矩形的判定
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知?ABCD中，M是CD的中点，且AM=BM，则四边形ABCD一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、不能确定
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定。
分析：可根据已知条件得到△AMD≌△BCM，所以∠D=∠C=90°，所以?ABCD是矩形．
解答：解：∵?ABCD
∴AD=BC
∵M是CD的中点
∴DM=CM
又AM=BM
∴△AMD≌△BCM
∴∠D=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠C=∠D=90°，
∴?ABCD是矩形．
故选A．
点评：本题应用的知识点为：矩形的判定，是基础知识要熟练掌握．
2、下列图形：①等腰三角形（底与腰不等），②等边三角形，③矩形，④菱形，其中能用两个全等的含有30°角的直角三角形纸板拼成的图形有（ ）
A、①② B、①②③
C、①④ D、①②③④
考点：等腰三角形的判定；等边三角形的判定；矩形的判定。
专题：操作型。
分析：根据直角三角形的特殊性和等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形的概念可知．
解答：解：①可以让两条短直角边重合，另一条直角边在一条直线上；
②可以让两条较长的直角边重合，两条短直角边在一条直线上；
③可以让两条斜边重合，两条相等的直角边分别是两组对边；
④不能拼成．
故选B．
点评：此题考查了学生的拼图能力，同时注意此直角三角形的特殊性．
3、如图，已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB等于（ ）
A、12 B、13
C、14 D、15
考点：勾股定理；矩形的判定。
分析：如图，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，过点P作PF⊥AA1，交AA1于点D，交BB1于点F，延长BP交AA1于点C，作CG⊥BB1，交BB1于点G，然后根据矩形和直角三角形的性质求解．【来源：21·世纪·教育·网】
解答：解：如图，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，
∴AA1∥PP1∥BB1，
过点P作PF⊥AA1，交AA1于点D，交BB1于点F，延长BP交AA1于点C，作CG⊥BB1，交BB1于点G，
∴四边形DFB1A1，DPP1A1，FPP1B1，FDGC，CGB1A1是矩形，
∴DA1=PP1=FB1=16，CG=A1B1=12，
∵AA1∥BB1，
∴∠B=∠ACB，
∵∠A=∠B
∴∠A=∠BCA，
∴AP=CP，
∵PF⊥AA1，
∴点D是AC的中点，
∵AA1=17，
∴AD=CD=17﹣16=1，BF=20﹣16=4，FG=CD=1，BG=4+1=5，
∴BP+PA=BP+PC=BC===13．
故选B．
点评：本题通过作辅助线，构造矩形和直角三角形，利用矩形和直角三角形的性质和勾股定理求解．
4、已知对角线互相垂直的四边形，其对角线长分别为6和8，那么，顺次连接这个四边形各边中点所得到的四边形面积为（ ）2-1-c-n-j-y
A、24 B、
C、12 D、
5、顺次连接梯形四边中点得到的四边形是矩形，则梯形应满足（ ）
A、等腰梯形 B、直角梯形
C、对角线互相垂直 D、对角线相等且垂直
考点：三角形中位线定理；矩形的判定。
分析：已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【出处：21教育名师】
解答：解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形
∵点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形
∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH
∴AC⊥BD
故选C．
点评：此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用．
6、如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（ ）【版权所有：21教育】
A、20 B、40
C、36 D、10
7、如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）21*cnjy*com
A、AB∥DC B、AC=BD
C、AC⊥BD D、AB=DC
考点：矩形的判定。
分析：根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90度．由此推出AC⊥BD．
解答：解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90度．四边形EFGH为矩形．
故选C．
点评：本题考查了矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．难度一般．
8、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A、AB=CD B、AD=BC
C、AB=BC D、AC=BD
9、如图，要使平行四边行ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A、AB=BC B、AC⊥BD
C、∠ABC=90° D、∠1=∠2
考点：矩形的判定；平行四边形的性质。
专题：证明题。
分析：根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．
解答：解：A、是邻边相等，可判定平行四边行ABCD是菱形；
B、是对角线互相垂直，可判定平行四边行ABCD是菱形；
C、是一内角等于90°，可判断平行四边行ABCD成为矩形；
D、是对角线平分对角，可判定平行四边行ABCD是菱形．
故选C．
点评：本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．21cnjy.com
10、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）
A、矩形 B、直角梯形
C、菱形 D、正方形
考点：矩形的判定；三角形中位线定理。
分析：根据四边形对角线互相垂直，运用三角形中位线平行于第三边证明四个角都是直角，判断是矩形．
解答：解：如图：∵E、F、G、H分别为各边中点
∴EF∥GH∥DB，EF=GH=DB
EH=FG=AC，EH∥FG∥AC
∵DB⊥AC
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形．
故选A．
点评：本题考查的是三角形中位线定理的性质，比较简单，也可以利用三角形的相似，得出正确结论．
11、下列命题中错误的是（ ）
A、平行四边形的对边相等 B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C、矩形的对角线相等 D、对角线相等的四边形是矩形
12、平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A、AB=BC B、AC=BD
C、AC⊥BD D、AB⊥BD
考点：矩形的判定；平行四边形的性质。
专题：证明题。
分析：根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．
解答：解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；
B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；
D、无法判断．
故选B．
点评：本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．
13、如图，在平行四边行ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边行ABCD是矩形的是（ ）
A、AC=BD B、AC⊥BD
C、AC=BD且AC⊥BD D、AB=AD
14、?ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A、AB=AD B、OA=OB
C、AC=BD D、DC⊥BC
考点：矩形的判定；平行四边形的性质。
分析：矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
解答：解：根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）可得
DC⊥BC可证四边形ABCD是矩形．故D不正确．
矩形的对角线相等且相互平分，OA=OB，AC=BD可证四边形ABCD为矩形，故B不正确，C不正确．
AB=AD时，可证四边形ABCD为菱形，不能证四边形ABCD为矩形．故A正确．
故选A．
点评：本题考查的是矩形的判定定理以及平行四边形的判定和性质，难度一般．
15、若顺次连接四边各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A、等腰梯形 B、对角线相等的四边形
C、平行四边形 D、对角线互相垂直的四边形
考点：矩形的判定；三角形中位线定理。
分析：由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形． 21*cnjy*com
解答：解：由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直．
故选D．
点评：本题考查的是矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形为矩形），难度一般．
16、顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是（ ）
A、平行四边形 B、菱形
C、矩形 D、正方形
考点：矩形的判定。
分析：本题画出辅助线，连接AC、BD，证明连接菱形的各边中点所得到的是平行四边形，再证平行四边形的一个角为直角即可．
解答：解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD为菱形，E、F、H、G为菱形边上的中点，
∴EH∥FG，EF∥HD，
∴四边形EHGF为平行四边形．
根据菱形的性质可得菱形的对角线互相垂直，
故∠EFG=∠AOD=90°
所以四边形EHGF为矩形．
故选C．
点评：本题考查的是矩形的判定定理以及菱形的判定．考生应熟记书本上的内容，难度一般．
17、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A、测量对角线是否相互平分 B、测量两组对边是否分别相等
C、测量一组对角线是否都为直角 D、测量其中三角形是否都为直角
18、如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A、一组对边平行而另一组对边不平行 B、对角线相等
C、对角线互相垂直 D、对角线互相平分
考点：矩形的判定；三角形中位线定理。
分析：根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形，再由矩形的判定定理可求解．
解答：解：连接AC．
根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH一定是平行四边形．
要使它成为矩形，只需有一个角是直角．根据平行线的性质，显然只需四边形的对角线互相垂直即可．
故选C．
点评：能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．掌握这些结论，以便于运用．2·1·c·n·j·y
19、下列命题中，正确的是（ ）
A、平行四边形是中心对称图形，也是轴对称图形 B、两边和一角对应相等的两个三角形必全等
C、顺次连接菱形各边中点的四边形是矩形 D、有公共点的两个圆最多只有两条公切线
考点：矩形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的性质。
专题：证明题。
分析：根据矩形的对角线相等平分和平行四边形是中心对称图形的性质判断．
解答：解：A、平行四边形是中心对称图形，错误．
B、不一定全等，错误．
C、顺次连接菱形各边中点的四边形是矩形，正确．
D、有公共点的两个圆最多只有四条公切线．错误．
故选C．
点评：本题综合考查了矩形、全等三角形、平行四边形的性质与判定，针对各个易错点，应在做题过程中熟练掌握．
20、如图，顺次连接四边形AB的各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，可使四边形EFGH为矩形的是（ ）21教育名师原创作品
A、AB=CD B、AC=BD
C、AC⊥BD D、AD∥BC
考点：矩形的判定；三角形中位线定理。
分析：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形或有三个角是直角的四边形是矩形判断．
解答：解：新四边形的各边垂直，都平行于原四边形对角线，那么原四边形的对角线也应垂直．
故选C．
点评：本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与原四边形各边的位置关系．
二、填空题（共5小题）
21、平面内有三点A（2，2），B（5，2），C（5，）．请确定一个点D，使ABCD成为长方形的四个顶点，则点D的坐标是 （2，） ．
考点：坐标与图形性质；矩形的判定。
分析：A，B两点的纵坐标相同，则AB平行于x轴；
B，C两点的横坐标相同，因而BC平行于y轴，因而直线AB与BC的交点即为D．
解答：解：所知三点的横坐标里有2个5，1个2，那么第四点的横坐标为2，
同理可得第四点的纵坐标为．
故答案为（2，）
点评：用到的知识点为：矩形的邻边垂直，对边平行．本题画出图后可很快求解．
22、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．则四边形= ．21世纪教育网版权所有
考点：三角形中位线定理；矩形的判定。
专题：规律型。
分析：根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答：解：∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是．
故答案为：．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
23、如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 平行四边形 ，根据的数学道理是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
（3）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是 矩形 ，根据的数学道理是 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ．
考点：平行四边形的判定；矩形的判定。
分析：此题主要考查平行四边形，矩形的判定问题，掌握其判定定理，即可作答．
解答：解：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
矩形；由一个叫是直角的平行四边形是矩形．
点评：熟练掌握平行四边形及矩形的判定．
24、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤：
①先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图Ⅰ），使AB=CD，EF=GH；
②摆放成如图Ⅱ的四边形，则这时窗框的形状是 平行四边形 形，根据的数学原理是 两对边分别相等的四边形为平行四边形 ．
③将直角尺靠窗框的一个角如图Ⅲ，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗杠无缝隙时如图Ⅳ，说明窗框合格，这时窗框是 矩 形，根据的数学原理是： 一个角为直角的平行四边形为矩形 ．
考点：平行四边形的判定；矩形的判定。
专题：应用题。
分析：根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，即可得出②的结论，当把一个角变为直角时，根据一个角为直角的平行四边形为矩形即可得出③的结论．
解答：解：②：如图所示：
∵AB=CD，EF=GH，
∴四边形为平行四边形．（两组对边相等的四边形为平行四边形）
③如图所示：
有②知四边形为平行四边形，
∵∠C为直角，
∴四边形为矩形．（一个角为直角的平行四边形为矩形）
点评：本题考查了平行四边形和矩形的判定，平行四边形判定方法有：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
25、如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 ∠ABC=90°或AC=BD ，可使它成为矩形．
考点：矩形的判定；平行四边形的性质。
专题：开放型。
分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．
解答：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．
点评：此题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．
三、解答题（共5小题）
26、如图．在△ABC中，D是AB的中点．E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：DB=CF；
（2）如果AC=BC．试判断四边彤BDCF的形状．并证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定。
专题：证明题。
分析：（1）根据CF∥AB，可知∠DAE=∠CFE，得出△ADE≌△FCE，再根据等量代换可知DB=CF，
（2）根据DB=CF，DB∥CF，可知四边形BDCF为平行四边形，再根据AC=BC，AD=DB，得出四边形BDCF是矩形．
27、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；
（1）证明：EF=EA；
（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．
考点：全等三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定。
专题：证明题。
分析：（1）求简单的线段相等，可证它们所在的三角形全等，即证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由（1）知FE=EA，若EG⊥AF，则△AGF必为等腰三角形，因此可连接AG，证AG=GF；
易知四边形ABGD是矩形，则AG=BD=DC，AD=BG；由（1）知：AD=CF=BG，即可证得AG=FG=BC，进而可根据等腰三角形三线合一的性质得出所求的结论．21·cn·jy·com
解答：（1）证明：
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．
∵E为CD的中点，
∴ED=EC．
∴△ADE≌△FCE．
∴EF=EA．（5分）
（2）解：连接GA，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB=90°．
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD是矩形．
∴BG=AD，GA=BD．
∵BD=BC，
∴GA=BC．
由（1）得△ADE≌△FCE，
∴AD=FC．
∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．
∵由（1）得EF=EA，
∴EG⊥AF．（5分）
点评：此题综合考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，综合性强，难度较大．21教育网
28、如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF，∠F=∠CDE．
（1）求证：AB=CD；
（2）连接AE，若AE=DE，求证：四边形ABCD是矩形．
由（1）知AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（4分）
由△BEF≌△CED，得EF=DE．
∵AE=DE，
∴AE=EF．
∵AB=BF，
∴EB⊥AF．（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∴∠ABF=90°．（6分）
∴?ABCD是矩形．（7分）
点评：此题主要考查了三角形的全等的证明以及平行四边形的性质和矩形的证明方法，此题综合性较强注意知识之间的联系．www-2-1-cnjy-com
29、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB．
证明：（1）AE=DC；
（2）四边形ADCE为矩形．
考点：等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定。
分析：（1）等腰三角形的三线合一，可证明BD=CD，因为AE∥BC，DE∥AB，所以四边形ABDE为平行四边形，所以BD=AE，从而得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
（2）先证明四边形ADCE为平行四边形，再证明有一个角是直角即可．
解答：证明：（1）在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，（1分）
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，（2分）
∴BD=AE，（3分）
∵BD=DC，
∴AE=DC．（4分）
（2）解法一：∵AE∥BC，AE=DC，
∴四边形ADCE为平行四边形．（5分）
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE为矩形．（6分）
点评：本题考查了等腰三角形的性质三线合一，以及平行四边形的判定和性质，矩形的判定定理等知识点．
30、如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）在△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；
（3）对于任意△ABC，四边形ADEF是否总存在？
考点：等边三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；www.21-cn-jy.com
（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；21·世纪*教育网
（3）不一定，当∠BAC=60°时不存在．
解答：证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠ABE，AB=BD，BC=BE．
∴△ABC≌△DBE．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）不一定，当∠BAC=60°时不存在四边形ADEF．
点评：本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识．
矩形的判定
一、选择题（共20小题）
1、已知?ABCD中，M是CD的中点，且AM=BM，则四边形ABCD一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、不能确定
2、下列图形：①等腰三角形（底与腰不等），②等边三角形，③矩形，④菱形，其中能用两个全等的含有30°角的直角三角形纸板拼成的图形有（ ）21世纪教育网版权所有
A、①② B、①②③
C、①④ D、①②③④
3、如图，已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB等于（ ）
A、12 B、13
C、14 D、15
4、已知对角线互相垂直的四边形，其对角线长分别为6和8，那么，顺次连接这个四边形各边中点所得到的四边形面积为（ ）【出处：21教育名师】
A、24 B、
C、12 D、
5、顺次连接梯形四边中点得到的四边形是矩形，则梯形应满足（ ）
A、等腰梯形 B、直角梯形
C、对角线互相垂直 D、对角线相等且垂直
6、如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（ ）21教育网
A、20 B、40
C、36 D、10
7、如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A、AB∥DC B、AC=BD
C、AC⊥BD D、AB=DC
8、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A、AB=CD B、AD=BC
C、AB=BC D、AC=BD
9、如图，要使平行四边行ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A、AB=BC B、AC⊥BD
C、∠ABC=90° D、∠1=∠2
10、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）
A、矩形 B、直角梯形
C、菱形 D、正方形
11、下列命题中错误的是（ ）
A、平行四边形的对边相等 B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C、矩形的对角线相等 D、对角线相等的四边形是矩形
12、平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）www.21-cn-jy.com
A、AB=BC B、AC=BD
C、AC⊥BD D、AB⊥BD
13、如图，在平行四边行ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边行ABCD是矩形的是（ ）2·1·c·n·j·y
A、AC=BD B、AC⊥BD
C、AC=BD且AC⊥BD D、AB=AD
14、?ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A、AB=AD B、OA=OB
C、AC=BD D、DC⊥BC
15、若顺次连接四边各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A、等腰梯形 B、对角线相等的四边形
C、平行四边形 D、对角线互相垂直的四边形
16、顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是（ ）
A、平行四边形 B、菱形
C、矩形 D、正方形
17、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）21·cn·jy·com
A、测量对角线是否相互平分 B、测量两组对边是否分别相等
C、测量一组对角线是否都为直角 D、测量其中三角形是否都为直角
18、如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（ ）21·世纪*教育网
A、一组对边平行而另一组对边不平行 B、对角线相等
C、对角线互相垂直 D、对角线互相平分
19、下列命题中，正确的是（ ）
A、平行四边形是中心对称图形，也是轴对称图形 B、两边和一角对应相等的两个三角形必全等
C、顺次连接菱形各边中点的四边形是矩形 D、有公共点的两个圆最多只有两条公切线
20、如图，顺次连接四边形AB的各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，可使四边形EFGH为矩形的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A、AB=CD B、AC=BD
C、AC⊥BD D、AD∥BC
二、填空题（共5小题）
21、平面内有三点A（2，2），B（5，2），C（5，）．请确定一个点D，使ABCD成为长方形的四个顶点，则点D的坐标是 _________ ．2-1-c-n-j-y
22、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．则四边形= _________ ． 21*cnjy*com
23、如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 _________ ，根据的数学道理是 _________ ．
（3）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是 _________ ，根据的数学道理是 _________ ．21cnjy.com
24、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤：
①先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图Ⅰ），使AB=CD，EF=GH；
②摆放成如图Ⅱ的四边形，则这时窗框的形状是 _________ 形，根据的数学原理是 _________ ．
③将直角尺靠窗框的一个角如图Ⅲ，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗杠无缝隙时如图Ⅳ，说明窗框合格，这时窗框是 _________ 形，根据的数学原理是： _________ ．【版权所有：21教育】
25、如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 _________ ，可使它成为矩形．
三、解答题（共5小题）
26、如图．在△ABC中，D是AB的中点．E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：DB=CF；
（2）如果AC=BC．试判断四边彤BDCF的形状．并证明你的结论．
27、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；
（1）证明：EF=EA；
（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．
28、如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF，∠F=∠CDE．
（1）求证：AB=CD；
（2）连接AE，若AE=DE，求证：四边形ABCD是矩形．
29、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB．
证明：（1）AE=DC；
（2）四边形ADCE为矩形．
30、如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）在△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；
（3）对于任意△ABC，四边形ADEF是否总存在？
矩形的判定与性质
一、选择题（共9小题）
1、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC上的一点，那么点D到AB与AC的距离的和为（ ）
A、5 B、6
C、4 D、
2、如图∠BOP=∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥PB于D，PC=2，则PD的长度为（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
3、已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（ ）21cnjy.com
A、40 B、
C、20 D、
4、下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A、∠A+∠B=90° B、AB∥CD，AB=CD，AC=BD
C、AB∥CD，AD=BC，AC=BD D、AC=BD，∠A=90°
5、顺次连接四边形ABCD的四条边的中点，得到一个矩形，那么（ ）
A、AC=BD B、AC⊥BD
C、AB=CD D、AB⊥CD
6、下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A、对角线相等的四边形是矩形 B、对角线互相平分的四边形是矩形
C、矩形的对角线互相垂直且平分 D、矩形的对角线相等且互相平分
7、如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）21·cn·jy·com
A、2 B、3
C、4 D、4
8、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（ ）
A、7.5 B、7
C、6.5 D、5.5
9、如图，矩形ABCD中，AB=，BC=3，AE⊥BD于E，则EC=（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共10小题）
10、如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于 _________ ．
11、四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=，CD=6，则AD= _________ ．
12、如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，且AB=AD，CB=CD，若四边形ABCD的面积为6cm2，那么四边形EFGH的面积为 _________ cm2．www.21-cn-jy.com
13、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=4cm，BD=6cm，则四边形EFGH的面积是 _________ cm2．2·1·c·n·j·y
14、在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件 _________ 时，四边形PEMF为矩形．www-2-1-cnjy-com
15、如图，AB∥CD，∠A=∠B=90°，AB=3cm，BC=2cm，则AB与CD之间的距离为 _________ cm．
16、在矩形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，点O到两邻边的距离分别是3cm，4cm，则此矩形的周长为 _________ cm．2-1-c-n-j-y
17、如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．则四边形A3B3C3D3的面积 _________ ，四边形AnBnCnDn的面积 _________ ． 21*cnjy*com
18、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 _________ ．【版权所有：21教育】
19、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 _________ ．21世纪教育网版权所有
三、解答题（共11小题）
20、如图，现有边长为a，边长为b的正方形卡片，和长为a，宽为b的长方形卡片各若干张．
（1）用给出的卡片拼成一个长为2a+b．宽为a+2b的长方形，画出拼成后的图形并计算：（2a+b）（a+2b）
（2）用上述卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形，画出拼成后的图形，并尝试对多项式2a2+3ab+b2进行分解因式．【来源：21cnj*y.co*m】
21、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠ADB=30°且，求△ECD的面积．
22、已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC= _________ ；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．【出处：21教育名师】
23、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．21教育名师原创作品
（1）在图1证明：BF=CG；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．证明：DE+DF=CG；21*cnjy*com
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，DE+DF=CG是否仍然成立？若成立说明理由．
24、如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边的中点．在DB上任取一点P，过P作两腰的垂线段PF、PE．连接EF．求证：EF2=2DF2．21·世纪*教育网
25、请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图1，已知△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F．
求证：PE+PF=CD．
证明思路：
如图2，过点P作PG∥AB交CD于G，则四边形PGDE为矩形，PE=GD；又可证△PGC≌△CFP，则PF=CG；所以PE+PF=DG+GC=DC．若P是BC延长线上任意一点，其它条件不变，则PE、PF与CD有何关系？请你写出结论并完成证明过程．
26、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，过点D作DP⊥BC，分别交BA，CA或它们的延长线于点P，Q．
求证：DP+DQ是定值．
27、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P是斜边AB上 （不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，EF的长度是否也会改变？若不变，请你求EF的长度；若有变化，请你求EF的变化范围．21教育网
28、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，过O作EF⊥AC分别交AD、BC于点F、E，若AB=2cm，AC=4cm，BC=，求四边形AECF的面积．【来源：21·世纪·教育·网】
29、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．
30、求证：面积为S的矩形中任意三点（可以在矩形的边界上）组成的三角形面积不超过S．
矩形的判定与性质
答案与评分标准
一、选择题（共9小题）
1、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC上的一点，那么点D到AB与AC的距离的和为（ ）
A、5 B、6
C、4 D、
考点：等腰三角形的性质；平行线的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质。21cnjy.com
分析：作△ABC的高CQ，AH，过C作CZ⊥DE交ED的延长线于Z，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=3，根据勾股定理求出AH，再关键三角形的面积公式求出CQ，由CQ⊥AB，DE⊥AB，CZ⊥DE，得到矩形QEZC，得到CQ=ZE，根据垂直推出CZ∥AB，证出∠ACB=∠ZCB，根据AAS推出△ZCD≌△FCD，推出DF=DZ，根据DE+DF=CQ即可求出答案．www-2-1-cnjy-com
解答：解：作△ABC的高CQ，AH，过C作CZ⊥DE交ED的延长线于Z，
∵AB=AC=5，BC=6，AH⊥BC，
∴BH=CH=3，
根据勾股定理得：AH=4，
根据三角形的面积公式得：BC?AH=AB?CQ，
即：6×4=5CQ，
解得：CQ=，
∵CQ⊥AB，DE⊥AB，CZ⊥DE，
∴∠CQE=∠QEZ=∠Z=90°，
∴四边形QEZC是矩形，
∴CQ=ZE，
∵∠QEZ=∠Z=90°，
∴∠QEZ+∠Z=180°，
∴CZ∥AB，
∴∠B=∠ZCB，
∵DF⊥AC，CZ⊥DE，
∴∠Z=∠DFC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠ZCB，
∵CD=CD，∠B=∠ZCB，
∴△ZCD≌△FCD，
∴DF=DZ，
∴DE+DF=CQ=．
故选D．
点评：本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等知识点，能正确作辅助线并综合运用性质进行证明是解此题的关键．题型较好，综合性强．
2、如图∠BOP=∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥PB于D，PC=2，则PD的长度为（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
3、已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（ ）2-1-c-n-j-y
A、40 B、
C、20 D、
考点：三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：根据三角形中位线的定理可分别求得EF，HG，HE，GF的长，已知两对角线互相垂直，则可判定所求的四边形为矩形，根据矩形的面积公式求解即可．21教育名师原创作品
解答：解：∵AC=10，BD=8，点E，F，G，H分别是边AB，AD，CD，BC的中点，
∴EF∥BD∥HG，EF=HG=BD=4，HE=GF=AC=5，
∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴矩形EFGH的面积=4×5=20．
故选C．
点评：此题主要考查三角形中位线定理及矩形的判定与性质的综合运用．
4、下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A、∠A+∠B=90° B、AB∥CD，AB=CD，AC=BD
C、AB∥CD，AD=BC，AC=BD D、AC=BD，∠A=90°
5、顺次连接四边形ABCD的四条边的中点，得到一个矩形，那么（ ）
A、AC=BD B、AC⊥BD
C、AB=CD D、AB⊥CD
考点：矩形的判定；垂线；平行线的性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：根据矩形的性质得到∠FEH=90°，根据三角形的中位线定理得出EF∥AC，根据平行线的性质推出∠FEH+∠CME=180°，∠EMC+∠BOA=180°，即推出∠BOA=∠FEH=90°，即可得到答案．
解答：解：∵矩形EFGH，
∴∠FEH=90°，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，
∴∠FEH+∠CME=180°，
同理EH∥BD，
∴∠EMC+∠BOA=180°，
∴∠BOA=∠FEH=90°，
∴AC⊥BD，
故选B．
点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，三角形的中位线定理，平行线的性质，垂直的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用这些性质进行证明是证此题的关键．题型较好，难度适中．
6、下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A、对角线相等的四边形是矩形 B、对角线互相平分的四边形是矩形
C、矩形的对角线互相垂直且平分 D、矩形的对角线相等且互相平分
考点：矩形的判定与性质。
专题：推理填空题。
分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
7、如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A、2 B、3
C、4 D、4
考点：矩形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
分析：因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．21世纪教育网版权所有
解答：解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC==2．
∴DE=CB=．
∴四边形BCDE的面积为：2×=2．
故选A．
点评：本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．
8、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（ ）
A、7.5 B、7
C、6.5 D、5.5
考点：矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
专题：几何综合题。
分析：过C作DH的垂线CE交DH于E，证明四边形BCEH是矩形．所以求出HE的长；再求出∠DCE=30°，又因为CD=11，所以求出DE，进而求出DH的长．
解答：解：过C作DH的垂线CE交DH于E，
∵DH⊥AB，CB⊥AB，
∴CB∥DH又CE⊥DH，
∴四边形BCEH是矩形．
∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
又∵∠ADC=90°
∴∠CDE=60°，
∴∠DCE=30°，
∴在Rt△CED中，DE=CD=5.5，
∴DH=2+5.5=7.5．
故选A．
点评：本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的一个重要性质：30°的锐角所对的直角边是斜边的一半；以及勾股定理的运用．
9、如图，矩形ABCD中，AB=，BC=3，AE⊥BD于E，则EC=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：矩形的判定与性质；勾股定理。
分析：作EF⊥BC于F，构造Rt△CFE中和Rt△BEF，有已知条件AB=，BC=3，可求得∠ADB=30°，所以Rt△CFE和Rt△BEF都可解，从而求出BE，BF的长，再求出CF的长，在Rt△CFE中利用勾股定理可求出EC的长．
解答：解：作EF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，AB=CD=3，∠BAD=90°．
∴tan∠ADB==，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABE=60°，
∴在Rt△ABE中cos∠ABE===，
∴BE=，
∴在Rt△BEF中cos∠FBE===，
∴BF=，
∴EF==，
∴CF=3﹣=，
在Rt△CFE中，CE==．
故选D．
点评：本题考查了矩形的性质，解直角三角形，以及勾股定理的运用．具有一定的综合性．
二、填空题（共10小题）
10、如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于 5 ．
11、四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=，CD=6，则AD= ．
考点：勾股定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：作AE⊥BC，DE⊥BC，AG⊥DF，则四边形AEFG为矩形，AE=FG．EF=AG，因为△ADG为直角三角形，所以AD=，根据直角△AEB和直角△CDF即可求AE，BE，CF，FD． 21*cnjy*com
解答：解：作AE⊥BC，DF⊥BC，AG⊥DF，
则四边形AEFG四个内角均为直角，
∴四边形AEFG为矩形，AE=FG．EF=AG
∠ABE=180°﹣135°=45°，∠DCF=180°﹣120°=60°，
∴AE=EB=×=，CF=×CD=3，FD=CF=3，
∴AG=EF=8，DG=DF﹣AE=2，
∴AD==，
故答案为．
点评：本题考查了矩形的判定和矩形对边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中构造矩形AEFG是解题的关键．21·世纪*教育网
12、如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，且AB=AD，CB=CD，若四边形ABCD的面积为6cm2，那么四边形EFGH的面积为 3 cm2．
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC与BD互相垂直平分，
∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH为矩形，
∵四边形ABCD的面积为6cm2，
∴AC?BD=12，
∵EF=AC，EG=BD，
∴EF?EG=×AC?BD=3．
故答案为3．
点评：本题考查了三角形的中位线定理、矩形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
13、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=4cm，BD=6cm，则四边形EFGH的面积是 6 cm2．
考点：三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．
解答：解；∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
同理EF∥HG，EF=HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD=EF×EH=AC×BD=×4××6=6cm2．
点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题．
14、在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件 AB=BC 时，四边形PEMF为矩形．
考点：矩形的判定与性质。
分析：根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC=90°，易得AB=BC时能满足∠BMC=90°的条件．
解答：解：AB=BC时，四边形PEMF是矩形．
∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB=BC，
∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠MCD=45°，
∴在△MBC中，∠BMC=90°，
又∵PE⊥MC，PF⊥MB，
∴∠PFM=∠PEM=90°，
∴四边形PEMF是矩形．
点评：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是以开放型试题，是中考命题的热点．
15、如图，AB∥CD，∠A=∠B=90°，AB=3cm，BC=2cm，则AB与CD之间的距离为 2 cm．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，矩形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出BC和AB的长是解此题的关键．【出处：21教育名师】
17、如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．则四边形A3B3C3D3的面积 ，四边形AnBnCnDn的面积 ．
考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理。
专题：规律型。
分析：由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，故矩形A1B1C1D1的面积为6，可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半，以此类推可得四边形A3B3C3D3的面积；
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为 12×．
解答：解：点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1=BD
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°
∴四边形A1B1C1D1是矩形；
由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，
得：四边形A1B1C1D1的面积为6；四边形A2B2C2D2的面积为3；
∴四边形A3B3C3D3的面积=．
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形AnBnCnDn的面积为：12×．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，以及三角形的中位线的性质，处理此类问题，要灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决有关线段和面积等有关的问题．
18、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 12 ．
考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理。
专题：计算题。
分析：根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．
解答：解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
同理EF∥HG，EF=HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=AC×BD=×8××6=12．
点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题．
19、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 ．
考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；三角形的面积；勾股定理。
专题：计算题。
分析：根据勾股定理求出AB，证矩形EPFC，推出EF=CP，过C作CD⊥AB，得到CD=EF，求出CD的长即可．
解答：解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°，
∴四边形EPFC是矩形，
∴EF=CP，
即EF表示C与边AB上任意一点的距离，
根据垂线段最短，
过C作CD⊥AB，
当EF=DC最短，
根据三角形面积公式得：AC×BC=AB×CD，
∴CD=，
故答案为：．
点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，三角形的面积，垂线段最短，勾股定理等知识点的理解和掌握，能得到CD=EF是解此题的关键．
三、解答题（共11小题）
20、如图，现有边长为a，边长为b的正方形卡片，和长为a，宽为b的长方形卡片各若干张．
（1）用给出的卡片拼成一个长为2a+b．宽为a+2b的长方形，画出拼成后的图形并计算：（2a+b）（a+2b）
（2）用上述卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形，画出拼成后的图形，并尝试对多项式2a2+3ab+b2进行分解因式．
21、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠ADB=30°且，求△ECD的面积．
点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．【版权所有：21教育】
22、已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC= 45° ；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四边形的性质得∠D=∠ABC，在△ACD中，由内角和定理求解；
（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；
（3）∠DAC=2∠ABC成立，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，利用内角和定理证明结论．
解答：解：（1）45；
（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．
（3）∠DAC=2∠ABC成立，
以下证明：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．
∵BD2=4AH2+BC2，
∴EC=BD．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD．
即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC=90°﹣∠EBA．
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°﹣2∠EBA．
∴∠EAB=2∠ABC．
∴∠DAC=2∠ABC．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．21·cn·jy·com
23、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．2·1·c·n·j·y
（1）在图1证明：BF=CG；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．证明：DE+DF=CG；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，DE+DF=CG是否仍然成立？若成立说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；平移的性质。
专题：证明题。
分析：（1）由于∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，利用AAS易证△BAF≌△CAG，从而有BF=CG；
（2）先过D作DH⊥CG于点H，由于DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，易证四边形EDHG是矩形，那么DE=HG，DH∥BG，根据平行线的性质，结合AB=AC，易得∠FCD=∠GBC=∠HDC，而∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，利用AAS易证△DCH≌△CDF，从而DF=CH，那么DE+DF=GH+CH，即DE+DF=CG；www.21-cn-jy.com
（3）仍然成立．证法同（2）．
解答：证明：（1）∵∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，
∴△BAF≌△CAG，
∴BF=CG；
（2）如右图（2），
过D作DH⊥CG于点H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四边形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．
过D作DH⊥CG于点H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四边形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG．
点评：本题考查了全等三角形判定和性质、矩形的判定．知道有三个角是直角的四边形是矩形，解题的关键是作辅助线DH．21教育网
24、如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边的中点．在DB上任取一点P，过P作两腰的垂线段PF、PE．连接EF．求证：EF2=2DF2．【来源：21·世纪·教育·网】
点评：此题主要考查等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，解答此题的关键是连接AD、DE，利用全等三角形的判定与性质求证△EDF是等腰直角三角形，有一定的拔高难度，属于难题．
25、请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图1，已知△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F．
求证：PE+PF=CD．
证明思路：
如图2，过点P作PG∥AB交CD于G，则四边形PGDE为矩形，PE=GD；又可证△PGC≌△CFP，则PF=CG；所以PE+PF=DG+GC=DC．若P是BC延长线上任意一点，其它条件不变，则PE、PF与CD有何关系？请你写出结论并完成证明过程．【来源：21cnj*y.co*m】
考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题：证明题；探究型。
分析：过点C作CG⊥PE于G，则四边形CGED为矩形，得到CD=EG，同理可证△PGC≌△CFP，则PF=PG，所以PE﹣PF=PE﹣PG=GE=CD．
解答：解：结论：PE﹣PF=CD．（2分）
证明：
过点C作CG⊥PE于G，
∵PE⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDE=∠DEG=∠EGC=90°．
∴四边形CGED为矩形．（3分）
∴CD=GE，GC∥AB．
∴∠GCP=∠B．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∴∠FCP=∠ACB=∠B=∠GCP．
在△PFC和△PGC中，，
∴△PFC≌△PGC．（5分）
∴PF=PG．
∴PE﹣PF=PE﹣PG=GE=CD．（6分）
点评：本题通过构造矩形和三角形全等，利用矩形和全等三角形的判定和性质求解．
26、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，过点D作DP⊥BC，分别交BA，CA或它们的延长线于点P，Q．
求证：DP+DQ是定值．
考点：等腰三角形的性质；矩形的判定与性质。
分析：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥DQ于点N，然后判定△AQP为等腰三角形，从而证明DP+DQ=2AM，问题得证．
解答：证明：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥DQ于点N，（2分）
∴四边形AMDN为矩形．
∴AM=DN．
∵DP⊥BC，
∴∠B+∠P=90°．
∴∠C+∠DQC=90°．
又∵∠C=∠B，∠DQC=∠PQA
∴∠AQM=∠P．
∴△AQP为等腰三角形．
∴PN=QN．（4分）
∴DP+DQ=DN+NP+DQ
=DN+NQ+DQ
=2AM，（5分）
即DP+DQ是定值．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，证明线段的和为定值的问题比较少见．
27、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P是斜边AB上 （不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，EF的长度是否也会改变？若不变，请你求EF的长度；若有变化，请你求EF的变化范围．21*cnjy*com
考点：勾股定理；矩形的判定与性质。
专题：动点型。
分析：EF的长度会改变．连接PC，证得四边形PECF是矩形，得到EF=PC，求出PC的范围，从而得到EF的范围．
解答：解：EF的长度会改变（1分）
理由是：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC（3分），
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
过点C作CD⊥AB，此时CD=PC且PC最小，
∴PC===2.4，
∵点P是斜边AB上 （不与A、B重合），
∴PC＜BC=4，
∴PC的范围是2.4≤PC＜4，
即EF的范围是2.4≤EF＜4．（2分）
点评：本题是一个动点题，考查了勾股定理以及矩形的判定和性质，三个角是直角的四边形是矩形．
28、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，过O作EF⊥AC分别交AD、BC于点F、E，若AB=2cm，AC=4cm，BC=，求四边形AECF的面积．
又AO=CO，EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
设FC=x，
则在Rt△ABF中，BF=BC﹣FC=2﹣x，
∴AF2=AB2+BF2，
即x2=22+（2﹣x）2，
解得x=，
∴四边形AECF的面积=FC?AB=×2=cm2．
故答案为：cm2．
点评：本题主要考查了矩形的性质以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，主要分两步进行，先证明四边形AECF是平行四边形，然后利用勾股定理求出AF的长度即可．
29、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．
考点：矩形的判定与性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；
（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=0B=OC=OD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴EG=FH，
∴，
∴EH∥AD，
同理证FG∥BC，
∴EH∥FG，
∵EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）∵E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∵DG⊥AC，
∴CD=OD，
FG=2cm，
∴矩形ABCD的面积=8×2=16cm2．
点评：本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．
30、求证：面积为S的矩形中任意三点（可以在矩形的边界上）组成的三角形面积不超过S．
考点：矩形的判定与性质。
分析：利用三角形的面积求法与矩形的性质，比较面积大小，应分三种情况进行讨论，①三角形一边是矩形的一边；②三个顶点在矩形上，三角形在矩形内部；③三个顶点都在矩形内部，利用图形进行分析即可．
解答：证明：分如下三种情况：
（1）如图，这时△ABE的面积是矩形面积的一半；
（2）过E作AB的平行线，
∵S△FEM=EM×CG，S矩形DEGC=GC×EG，
显然△EFM的面积小于矩形DECG的面积，△BEM的面积小于矩形ABGE的面积，
所以△AEF的面积小于矩形ABCD的面积；
（3）过E、F、G分别作如图所示的AB、BC的平行线，
这四条线构成一个小矩形，由已经证明的（1）、（2）两种情况可知，△EFG的面积不大于这个小矩形的面积的，
即△EFG的面积小于矩形ABCD的面积的；
综上，面积为S的矩形中任意三点（可以在矩形的边界上）组成的三角形面积不超过S这一命题得证．
点评：此题主要考查了矩形的性质，利用三角形三个顶点位置不同进行分类讨论是解决问题的关键．
矩形的性质
一、选择题（共20小题）
1、如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（ ）
A、13 B、14
C、15 D、16
2、用18米长的铝合金做成一个长方形的窗框（如图），设长方形窗框的横条长度为x米，则长方形窗框的面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
A、x（18﹣x）平方米 B、x（9﹣x）平方米
C、平方米 D、平方米
3、如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ）2·1·c·n·j·y
A、bc﹣ab+ac+c2 B、ab﹣bc﹣ac+c2
C、a2+ab+bc﹣ac D、b2﹣bc+a2﹣ab
4、已知，一个矩形相邻两边的长是方程x2﹣8x+9=0的两根，则该矩形的周长和面积分别为（ ）
A、8、9 B、8、18
C、16、9 D、16、18
5、如图，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B的坐标是（4，2），若直线y=mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为（ ）【出处：21教育名师】
A、1 B、0.5
C、0.75 D、2
6、一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为（﹣2，﹣1），（﹣2，3），（4，﹣1），则第四个顶点的坐标是（ ）
A、（3，2） B、（4，2）
C、（3，3） D、（4，3）
7、矩形ABCD中，三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（5，3），则第四点的坐标是（ ）
A、（0，3） B、（3，0）
C、（0，5） D、（5，0）
8、矩形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣4，1）、（0，1）、（0，3），则D点的坐标是（ ）
A、（﹣4，3） B、（2，﹣4）
C、（﹣4，2） D、（3，﹣4）
9、如图所示，矩形OABC，对角线交于点P，且P点到相对两边距离相等，若C（2，0），B（2，4），则点P的坐标为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A、（2，1） B、（1，2）
C、（0，2） D、（0，1）
10、如图，矩形ABCD的边AB=5cm，BC=4cm动点P从A点出发，在折线AD﹣DC﹣CB上以1cm/s 的速度向B点作匀速运动，则表示△ABP的面积S（cm）与运动时间t（s）之间的函数系的图象是（ ）21教育网
A、 B、
C、 D、
11、如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A?B?C?M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）21·cn·jy·com
A、 B、
C、 D、
12、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y=x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b=（ ） 21*cnjy*com
A、 B、l
C、﹣ D、﹣1
13、如图，长方形ABCD中，AC，BD交于点O，则图中全等三角形有（ ）
A、2对 B、4对
C、6对 D、8对
14、如图，ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，要找出图中的全等三角形，最多可找出（ ）对？
A、8 B、7
C、6 D、4
15、如图：已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，则图中全等的三角形有（ ）
A、6对 B、5对
C、4对 D、3对
16、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（ ）
A、1.6 B、2.5
C、3 D、3.4
17、衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FAG=110°，则∠FBD=（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A、35° B、40°
C、55° D、70°
18、一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ）【版权所有：21教育】
A、50 B、50或40
C、50或40或30 D、50或30或20
19、如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A、2个 B、4个
C、6个 D、8个
20、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，一条对称轴l上有一动点P，当点P运动到某个位置时，可以和矩形顶点中的某两个连接构成等边三角形．满足上述条件的点P的位置有（ ）www.21-cn-jy.com
A、2个 B、4个
C、5个 D、6个
二、填空题（共5小题）
21、如图，以数轴上的单位长度为边做长方形，以数轴上的原点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 _________ ．21教育名师原创作品
22、如图，以数轴的单位长线段为边作一个矩形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线逆时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴负半轴的点A处，则点A表示的数是 _________ ．21cnjy.com
23、矩形ABCD中，AB=m，AD=n，并且m、n满足：（m2+n2）2+（m2+n2）﹣20=0，则对角线AC的长为 _________ ．
24、已知矩形的对角线长为，而它的两邻边a、b的长满足m2+a2m﹣12a=0，m2+b2m﹣12b=0（m≠0），则矩形的周长为 _________ ．21*cnjy*com
25、把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是 _________ cm．
三、解答题（共5小题）
26、规律：
如图1，直线m∥n，A、B为直线n上的点，C、P为直线m上的点．如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到何位置，△ABP与△ABC的面积总相等，其理由是 _________ ．
应用：
（1）如图2，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是 _________ ．
（2）如图3，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，求△ACF的面积．
（3）如图4，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，若正五边形ABCDE的边长为a，求△ACH的面积（结果不求近似值）．21世纪教育网版权所有
27、用代数式表示下列图形中阴影部分的面积．
（1）S阴影= _________ ；（2）S阴影= _________ ．
28、某会议厅主席台上方有一个长12m的长条形（矩形）会议横标框，铺红色衬底，开会前将会议名纸用白色厚纸或干胶纸刻出字来贴于其上，但会议名称的不同，字数一般每次多少都不等，为了制作及贴字时方便和美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定﹣﹣﹣﹣边空：字宽：字距=9：6：2（如图）．根据这个规定，能否研究出一个公式，依据这个公式，保要知道会议名称的字数n，便能算出边空、字宽、字距是多少？用你的公式计算当字数n=18时，边空、字宽、字距各是多少？（提示：设边空，字宽，字距分别为9x；6x；2x．再将x用n表示出来即可）21·世纪*教育网
29、一个矩形的面积为60，长宽之比为5：2，求这个矩形的长和宽．
30、已知一个矩形长2米，宽1米，是否存在另一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的两倍？若存在，分别写出矩形的长和宽；若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
矩形的性质
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（ ）
A、13 B、14
C、15 D、16
考点：面积及等积变换；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质。
专题：计算题。
分析：由利用含30°角的直角三角形的性质求出AE的长，由勾股定理求出AB和AD长，根据矩形的面积公式计算即可．21·世纪*教育网
解答：解：矩形ABCD，∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=CD
∵AE，AF三等分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAF=∠DAF=30°，
∵BE=2，CF=1，
∴AE=4，
由勾股定理得：AB==2，
∴CD=2，
即：DF=2﹣1，
∴AF=2DF=4﹣2，
由勾股定理得：AD=6﹣，
∴矩形的面积是：AB×AD=（6﹣）×2=12﹣6≈14.784．
故选C．
点评：本题主要考查了面积及等积变换，含30°角的直角三角形，勾股定理，矩形的性质等知识点，综合运用性质进行计算是解此题的关键．www-2-1-cnjy-com
2、用18米长的铝合金做成一个长方形的窗框（如图），设长方形窗框的横条长度为x米，则长方形窗框的面积为（ ）
A、x（18﹣x）平方米 B、x（9﹣x）平方米
C、平方米 D、平方米
注意窗框的横档有3条边．
3、如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ）
A、bc﹣ab+ac+c2 B、ab﹣bc﹣ac+c2
C、a2+ab+bc﹣ac D、b2﹣bc+a2﹣ab
4、已知，一个矩形相邻两边的长是方程x2﹣8x+9=0的两根，则该矩形的周长和面积分别为（ ）
A、8、9 B、8、18
C、16、9 D、16、18
考点：解一元二次方程-因式分解法；矩形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：先解方程求得方程的解，即求出矩形的长和宽，进一步可求得周长和面积．
解答：解：解方程x2﹣8x+9=0，得
x1=4+，x2=4﹣
即，矩形相邻两边的长分别是4+，4﹣．
所以矩形的周长是2（4++4﹣）=16，面积是（4+）（4﹣）=16﹣7=9．
故选C．
点评：此类题目要读懂题意，掌握一元二次方程的解法，解出方程的解后要注意代入实际问题中判断是否符合题意，进行值的取舍．
5、如图，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B的坐标是（4，2），若直线y=mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为（ ）
A、1 B、0.5
C、0.75 D、2
考点：坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质。
分析：经过矩形对角线交点的直线把矩形分成面积相等的两个部分．所以先求对角线交点坐标，然后求解．
解答：解：∵直线y=mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分，
∴直线y=mx﹣1经过矩形的对角线交点（2，1）．
把点（2，1）代入可得m=1．
故选A．
点评：主要考查了坐标与图形的性质和矩形的性质．解题关键是要熟知对角线的交点是矩形的中心，过中心的直线能把矩形分成面积相等的两个部分．
6、一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为（﹣2，﹣1），（﹣2，3），（4，﹣1），则第四个顶点的坐标是（ ）
A、（3，2） B、（4，2）
C、（3，3） D、（4，3）
7、矩形ABCD中，三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（5，3），则第四点的坐标是（ ）
A、（0，3） B、（3，0）
C、（0，5） D、（5，0）
考点：坐标与图形性质；矩形的性质。
分析：画图分析，由矩形的性质求得第四点的坐标，再解答．
解答：解：如图，
根据图形易知第四点的坐标是（0，3）．故选A．
点评：用到的知识点为：矩形的邻边垂直，对边平行．本题画出图后可很快求解．
8、矩形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣4，1）、（0，1）、（0，3），则D点的坐标是（ ）
A、（﹣4，3） B、（2，﹣4）
C、（﹣4，2） D、（3，﹣4）
考点：坐标与图形性质；矩形的性质。
专题：数形结合。
分析：在直角坐标系中标出A，B，C的坐标便可知确定D位置．
解答：解：BC∥AD，A点与D点的横坐标相同，因此选项B，C错误．
AB∥DC，D点的纵坐标与C点相同，选项A正确，D错误．
故选A．
点评：本题考查了一种很重要的数学思想：数形结合的思想解题．
9、如图所示，矩形OABC，对角线交于点P，且P点到相对两边距离相等，若C（2，0），B（2，4），则点P的坐标为（ ）
A、（2，1） B、（1，2）
C、（0，2） D、（0，1）
10、如图，矩形ABCD的边AB=5cm，BC=4cm动点P从A点出发，在折线AD﹣DC﹣CB上以1cm/s 的速度向B点作匀速运动，则表示△ABP的面积S（cm）与运动时间t（s）之间的函数系的图象是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A、 B、
C、 D、
考点：函数的图象；三角形的面积；矩形的性质。
专题：动点型。
分析：注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
解答：解：动点P从A点出发到D的过程中，S随t的增大而增大；
动点P从D点出发到C的过程中，S的值不变；
动点P从C点出发到B的过程中，S随t的增大而减小．
又因为AD=BC，所以从A点出发到D的时间和从C点出发到B的时间相同，
△ABP的面积S最大=×AD×DC=10，
从A到D到C到B的时间为：4+5+4）÷1=13秒．
故选A．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．要求能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 21*cnjy*com
11、如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A?B?C?M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A、 B、
C、 D、
12、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y=x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b=（ ）
A、 B、l
C、﹣ D、﹣1
13、如图，长方形ABCD中，AC，BD交于点O，则图中全等三角形有（ ）
A、2对 B、4对
C、6对 D、8对
考点：全等三角形的判定；矩形的性质。
分析：根据长方形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
解答：解：∵ABCD是长方形，
∴AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO
∵∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB
∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO
∵BD=BD，AC=AC
∴△ABD≌△DCB，△ACD≌△CAB，
△BCD≌△ACD，△BCD≌△ABC，△ABD≌△ABC，△ABD≌△ACD
∴共有8对．
故选D．
点评：本题主要考查了长方形的性质的运用，记忆长方形的性质，应从边、角、对角线三个方面掌握．此题难度不大，但要特别仔细，认真．
14、如图，ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，要找出图中的全等三角形，最多可找出（ ）对？
A、8 B、7
C、6 D、4
15、如图：已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，则图中全等的三角形有（ ）
A、6对 B、5对
C、4对 D、3对
考点：全等三角形的判定；矩形的性质。
分析：根据矩形的性质得出AC=BD，OA=OC，OD=OB，∠DAB=∠CBA=∠ADC=BCD=90°，AD=BC，DC=AB，根据全等三角形的判定即可推出答案．
解答：解：∵矩形ABCD，
∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，∠DAB=∠CBA=∠ADC=BCD=90°，AD=BC，DC=AB
∴△AOD≌COB，△DOC≌△BOA，△DAB≌△ADC，△DCB≌△ABC，△DAB≌CBA，△DCB≌△BAD．
故选A．
点评：本题主要考查对矩形的性质，全等三角形的判定定理等知识点的理解和掌握，能根据全等三角形的判定定理找出全等三角形是解此题的关键．
16、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（ ）
A、1.6 B、2.5
C、3 D、3.4
考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。
专题：计算题。
分析：利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的长．
解答：解：连接EC，由矩形的性质可得AO=CO，
又因EO⊥AC，
则由线段的垂直平分线的性质可得EC=AE，
设AE=x，则ED=AD﹣AE=5﹣x，
在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2=DE2+DC2，
即x2=（5﹣x）2+32，
解得x=3.4．
故选D．
点评：本题考查了利用线段的垂直平分线的性质、矩形的性质及勾股定理综合解答问题的能力，在解上面关于x的方程时有时出现错误，而误选其它选项．
17、衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FAG=110°，则∠FBD=（ ）
A、35° B、40°
C、55° D、70°
考点：等腰三角形的性质；矩形的性质。
专题：计算题。
分析：根据已知∠FAG的度数，在△ABC中根据等边对等角求出角ABC的度数，再根据矩形的性质可知矩形的每个内角都为90°，这样就得出了角DBC的度数，最后观察图形可知∠ABC、∠DBC和∠FBD构成一个平角，再根据平角的定义即可求出∠FDB的度数．
解答：解：在△ABC中，
∵AB=AC，∠FAG=110°，
∴∠ABC=∠ACB=35°，
又∵四边形BDEC为矩形，
∴∠DBC=90°，
∴∠FBD=180°﹣∠ABC﹣∠DBC=180°﹣35°﹣90°=55°．
故选C．
点评：此题考查了等腰三角形的性质以及矩形的性质，同时考查学生数形结合的数学思想，多观察图形，发现题中隐藏的条件．
18、一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ）
A、50 B、50或40
C、50或40或30 D、50或30或20
考点：等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质。
专题：分类讨论。
分析：本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．【出处：21教育名师】
解答：解：如图四边形ABCD是矩形，AD=18cm，AB=16cm；
本题可分三种情况：
①如图（1）：△AEF中，AE=AF=10cm；
S△AEF=?AE?AF=50cm2；
②如图（2）：△AGH中，AG=GH=10cm；
在Rt△BGH中，BG=AB﹣AG=16﹣10=6cm；
根据勾股定理有：BH=8cm；
∴S△AGH=AG?BH=×8×10=40cm2；
③如图（3）：△AMN中，AM=MN=10cm；
在Rt△DMN中，MD=AD﹣AM=18﹣10=8cm；
根据勾股定理有DN=6cm；
∴S△AMN=AM?DN=×10×6=30cm2．
故选C．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论．
19、如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A、2个 B、4个
C、6个 D、8个
20、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，一条对称轴l上有一动点P，当点P运动到某个位置时，可以和矩形顶点中的某两个连接构成等边三角形．满足上述条件的点P的位置有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A、2个 B、4个
C、5个 D、6个
考点：等边三角形的性质；矩形的性质。
专题：推理填空题。
分析：根据等边三角形的性质得出和A、D组成等边三角形的有E、F点，和B、C组成等边三角形的有Q、R点，根据矩形的性质得出对角线的交点O也符合，即可得出答案．
解答：解：和A、D组成等边三角形的有E、F点，和B、C组成等边三角形的有Q、R点，对角线的交点O也符合，
∴满足条件的有5个点．
故选C．
点评：本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
二、填空题（共5小题）
21、如图，以数轴上的单位长度为边做长方形，以数轴上的原点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
22、如图，以数轴的单位长线段为边作一个矩形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线逆时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴负半轴的点A处，则点A表示的数是 ﹣ ．
考点：实数与数轴；勾股定理的应用；矩形的性质。
专题：常规题型。
分析：根据勾股定理求出所作矩形对角线的长度，也就是原点到A的长度，再根据点A在数轴的负半轴解答．
解答：解：矩形的对角线长==，
∴OA=，
∴点A表示的数是﹣．
故答案为：﹣．
点评：本题考查了实数与数轴的关系，以及无理数在数轴上的作法，是基础题，需熟练掌握．
23、矩形ABCD中，AB=m，AD=n，并且m、n满足：（m2+n2）2+（m2+n2）﹣20=0，则对角线AC的长为 2 ．
考点：解一元二次方程-因式分解法；勾股定理；矩形的性质。
专题：计算题。
分析：把m2+n2当作一个整体，求出其值，根据勾股定理即可求出答案．
解答：解：（m2+n2）2+（m2+n2）﹣20=0，
（m2+n2﹣4）（m2+n2+5）=0，
∵矩形ABCD中，AB=m，AD=n，
∴m2+n2﹣4=0，
m2+n2=4，
∵矩形ABCD，
∴∠CBA=90°，BC=AD=n，
由勾股定理得：AC==2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查对矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出m2+n2的值是解此题的关键．21教育网
24、已知矩形的对角线长为，而它的两邻边a、b的长满足m2+a2m﹣12a=0，m2+b2m﹣12b=0（m≠0），则矩形的周长为 8 ．2-1-c-n-j-y
考点：根与系数的关系；勾股定理；矩形的性质。
分析：根据m2+a2m﹣12a=0，m2+b2m﹣12b=0（m≠0），可以得到：a、b恰为方程mx2﹣12x+m2=0的两根，则可以求得a与b的和与积．已知对角线长为，即可知道a、b的平方和，即可得到一个关于m的方程，从而求解．
解答：解：将已知二式重新整理得
，
由方程的定义可知a，由韦达定理得
a+b=…①
ab=m…②
又a2+b2=10，即（a+b）2﹣2ab=10…③．
将①②代入③得?m3+5m2﹣72=0?（m﹣3）（m2+8m+24）=0?m=3，
故矩形的周长为2（a+b）==8．
点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解a、b恰为方程mx2﹣12x+m2=0的两根是解题的关键．
25、把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是 5 cm．
考点：一元二次方程的应用；勾股定理；矩形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：设矩形的长为xcm，则宽为（7﹣x）cm，根据面积公式得x（7﹣x），即可列方程求得宽，再根据勾股定理求得对角线的长度．21教育名师原创作品
解答：解：设矩形的长为xcm，则宽为（7﹣x）cm，根据题意得x（7﹣x）=12
解之得x=4或x=3（舍去）
则宽为3cm，
所以这个矩形的对角线长是=5 cm．
点评：此题利用矩形的面积公式列出等量关系，同时也考查了勾股定理的内容．
三、解答题（共5小题）
26、规律：
如图1，直线m∥n，A、B为直线n上的点，C、P为直线m上的点．如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到何位置，△ABP与△ABC的面积总相等，其理由是 同底等高的两个三角形面积相等 ．
应用：
（1）如图2，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是 ．
（2）如图3，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，求△ACF的面积．
（3）如图4，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，若正五边形ABCDE的边长为a，求△ACH的面积（结果不求近似值）．21*cnjy*com
考点：面积及等积变换；平行线的判定与性质；三角形的面积；等边三角形的性质；矩形的性质。
分析：因为三角形的面积等于底与高乘积的一半，而两平行线之间的距离处处相等，所以根据题意知△PAB和△ABC是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．
（1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠DCE=60°，再由平行线的判定得出AB∥CE，然后根据规律：同底等高的两个三角形面积相等，得出△BAE的面积等于△ABC的面积；
（2）连接BF，先根据正方形的性质得出∠BAC=∠BFE=45°，再由平行线的判定得出AC∥BF，然后根据规律：同底等高的两个三角形面积相等，得出△ACF的面积等于△ABC的面积；
（3）连接BH，先根据正五边形的性质得出∠ABC=∠P=108°，AB=BC，BP=PH，再由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得出∠ACB=∠PBH=36°，然后由平行线的判定得出AC∥BH，从而根据规律：同底等高的两个三角形面积相等，得出△ACH的面积等于△ABC的面积．
解答：解：由题意可得，无论P点移动到任何位置总有△PAB与△ABC的面积相等．
理由是同底等高的两个三角形面积相等．
（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DCE=60°，
∴AB∥CE，
∴△BAE的面积=△ABC的面积=；
（2）连接BF．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BAC=∠BFE=45°，
∴AC∥BF，
∴△ACF的面积=△ABC的面积=×正方形ABCD的面积=8；
（3）连接BH．
∵五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，
∴∠ABC=∠P=108°，AB=BC，BP=PH，
∴∠ACB=∠PBH=36°，
∴AC∥BH，
∴△ACH的面积=△ABC的面积=a2sin72°．
点评：本题主要考查等边三角形、正方形、正五边形的性质及面积公式，属于数形结合题．都是根据等底等高的三角形面积相等求解．【版权所有：21教育】
27、用代数式表示下列图形中阴影部分的面积．
（1）S阴影= ab ；（2）S阴影= ．
考点：列代数式；矩形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）矩形面积的四分之一，
（2）矩形面积减去一个半径为的圆的面积．
解答：解：（1）阴影部分的面积：；
（2）阴影部分的面积：，
故答案为ab，．
点评：本题考查了列代数式，注意矩形面积和圆面积的求法，是基础知识比较简单．
28、某会议厅主席台上方有一个长12m的长条形（矩形）会议横标框，铺红色衬底，开会前将会议名纸用白色厚纸或干胶纸刻出字来贴于其上，但会议名称的不同，字数一般每次多少都不等，为了制作及贴字时方便和美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定﹣﹣﹣﹣边空：字宽：字距=9：6：2（如图）．根据这个规定，能否研究出一个公式，依据这个公式，保要知道会议名称的字数n，便能算出边空、字宽、字距是多少？用你的公式计算当字数n=18时，边空、字宽、字距各是多少？（提示：设边空，字宽，字距分别为9x；6x；2x．再将x用n表示出来即可）21cnjy.com
考点：列代数式；矩形的性质。
专题：应用题。
分析：根据边空有两个，字距是字的个数减1，根据比例关系设出边空、字宽、字距，再根据条幅长度等于边空、字宽、字距的和列出方程求解即可．21世纪教育网版权所有
解答：解：设边空，字宽，字距分别为9x，6x，2x，
根据题意得，2×9x+n×6x+（n﹣1）×2x=12，
整理得，16x+8nx=12；
当n=18时，16x+8×18x=12，
160x=12，
解得x=0.075，
∴9x=9×0.075=0.675米，
6x=6×0.075=0.45米，
2x=2×0.075=0.15米．
故答案为：公式为16x+8nx=12；0.675，0.45，0.15．
点评：本题考查了列代数式，根据比例式设出未知数并列出方程是解题的关键，字间距比数字的个数少1是容易出错的地方．www.21-cn-jy.com
29、一个矩形的面积为60，长宽之比为5：2，求这个矩形的长和宽．
考点：二次根式的应用；矩形的性质。
专题：应用题。
分析：根据长宽之比为5：2，设长为5x，则宽为2x，根据矩形计算面积公式，列方程求解．
解答：解：依题意设长为5x，则宽为2x，
则5x?2x=60，解得x=±（舍去负值），
∴这个矩形的长为5，宽为2．
点评：本题考查了二次根式在求矩形面积中的运用．关键是根据题意表示矩形的长、宽，列方程求解．
30、已知一个矩形长2米，宽1米，是否存在另一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的两倍？若存在，分别写出矩形的长和宽；若不存在，请说明理由．21·cn·jy·com
考点：二元一次方程组的应用；矩形的性质。
专题：应用题。
分析：设所求的矩形的长和宽分别为x，y米，要正确地表达原矩形的周长和面积及所求的矩形的周长和面积，根据周长之间的关系及面积之间的关系，列方程组解答本题．2·1·c·n·j·y
解答：解：存在，矩形的长和宽分别为（3+）米，（3﹣）米．
理由：设所求的矩形的长和宽分别为x，y米，
依题意得：，
解得x=3+，y=3﹣．
点评：本题考查了矩形的周长和面积的计算方法，又考查了解方程组的运用．
