键．
25、已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，点E是BC边的中点，AB=8，AC=12，则DE长为 2 ．
考点：角平分线的性质；三角形中位线定理。
专题：计算题。
分析：延长BD交AC于F，易证AB=AF，BD=BF，则DE是△BCF的中位线，求CF即可．
解答：解：延长BD交AC于F，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，
∴AB=AF=8，BD=BF，
∵BE=CE，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=CF，
∵CF=AC﹣AF=12﹣8=4，
∴DE=2．
点评：此题考查等腰三角形的判定和性质，以及三角形中位线的性质，作辅助线是关键．
三、解答题（共5小题）
26、如图．已知H是△ABC的垂心，O是外心，OL⊥BC于L．求证：AH=2OL．
考点：三角形的五心；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：分析1：要证AH=2OL，由△CAH中的中位线，转而证明MK=OL即可．由于OL∥AH，MK∥AH，所以OL∥MK，
因此，只需证明LK∥OM即可．由已知，这是显然的．
分析2：因为O为△ABC的外心，故可作其外接圆，为了证明AH=2OL，可证AH等于另一线段a，而a=2OL，则AH=2OL．为此，需添加一些辅助线：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，AD即可证得．
解答：证明：证法1：作OM⊥AC于M，取CH的中点K，连接MK，LK，
则有MK∥AH∥OL，LK∥BH∥OM，
∴四边形OLKM为平行四边形，
∴MK=OL．又，
∴AH=2OL．
证法2：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，AD，则CD=2OL．
又∵CD⊥BC，AH⊥BC，
∴AH∥CD．
同理，AD∥HC，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴AH=CD，
∴AH=2OL．
点评：此题考查了三角形的垂心与外心的性质．解此题要注意数形结合思想的应用，合理添加辅助线是解此题的关键．
27、如图，在平面坐标系中有一正三角形ABC，A（﹣8，0）、B（8，0），直线l经过原点O及BC的中点D，另一动直线a平行于y轴，从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线a分别交线段BC、直线l于点E、F，以EF为边向左侧作等边△EFG，设△EFG与△ABC重叠部分的面积为S（平方单位），当点G落在y轴上时，a停止运动，设直线a的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出：C点坐标 （0，8） ，直线l的解析式： y=x ．
（2）请用含t的代数式表示线段EF；
（3）求出S关于t的函数关系式及t的取值范围．
考点：一次函数综合题；待定系数法求正比例函数解析式；三角形的面积；勾股定理；三角形中位线定理。
专题：计算题。
分析：（1）由勾股定理求出OC，得到C的坐标，根据三角形的中位线定理得出D的坐标，设直线l的解析式是y=kx，把D的坐标代入即可求出解析式；
（2）OP=t，则BP=8﹣t，根据勾股定理求出EP和FP即可求出EF；
（3）当EF在y轴时，t=0；当G落在y轴时，a停止运动，此时t=3即可得到t的范围；当G落在AC边上时，t=2，当0≤t＜2时，重叠部分为四边形，根据三角形的面积公式即可求出S=﹣3t2+24；当2≤t≤3时，重叠部分就是三角形GEF，根据三角形的面积公式即可求出S．
解答：解：（1）∵等边△ABC，AC﹣AB=8+8=16，
∴由勾股定理得：OC===8，
∴C点坐标（0，），
设直线l的解析式是y=kx（k≠0），
∴D的坐标是（4，4）
把D点的坐标代入得：k=，
直线l的解析式：y=x，
故答案为：（0，8），y=x．
（2）解：OP=t，则BP=8﹣t，
在Rt△OPF中，∠FPO=60°∴PF=t，
在Rt△EPB中，∠PBE=60°∴EP=（8﹣t），
∴EF=EP﹣FP=（8﹣t）﹣t=8﹣2t，
答：用含t的代数式表示线段EF为：8﹣2t．
（3）解：当EF在y轴时，t=0；
当G落在y轴时，a停止运动，此时t=3
∴t的取值范围是：0≤t≤3，
当G落在AC边上时，t=2，
当0≤t＜2时，重叠部分为四边形，S=﹣3t2+24，
当2≤t≤3时，重叠部分就是三角形GEF，S=S△GEF=3（4﹣t）2．
答：S关于t的函数关系式是S=﹣3t2+24或S=3（4﹣t）2，t的取值范围是0≤t≤3．
点评：本题主要考查对三角形的面积，一次函数的性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，难度适中．
28、如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点．求证：MN∥AD．
考点：平行线的判定；角平分线的定义；三角形中位线定理。
分析：连接BE，记BE中点为F，连接FN、FM，首先根据三角形中位线定理证明FN=FM，再证明∠2=∠5，即可根据同位角相等两直线平行证出结论．
考点：三角形的重心；三角形中位线定理。
分析：此题是三角形重心性质的证明，设AX，BY交于一点G，作AG，BG中点D，E，根据中位线定理求得四边形DEXY为平行四边形，所以GD=DA=GX，GY=GE=EB，所以AG：GX=2：1，BG：GY=2：1；同理，设BY与CZ相交于一点G′，证明G′与G重合即可．
解答：证明：设AX，BY交于一点G，连接AG，BG中点D，E．
∵X，Y分别是BC，AC的中点，
∴XY∥DE且XY=DE，
∴四边形DEXY为平行四边形，
∴GD=DA=GX，GY=GE=EB，
∴AG：GX=2：1，BG：GY=2：1．
同理，若BY与CZ相交于一点G′，必有BG′：G′Y=2：1，G′C：G′Z′=2：1，
∴G′与G重合，
∴AX，BY，CZ相交于一点G，并且AG：GX=2：1．
点评：此题考查三角形重心性质的证明，先设相交于不同点，再证明点重合是基本思路．
30、已知两直线于交Q点，A，B，C是一直线上的三个点，L，M，N是另一直线上的三个点，且QA=AB=BC，LQ=QM=MN．求证：AL，BN，CM三线共点．
考点：三角形的重心；三角形中位线定理。
专题：证明题。
分析：连MA，LC．设BN和CM交于P．根据中位线定理，在△QBN中，可知MA∥BN；在△CMA中，AB=BC，BP∥MA，
所以P在BN上，P为CM的中点；在△CML中，根据重心的概念和性质可证A为△CML的重心，即LA过点P．即可得证．
