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5.3 正方形(2)（讲练互动）21cnjy
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【要点预习】
1.正方形的概念：
有一组邻边，并且有一个角是的平行四边形叫做正方形.
2.正方形的性质：
正方形的四个角都是，四条边;
正方形的对角线，并且互相垂直，每条对角线平分一组.
【讲练互动】
例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？2·1·c·n·j·y
例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，如图，若折痕EF长为，求另一边长．21·世纪*教育网
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例3 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，垂足为M，AM=AB，则有EF=BE+DF，为什么？21世纪教育网版权所有
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例4 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠C=30°，求AD：BC的值．
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例5 如图，在矩形ABCD中，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，求PE+PF的长．21·cn·jy·com
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参考答案
( http: / / www.21cnjy.com ) 代入AE2=AO2+OE2得，
（）2=（）2+（）2．
即x4+25x2-150=0．解之得，x2=5，x2=-30（舍去）
∴x=．
例3 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，垂足为M，AM=AB，则有EF=BE+DF，为什么？21cnjy.com
分析要说明EF=BE+DF ( http: / / www.21cnjy.com )，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．【来源：21·世纪·教育·网】
理由：连结AE、AF．
由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，
∴△ABE≌△AME．
∴BE=ME．
同理可得，△ADF≌△AMF．
∴DF=MF．
∴EF=ME+MF=BE+DF．
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例5 如图，在矩形ABCD中，已知AD=1 ( http: / / www.21cnjy.com )2，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，求PE+PF的长．21教育网
分析 连结PO，则PE、PF可分别看作是OD、OA边上的高，而OA=OD，故只需求出△AOP、△DOP的面积即可．www.21-cn-jy.com
解：连结OP．
由矩形ABCD，AD=12，AB=5．
∴AC=BD=2OA=2OB=13．
∴OA=OD=6．5．
而S矩形=12×5=60．
∴S△AOD=×60=15．
∴S△AOP +S△DOP =15．
即×OA×PF+×OD×PE=15．
∴×6.5×（PE+PF）=15．
∴PE+PF=．
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5.3 正方形（2）（巩固训练）21cnjy
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1、如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M，N.21cnjy.com
(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.
2、已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）：21·cn·jy·com
（1）连接____________ ；
（2）猜想：______________＝_______________；
（3）试证明你的猜想.
3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出图中和BE相等的线段，并说明你的结论.www.21-cn-jy.com
4、如图，在矩形中，是边上一点，的延长线交的延长线于点，⊥，垂足为，且．
（1）求证：；
（2）根据条件请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．
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5、已知：如图，在△ABC中，，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线，交AC于点P，交AB于点Q.21世纪教育网版权所有
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.
6、已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.21教育网
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD∶AB＝ 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
参考答案
( http: / / www.21cnjy.com )2、分析：观察图形可知应该是连接AF，可通过证△ABF和△ADE全等来实现．
解：（1）如图，连接AF.
（2）.
（3）∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∴ ∠∠，
∴ ∠∠.
在△ABF和△ADE中，
∴ △ABF≌△ADE，∴ ．
3、解：和BE相等的线段是AF.理由如下：
因为四边形ABCD是正方形，
所以，∠∠°.
因为CE⊥BF，所以∠∠°.
又因为∠∠°，
所以∠∠.
在△AFB和△BEC中，
所以△≌△，所以.
( http: / / www.21cnjy.com )∴ 四边形APMQ是平行四边形，∠∠，∠∠．
∵ ，∴ ∠∠，
∴ ∠∠，∠∠．
∴ ，．
∴ 四边形AQMP的周长．
（2）当点M是BC的中点时，四边形APMQ是菱形，理由如下：
∵ 点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，
∴ QM，PM是三角形ABC的中位线．
∵ ，∴ ．
又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，
∴ 平行四边形APMQ是菱形．
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新浙教版数学八年级（下）
5.3 正方形（1）
平行四边形再认识
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
⑵并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）
两层含义
正方形
换句话：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等的矩形叫做正方形
正方形定义:
正方形再认识
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
各平行四边形关系再认识
对称性
特征
正方形是中心对称图形,对称中心为点O
它也是轴对称图形,有4条对称轴
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
性 质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD
是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
45°
正方形
12cm
2a+1
1.正方形的一边和对角线的夹角为___________.
2.如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是_________.
3.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _______________.
4.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了__________.
O
A
B
C
D
7.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF =8cm，则AC=________.
5.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.
5
30°
16cm
6.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.
P
A
B
C
D
E
F
O
E
A
B
C
D
M
A
B
C
D
E
F
O
分析
8. 已知正方形ABCD的边AB长2cm，求这个正方形的周长、对角线长和它的面积．
解:①这个正方形的周长=4AB=4×2=8cm;
②这个正方形的对角线长=√8 cm (勾股定理);
③这个正方形的面积=AB×AB=2×2=4(平方厘米)
正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角互补.
D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
B
D
√
√
√
×
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ ）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
是正方形（ ）
√
3．下列说法对吗
4 ．如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，点M、N分别在AC、BD上，且AM=BN.
求证：BM＝CN.
变式:若将AM=BN改为
MN∥AB,则BM和CN还相等吗
5 . 已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形EFGH是正方形吗 为什么
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
变式:若点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,则四边形EFGH还是正方形吗 为什么
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
6 . 在Rt△ABC中∠C=90，∠A，∠B的平分线相交于点D，DF⊥BC交BC于点F，DE⊥AC交AC于点E.
求证：四边形CEDF是正方形.
F
D
C
B
E
A
G
1．已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2，则AC= ,
正方形的面积S=______.
4
2 ．如图(6)，△ABC的外面作
正方形ABDE和ACFG，
连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
分析：欲证∠CEA＝∠ABG，
想一想证明两个角相等的方法，
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
3.在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E，F。
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
1、ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测量EC=50m，EB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？
A
D
B
C
E
综合运用:
2、设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
综合运用:
3、正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F
求证：(1)OE = OF
E
A
B
C
D
O
G
F
(2)若E是OB的延长线上的一点,OE = OF还成立吗
E
A
B
C
D
O
G
F
数学知识：
1、正方形定义：有四个角相等，且四条边相等的四边形叫做正方形。
2、正方形性质:
边: 对边平行，四边相等；
角: 四个角都是直角；
对角线: 相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
对称性: 既是中心对称图形，又是轴对称图形。
3、正方形判定:
数学方法：
转化为三角形的问题
数学思想：
转化思想,类比思想，一般到特殊的思想……
