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5.3 正方形(1)（讲练互动）21cnjy
姓名班级21世纪教育网
【要点预习】
1.正方形的概念：
有一组邻边，并且有一个角是的平行四边形叫做正方形.
2.正方形的判定定理：
有一组邻边的矩形叫做正方形.
【课前热身】
1.（肇庆中考)一个正方形的对称轴共有………………………………………………（ ）
A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是…………………………………………………（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
3.（郴州中考)已知四边形ABCD中，，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________.21世纪教育网版权所有
4. 正方形的面积为64cm2，则它的对角线交点到一边的距离为_______cm.
【讲练互动】
【例1】如图，四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判别此四边形是正方形的是………………………………………………………………（ ）
A.AC=BD，AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∠A=∠C
C.AO=CO，BO=DO，AB=BCD.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
【绿色通道】判定一个四边形是平行四边形共有三种方法：一是平行四边形加直角加邻边相等；二是矩形加邻边相等；三是菱形加直角.21教育网
【变式训练】
1. 下列说法中，正确的是………………………………( )
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形
【例2】已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．
【变式训练】
2.如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连结AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F. 21cnjy.com
求证：BF=CE.
【例3】已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点.
(1)求证：四边形为矩形；
(2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明.
【变式训练】
3.如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.21·cn·jy·com
（1）求证AE=BF；
（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长.
参考答案
【课前热身】
( http: / / www.21cnjy.com )【讲练互动】
( http: / / www.21cnjy.com )答案：D
【例2】已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠DCF=90°
( http: / / www.21cnjy.com )(1)证明：在中，．
∴．
是外角的平分线，∴．
∴．
又，∴，
∴四边形为矩形．
(2)例如，当时，四边形是正方形．
证明：于．
∴，∴．
由(1)四边形为矩形，∴矩形是正方形．
( http: / / www.21cnjy.com )
A
E
B
C
F
D
1
2
3
A
E
B
C
F
D
1
2
3
21世纪教育网 www.21cnjy.com精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com精品资料·第 1 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
5.3 正方形（1）（巩固训练）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
基础自测
1. 正方形、菱形、矩形都具有的性质是……………………………………………………（ ）
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相升起垂直 D.对角线平分一组对角
2.正方形内有一点A，到各边的距离从小到 ( http: / / www.21cnjy.com )大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是……………………………………………………………………（ ）
Ａ.10 Ｂ.20 Ｃ.24 Ｄ.25 21cnjy.com
3.如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线 于点，连接，则图中全等三角形共有（ ）21·cn·jy·com
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
( http: / / www.21cnjy.com )
4.(新疆中考)如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪切线与折痕所成的角的大小等于（ ）www.21-cn-jy.com
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如图，正方形的边长为2，则该正方形绕点逆时针旋转45°后，点的坐标为 .
6.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC＝ 度. 21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
7.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）.
8．如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2.
9.如图，正方形中，与分别是、上一点.在①，②∥，③中，请选择其中一个条件，证明.【版权所有：21教育】
(1)你选择的条件是 （只需填写序号）；
(2)证明：
10.已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于.
(1)求证：；
(2)将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由.
能力提升
11.(德州中考)将一正方形纸片按下列顺序 ( http: / / www.21cnjy.com )折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形. 将纸片展开，得到的图形是………………………………………………（ ）
12.如图，将边长为8cm的正方形纸片AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是…………………………………………………（ ）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
( http: / / www.21cnjy.com )
13.如图，四边形，，都是正方形，边长分别为；五点在同一直线上，则 （用含有的代数式表示）.
14.如图，点O（0，0) ( http: / / www.21cnjy.com )，B(0，1)是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB 2B3C 1，……，依次下去.则点B 6的坐标是________________.21·世纪*教育网
15.已知直角梯形中，，，，是的中点.
（1）求证：四边形是正方形.
（2）求的度数.
16.如图1，四边形ABCD是正方形， ( http: / / www.21cnjy.com )G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： 2-1-c-n-j-y
①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断.【来源：21cnj*y.co*m】
创新应用
17.已知：正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )顺时针旋转，它的两边分别交 ( http: / / www.21cnjy.com )（或它们的延长线）于点 ( http: / / www.21cnjy.com ).
当 ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转到 ( http: / / www.21cnjy.com )时（如图1），易证 ( http: / / www.21cnjy.com ).
（1）当 ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转到 ( http: / / www.21cnjy.com )时（如图2），线段 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.
（2）当 ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转到如图3的位置时，线段 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.
参考答案
基础自测
( http: / / www.21cnjy.com )答案：C
4.(2007新疆中考)如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪切线与折痕所成的角的大小等于（ ）21世纪教育网版权所有
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：B
5.如图，正方形的边长为2，则该正方形绕点逆时针旋转45°后，点的坐标为 .
答案：(0，)
6.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC＝ 度.21教育网
答案：105
7.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）.2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )(2)证明：∵是正方形，∴，．
又∵，∴△≌△．∴．
10.已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于.
(1)求证：；
(2)将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由.
(1)证明：∵四边形为正方形，
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90° .
∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE.
(2)答：四边形E′BGD是平行四边形
理由：∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE＝AE′，∵CG＝CE，∴CG＝AE′，∵AB＝CD，AB∥CD，
∴BE′＝DG，BE′∥DG，∴四边形E′BGD是平行四边形.
能力提升
( http: / / www.21cnjy.com )答案：A
13.如图，四边形，，都是正方形，边长分别为；五点在同一直线上，则 （用含有的代数式表示）.【来源：21·世纪·教育·网】
解析：由∠BCN+∠BNC=90° ( http: / / www.21cnjy.com )=∠BNC+∠EHN得∠BCN=∠ENH，于是易证得△BCN≌△ENH，得BN=EH=b，于是由CN2=BC2+BN2，得c2=a2+b2.
答案：a2+b2
14.如图，点O（0，0)，B(0 ( http: / / www.21cnjy.com )，1)是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB 2B3C 1，……，依次下去.则点B 6的坐标是________________.www-2-1-cnjy-com
解析：由勾股定理依次可求得：OB1=，OB2=2=，OB3=，…，OB6== 8，且B6点在x轴的负半轴上，故B6(-8，0).【出处：21教育名师】
答案：(-8，0)
( http: / / www.21cnjy.com )
解：(1)①.
②仍然成立.
在图（2）中证明如下：
∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，90°，∴.
∴（SAS），∴，.
又∵，=90°，
∴90°，∴90°，∴.
创新应用
17.已知：正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )顺时针旋转，它的两边分别交 ( http: / / www.21cnjy.com )（或它们的延长线）于点 ( http: / / www.21cnjy.com ).
当 ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转到 ( http: / / www.21cnjy.com )时（如图1），易证 ( http: / / www.21cnjy.com ).
（1）当 ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转到 ( http: / / www.21cnjy.com )时（如图2），线段 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.
（2）当 ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转到如图3的位置时，线段 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.
解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )成立.
如图，把 ( http: / / www.21cnjy.com )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )顺时针90°，得到 ( http: / / www.21cnjy.com ).
∵∠ABE=∠D=90°，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠ABC=180°，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )三点共线.
∵∠DAN+∠BAM=∠BAD-∠MAN=90°-45°=45°，
又∵∠BAE=∠DAN，∴ ( http: / / www.21cnjy.com ).
∵AE=AN，AM=AM，∴ ( http: / / www.21cnjy.com ).
∴ME=MN.
∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN.
（2） ( http: / / www.21cnjy.com ).
C
B
A
O
y
x
A
B
C
D
C
F
A
B
D
E
1
2
A
B
C
D
E
F
G
A．
B．
C．
D．
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｂ
图1
图2
图3
B
B
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B
C
N
C
N
M
C
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M
图1
图2
图3
A
A
A
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D
D
C
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A
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y
x
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C
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E
A
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B
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A
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F
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a
D
C
B
A
M
c
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E
F
b
G
H
图1
图2
图3
图1
图2
图3
B
B
M
B
C
N
C
N
M
C
N
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
B
M
E
A
C
N
D
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新浙教版数学八年级（下）
5.3 正方形（1）
矩 形
正方形
〃
〃
矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢
探究（一）
菱 形
∟
∟
∟
∟
正方形
探 究（二）
菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢
探究小结
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正方形
如何来给正方形下定义？
正方形的定义
由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形。如图(1)。
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形既是特殊的菱形，又是特殊的矩形，
正方形有那些性质
正方形性质:
边: 对边平行
四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线： 相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角。
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形的判定
有一组邻边相等并且有一个角
是直角的平行四边形叫做正方形.
矩 形
菱 形
正方形
有一组邻 边相等
有一个角是直角
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角互补.
D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
B
D
1.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，则AC= ,
正方形的面积S=______.
2
2
900
4
6
36
2.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6 cm，
面积S=________.则边长AB＝______,
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
定义法
菱形法
矩形法
有一个角是直角的菱形是正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
随堂检测
1. 下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形（ ）
√
√
√
×
×
2. 正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线______________________ .
相等
相等
相等且互相垂直
满足下列条件的四边形是不是正方形：
1、对角线互相垂直且相等的平行四 边形；
2、对角线互相垂直的矩形；
3、对角线相等的菱形；
4、对角线互相垂直平分且相等的四 边形。
例：已知：如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，AF、BG、CH、DE分别相交于点A’、B’、C’、D’，求证：四边形A’B’C’D’是正方形.
拓展延伸
若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，则四边形是正方形吗 证明你的结论.
合作交流
已知:正方形ABCD中，点E、F 、 G 、 H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，试判断四边形EFGH是正方形吗 为什么
下列说法对吗
（1）四个角都相等的四边形是正方形.
（2）四条边都相等的四边形是正方形.
（3）对角线相等的菱形是正方形.
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形.
（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形.
（6）四边相等,有一角是直角的四边形是正方形.
(7) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
(8)正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴.
错误
错误
正确
正确
正确
错误
正确
错误
已知:如图，正方形ABCD和CEFG，点K在BC上，延长CD到H使DH＝CE＝BK.
求证：四边形AKFH是正方形．
如图，在矩形ＡＢＣＤ中，四个角的平分线相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ，试说明四边形EFGH是正方形。
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
有一个直角
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个直角
请在下图中填上各种图形名称和转化条件:
有一组邻边相等且有一个角是直角
两组对边
分别平行
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
