棱形的判定
一、选择题（共20小题）
1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）www.21-cn-jy.com
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、梯形
2、如果平行四边形内一点P到平行四边形各边的距离相等，那么该四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、无法确定
3、对角线互相垂直平分的四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、等腰梯形 D、直角梯形
4、对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
5、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、等腰梯形
6、如图，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中：①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形； ③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．正确的结论是（ ）≌
A、②④ B、①③
C、②③④ D、①③④
7、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）
A、菱形 B、对角线互相垂直的四边形
C、矩形 D、对角线相等的四边形
8、已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连接各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：
①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；
②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；
③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；
④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；
⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；
⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．以上命题中，正确的是（ ）
A、①② B、③④
C、③④⑤⑥ D、①②③④
9、顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、等腰梯形
10、已知四边形ABCD的对角线AC=BD，顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、等腰梯形 D、正方形
11、在平面直角坐标系中，四边形OABC各点的坐标分别是O（0，0）、A（4，0）、B（3，）、D（1，），那么顺次连接这个四边形各边的中点，得到的新的四边形是（ ）21世纪教育网版权所有
A、等腰梯形 B、正方形
C、矩形 D、菱形
12、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A、AB=CD B、AC=BD
C、当AC⊥BD时，它是菱形 D、当∠ABC=90°时，它是矩形
13、已知，在?ABCD中，下列结论不一定正确的是（ ）
A、AB=CD B、当AB⊥CD时，它是菱形
C、AC=BD D、当∠ABC=90°时，它是矩形
14、如图，在平行四边形ABCD中，，，，则下列结论中不正确的是（ ）
A、AC⊥BD B、四边形ABCD是菱形
C、△ABO≌△CBO D、AC=BD
15、如图，?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线AC，BD相交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F，下列说法不正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A、当旋转角为90°时，四边形ABEF一定为平行四边形 B、在旋转的过程中，线段AF与EC总相等
C、当旋转角为45°时，四边形BEDF一定为菱形 D、当旋转角为45°时，四边形ABEF一定为等腰梯形
16、下列说法正确的是（ ）
A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形
C、对角线相等的四边形是矩形 D、有三个角是直角的四边形是矩形
17、下列命题是真命题的有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
③平行四边形是轴对称图形
④平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形面积相等
⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形
⑥对角线互相垂直的四边形是菱形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
18、下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形．其中正确的说法有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
19、用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A、一组临边相等的四边形是菱形 B、四边相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
20、如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（ ）
A、AB=CD B、AD=BC
C、AB=BC D、AC=BD
二、填空题（共5小题）
21、对角线互相垂直平分的四边形是 _________ ．
22、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）四边形ADEF是 _________ ；
（2）当△ABC满足条件 _________ 时，四边形ADEF为菱形；
（3）当△ABC满足条件 _________ 时，四边形ADEF不存在．
23、如图，等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，那么图中有 _________ 个等边三角形，有 _________ 个菱形．21教育网
24、已知点D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF，要使四边形ADEF为菱形，则需要增加的条件是 _________ ．（只填一个就可以了）．21·cn·jy·com
25、如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．
27、已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线O﹣A﹣B于点E．
（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；21cnjy.com
（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为 _________ ．
28、如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．
请问：（1）DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（2）若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确吗？
29、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
30、如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
棱形的判定与性质
一、选择题（共20小题）
1、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）21教育网
A、CF＞GB B、GB=CF
C、CF＜GB D、无法确定
2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
A、36° B、72°
C、120° D、44°
3、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
4、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）21·cn·jy·com
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是．
A、①② B、②③
C、②③④ D、①②③④
5、如图，在菱形ABCD中，E，F，F，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形（ ）www-2-1-cnjy-com
A、4个 B、5个
C、6个 D、7个
6、如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
7、下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线；（2）菱形的对角线相等且互相平分；（3）相等的角是对顶角；（4）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．【来源：21·世纪·教育·网】
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
8、下列说法中，错误的是（ ）
A、平行四边形的对角线互相平分 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
9、下列说法中，错误的是（ ）
A、矩形的四个内角都相等 B、四个内角都相等的四边形是矩形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
10、分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（ ）2-1-c-n-j-y
A、① B、②
C、①②③ D、①②④
11、如图，O既是AB的中点，又是CD的中点，并且AB⊥CD．连接AC、BC、AD、BD，则这四条线段的大小关系是（ ）21教育名师原创作品
A、全相等 B、互不相等
C、只有两条相等 D、不能确定
12、如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A、2 B、
C、1 D、
13、如图，D是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ） 21*cnjy*com
A、5个 B、4个
C、3个 D、2个
14、如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
15、下列说法正确的是（ ）
A、对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线互相平分的四边形是菱形
C、菱形的对角线相等且互相平分 D、菱形的对角线互相垂直且平分
16、如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A、4 B、6
C、8 D、12
17、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）21cnjy.com
A、2 B、
C、3 D、
18、如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（ ）www.21-cn-jy.com
A、54° B、60°
C、66° D、72°
19、如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）21·世纪*教育网
A、12cm B、16cm
C、20cm D、22cm
20、如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（ ）
A、100° B、105°
C、110° D、120°
二、填空题（共5小题）
21、一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6，则此平行四边形的面积为 _________ ．
22、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 _________ ．2·1·c·n·j·y
23、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为 _________ 【出处：21教育名师】
24、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为 _________ ．【版权所有：21教育】
25、如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于 _________ cm2．21*cnjy*com
三、解答题（共5小题）
26、已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．
求证：
（1）△BOF≌△DOE．
（2）DE=DF．
27、如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD及CF．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD=0.3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，①当t为何值时，?ADFC是菱形？请说明你的理由；
②?ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
28、已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含I的代数式表示）：AP= _________ ，AQ= _________ ；
（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
29、在矩形ABCD中，点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，顺次连接E1F1G1H1所得的四边形我们称之为中点四边形，如图21世纪教育网版权所有
（1）求证：四边形E1F1G1H1是菱形；
（2）设E1F1G1H1的中点四边形是E2F2G2H2，E2F2G2H2的中点四边形是E3F3G3H3…．En﹣1Fn﹣1Gn﹣1Hn﹣1的中点四边形是EnFnGnHn，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？ _________ （填“有”或“无”）若有，说出其中的规律性 _________ ；
（3）进一步：如果我们规定：矩形=0，菱形=1，并将矩形ABCD的中点四边形用f（0）表示；菱形的中点四边形用f（1）表示，由题（1）知，f（0）=1，那么f（1）= _________ ．
30、如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC=2DG．
棱形的判定与性质
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A、CF＞GB B、GB=CF
C、CF＜GB D、无法确定
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质。
专题：几何综合题。
分析：用观察和作图的方法可以猜测CF=GB．下面只要证明CF=GB即可．由条件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到FH⊥AB，垂足为H，连接EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG，故有CF=EH=GB，从而得证．要证明菱形CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明．要证平行四边形EHBG，两对边平行即可．关于证明EH∥BC，只需证明∠AHE=∠B，通过在Rt△ACD与Rt△ACD中，证明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得．
解答：解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E?，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．
故选B．
点评：本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质．难点在于恰当添加辅助线FH、EH，根据题意证明菱形CEHF，平行四边形EHBG．此类题学生丢分率较高，需注意．
2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
A、36° B、72°
C、120° D、44°
考点：等腰三角形的性质；菱形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：先证明四边形ABDC是菱形，再根据DE是AB的垂直平分线，得到△ABD是正三角形，此题就不难求解了．
解答：解：如图，连接AD，BD，
∵AB=AC，AC=CD，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵DE垂直平分腰AB，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠A=2∠DAB=120°，
∴∠A的度数为120°．
故选C．
点评：本题考查了菱形的判定和性质，四边都相等的四边形是菱形，这是解决本题的关键．
3、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质。
专题：推理填空题。
分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．【版权所有：21教育】
解答：解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是矩形，错误；
③HF平分∠EHG，正确；
④EG=（BC﹣AD），只有AD∥BC是才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；
⑤四边形EFGH是菱形，正确．
综上所述，①③⑤共3个正确．
故选C．
点评：本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．【出处：21教育名师】
4、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是．
A、①② B、②③
C、②③④ D、①②③④
故本选项错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5=A3B3=×A1B1=××AC，B5C5=B3C3=×B1C1=××BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）=；
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是；
故本选项正确；
综上所述，②③④正确．
故选C．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．21教育名师原创作品
5、如图，在菱形ABCD中，E，F，F，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形（ ）
6、如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
考点：菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
分析：过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD．
解答：解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO?∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA?四边形COMP为菱形?PM=4
PM∥CO?∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，
又∵PD⊥OA
∴PD=PC=2．
令解：作CN⊥OA．
∴CN=OC=2，
又∵∠CNO=∠PDO，
∴CN∥PD，
∵PC∥OD，
∴四边形CNDP是长方形，
∴PD=CN=2
故选C．
点评：本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上．
7、下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线；（2）菱形的对角线相等且互相平分；（3）相等的角是对顶角；（4）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：菱形的判定与性质；相交线；等腰三角形的性质。
专题：开放型。
分析：根据等腰三角形、菱形等相关知识进行解答．
解答：解：（1）等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，根据等腰三角形三线合一的性质，知：此直线也垂直平分底边，故（1）正确；
（2）菱形的对角线互相垂直平分，但不相等，故（2）错误；
（3）对顶角相等，但相等的角不是对顶角，故（3）错误；
（4）矩形的对角线相等，根据三角形中位线定理，可证得顺次连接矩形各中点所得四边形的四边都相等，由此可判定所得四边形是菱形，故（4）正确；
所以正确的结论是（1）（4），故选B．
点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握各图形的性质是解答此类题目的关键．
8、下列说法中，错误的是（ ）
A、平行四边形的对角线互相平分 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
考点：菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。
分析：根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．
解答：解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是正方形，故选D．
点评：主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．
9、下列说法中，错误的是（ ）
A、矩形的四个内角都相等 B、四个内角都相等的四边形是矩形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
10、分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（ ）
A、① B、②
C、①②③ D、①②④
考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理。
分析：根据菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，只要保证四边形的对角线相等即可．
解答：解：∵连接任意四边形的四边中点都是平行四边形，
∴对角线相等的四边形有：①②④，
故选D．
点评：本题主要利用菱形的四条边都相等及连接任意四边形的四边中点都是平行四边形来解决．
11、如图，O既是AB的中点，又是CD的中点，并且AB⊥CD．连接AC、BC、AD、BD，则这四条线段的大小关系是（ ）
A、全相等 B、互不相等
C、只有两条相等 D、不能确定
考点：菱形的判定与性质；比较线段的长短；垂线。
分析：由题意可得，四边形ACBD中，对角线互相平分，且互相垂直，故四边形ACBD是菱形，故有AC、BC、AD、BD全相等．21世纪教育网版权所有
解答：解：根据题意，结合图形，可知：四边形ACBD是菱形，
故AC=BC=AD=BD．
故选A．
点评：本题考查线段长短的度量、比较，要求学生充分利用四边形的有关性质，得到线段长短的结论．
12、如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A、2 B、
C、1 D、
13、如图，D是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A、5个 B、4个
C、3个 D、2个
考点：菱形的判定与性质。
分析：①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．
②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．
③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．
④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．
⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．
解答：解：①正确
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴AE=OE．
∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE=OF．
∵OD=OD．
∴DE=DF．
同理：BE=BF
∴四边形BFDE是菱形．
③正确
∵菱形ABCD的面积=AC×BD．
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴EF=AC．
∴菱形ABCD的面积=EF×BD．
④不正确
由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．
⑤正确
∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．
∴△DEO≌△DFO．
∴△DEF是轴对称图形．
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．
点评：此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．
14、如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（ ）21·cn·jy·com
A、 B、
C、 D、
考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质。
分析：可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），于是两三角形全等，那么HP=PG，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系．【来源：21·世纪·教育·网】
解答：解：延长GP交DC于点H，
∵AB=AD，BG=BE，
∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴=．
故选B．
点评：此题主要考查了菱形的判定与性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．
15、下列说法正确的是（ ）
A、对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线互相平分的四边形是菱形
C、菱形的对角线相等且互相平分 D、菱形的对角线互相垂直且平分
16、如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A、4 B、6
C、8 D、12
考点：菱形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，利用平行线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB=CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．
解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
故选C．
点评：本题考查了菱形的判定与性质．关键是根据平行四边形的性质，AC平分∠DAB，得出等腰三角形．
17、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）21教育网
A、2 B、
C、3 D、
考点：菱形的判定与性质；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：设AP，EF交于O点，四边形AFEP为平行四边形，可得△AEO的面积=△FOP的面积，所以阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
解答：解：设AP，EF交于O点，
∵四边形AFEP为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积=AC?BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故选：B．
点评：本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
18、如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（ ）
A、54° B、60°
C、66° D、72°
考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．21cnjy.com
解答：解：
过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=BC；
∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，
∴∠B=∠BEG=180°﹣108°=72°．
故选D．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确的构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
19、如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
A、12cm B、16cm
C、20cm D、22cm
20、如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（ ）
A、100° B、105°
C、110° D、120°
考点：菱形的判定与性质；解一元一次方程；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。
专题：计算题。
分析：根据四边形ABCD的四边都相等得出菱形ABCD，根据菱形的性质推出∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAB+∠B=180°，根据等边三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，根据等边对等角得出∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，设∠BAE=∠FAD=x，根据三角形的内角和定理得出方程x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，求出方程的解即可求出答案．
解答：解：∵四边形ABCD的四边都相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵△AEF是等边三角形，AE=AB，
∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，
∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，
设∠BAE=∠FAD=x，
则∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x，
∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，
解得：x=20°，
∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°，
故选A．
点评：本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，设∠BAE=∠FAD=x，根据这些性质得出∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x是解此题的关键，题型较好，难度适中．
二、填空题（共5小题）
21、一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6，则此平行四边形的面积为 36 ．
考点：勾股定理；菱形的判定与性质。
专题：计算题；数形结合。
分析：由题意画出相应的图形，得到平行四边形的边BC=9，对角线AC和BD分别为12和6，根据平行四边形的对角线互相平分，求出OB及OC的长，计算发现OC2+OB2=BC2，利用勾股定理的逆定理得到∠BOC为直角，根据垂直定义得到AC与BD垂直，根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形得到四边形ABCD为菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，由两对角线的长即可求出菱形ABCD的面积．2·1·c·n·j·y
解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
则有平行四边形ABCD中，BC=9，AC=12，BD=6，
∴OC=AC=6，OB=BD=3，
∵OC2+OB2=36+45=81，BC2=81，
∴OC2+OB2=BC2，
∴∠BOC=90°，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
则菱形ABCD的面积S=BD?OC+BD?OA
=BD（OC+OA）
=AC?BD=×12×6=36．
故答案为：36．
点评：此题考查了勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，以及菱形面积的求法，若四边形的对角线互相垂直，可得到其面积等于对角线乘积的一半，而菱形的对角线互相垂直，故菱形的面积也可以用对角线乘积的一半来求．
22、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 （或或，只要答案正确即可） ．
23、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为 2a
考点：平行四边形的性质；菱形的判定与性质；轴对称-最短路线问题。
分析：根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．
解答：解：∵E是BC的中点，BE=2a，
∴BC=2BE=2×2a=4a，
故BC=AC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分线．
作E关BD的对称点E′，
连接CE′，PE，
则PE=PE′，
此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即为PE+PC的最小值．
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠ADB=180°﹣120°2=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE为正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，
CE′=（4a）2﹣（2a）2=2a．
故答案为2a．
点评：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，内容涉及菱形的性质和判定、等边三角形的性质和判定及勾股定理，综合性较强．2-1-c-n-j-y
24、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为 ．
考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
分析：根据三角形中位线性质定理可得每一次去各边中点所形成新的四边形周长都为前一个的；并且四边形是平行四边形，即可计算四边形A15B15C15D15的周长，
解答：解：根据中位线的性质易知，A15B15=A13B13×A11B11…×A1B1=××…×AC；21·世纪*教育网
B15C15=B13C13×A11B11×…=×B1C1=××…×BD，
∴四边形A15B15C15D15的周长是2×（a+b）=．
故答案为．
点评：本题考查了三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
25、如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于 18 cm2．
考点：菱形的判定与性质；矩形的性质。
专题：数形结合。
分析：易得该四边形是一个菱形，作出高，求出高，即可求得相应的面积．
解答：解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条等宽，
∴AB=BC，
∴该四边形是菱形，
作AE⊥BC于E．
∴BE=3cm，
AE=3cm．
∴四边形ABCD的面积=6×3=18cm2，
故答案为18．
点评：考查菱形的判定与性质的应用；判断出图形的形状是解决本题的关键．
三、解答题（共5小题）
26、已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．
求证：
（1）△BOF≌△DOE．
（2）DE=DF．
考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，推出∠ADB=∠DBC，根据三角形全等的判定即可推出结论；
（2）先证四边形BEDF是平行四边形，根据EF⊥BD，得出菱形BEDF，根据菱形的性质即可得出答案．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DOE=∠BOF，OB=OD，
∴△BOF≌△DOE．
（2）证明：连接BE，
∵△BOF≌△DOE，
∴DE=BF，
∵DE‖BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD
∴平行四边形BEDF为菱形，
∴DE=DF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，平行线的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能灵活运用这些性质进行证明是证此题的关键，题型较好，难度适中．
27、如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD及CF．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD=0.3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，①当t为何值时，?ADFC是菱形？请说明你的理由； 21*cnjy*com
②?ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
考点：等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题：动点型。
分析：（1）根据已知条件可知AC∥DF，即可得出四边形ADFC是平行四边形，
（2）根据△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，所以当秒时，B与D重合，这时四边形为菱形，
（3）若平行四边形ADFC是矩形，则∠ADF=90°，E与B重合，得出t=1.3秒，可求出此时矩形的面积．
解答：（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长都为lcm的等边三角形，
∴AC=DF=1cm，∠ACB=∠FDE=60°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
（2）①当t=0.3秒时，平行四边形ADFC是菱形，理由如下：
∵△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，
∴当秒时，B与D重合，如图所示，
则AD=AE=BC=DE=DF=EF，
∴平行四边形ADFC是菱形，
②若平行四边形ADFC是矩形，则∠ADF=90°，
∴∠ADC=90﹣60=30°
同理∠DAB=30°=∠ADC，
∴BA=BD，
同理EC=EF，
∴E与B重合，
∴t=（1+0.3）÷1=1.3秒，
此时，如图，在Rt△ADF中，
∠ADF=90°，DF=1cm，AF=2cm，
∴cm，
∴矩形ADFC的面积=AD×DF=cm2．
点评：本题考查了等边三角形的边关系，根据等边三角形三边相等，三个角相等来解答问题，难度较大．
28、已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含I的代数式表示）：AP= 2t ，AQ= 6﹣t ；
（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
考点：勾股定理；三角形的面积；菱形的判定与性质。
专题：动点型。
分析：（1）根据∠A=60°，AB=12cm，得出AC的长，进而得出AP=5﹣t，AQ=2t．
（2）过点P作PH⊥AC于H．由AP=2t，AH=t，得出PH=t，从而求得S与t的函数关系式；
（3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ=PC，则可得出PN=QM=CM，求得t即可．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴AC=6，
∴由题意知：AP=5﹣t，AQ=2t，
（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴∠B=30°，
∴∠HPA=30°，
∵AP=2t，AH=t，
∴PH=t，
∴S=×AQ×PH=×t×（6﹣t）=﹣t2+3t；
（3）当t=4时，四边形PQP′C是菱形，
证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，
∵CQ=t，由（2）可知，AM=AP=tcm，
∴QC=AM，当PC=PQ时，即CM=MQ=AQ=AC=2时，
∴四边形PQP′C是菱形，
即当t=4时，四边形PQP′C是菱形．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识点，是中考压轴题，难度偏大，正确利用菱形判定得出是解题关键．www.21-cn-jy.com
29、在矩形ABCD中，点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，顺次连接E1F1G1H1所得的四边形我们称之为中点四边形，如图21*cnjy*com
（1）求证：四边形E1F1G1H1是菱形；
（2）设E1F1G1H1的中点四边形是E2F2G2H2，E2F2G2H2的中点四边形是E3F3G3H3…．En﹣1Fn﹣1Gn﹣1Hn﹣1的中点四边形是EnFnGnHn，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？ 有 （填“有”或“无”）若有，说出其中的规律性 矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形 ；
（3）进一步：如果我们规定：矩形=0，菱形=1，并将矩形ABCD的中点四边形用f（0）表示；菱形的中点四边形用f（1）表示，由题（1）知，f（0）=1，那么f（1）= 0 ．
考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题：规律型。
分析：（1）因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
（2）仔细观察，发现这两个四边形互为中点四边形．
（3）根据上题总结的规律可以得到菱形的中点四边形为矩形．
解答：解：（1）证明：连接AC、BD，
∵点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，
∴E1H1=BD，同理F1G1=BD，H1G1=AC，E1F1=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴E1H1=F1G1=H1G1=E1F1，
∴四边形E1F1G1H1是菱形．
（2）有；矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形．
（3）∵矩形的中点四边形为菱形，
即：f（0）=1，
∴菱形的中点四边形为矩形可以表示为：f（1）=0．
点评：本题考查了三角形的中位线的性质及特殊四边形的判定和性质．解题的关键是正确的将四边形转化为三角形并利用三角形的中位线定理求证即可．
30、如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC=2DG．
考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。
分析：（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD=AE，即可证明结论．
解答：证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），
∴DE∥AB，DE=AB（三角形中位线性质）．（1分）
∵AF∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义）．（1分）
∵BC=2AB，BC=2BD，
∴AB=BD．（1分）
∴四边形ABDF是菱形．（1分）
（2）∵四边形ABDF是菱形，
∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）．
∵DE=AB，
∴EF=AF．（1分）
∵G是AF的中点．
∴GF=AF，
∴GF=EF．（1分）
∴△FGD≌△FEA，（1分）
∴GD=AE，
∵AC=2EC=2AE，
∴AC=2DG．（1分）
点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．
棱形的判定
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、梯形
考点：坐标与图形性质；菱形的判定。
分析：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．
解答：解：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形． 21*cnjy*com
故选B．
点评：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．
2、如果平行四边形内一点P到平行四边形各边的距离相等，那么该四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、无法确定
考点：角平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定。
分析：因为菱形的每一条对角线平分一组对角，角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．则两对角线的交点到各边的距离相等，那么该四边形一定是菱形．
解答：解：根据题意，符合条件的点是平行四边形角平分线的交点，平行四边形的角平分线相交于一点，菱形具有这一性质．
又菱形的角不一定是直角，所以不一定是正方形．
因此该四边形一定是菱形．
故选B．
点评：此题主要考查角平分线的性质和菱形的性质．
3、对角线互相垂直平分的四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、等腰梯形 D、直角梯形
4、对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
考点：线段垂直平分线的性质；菱形的判定。
分析：根据对角线互相垂直平分但不相等的四边形是菱形进行选择．
解答：解：根据菱形的判定方法，对角线互相垂直平分但不相等的四边形是菱形．故选C
点评：本题考查菱形的判定：对角线互相垂直平分但不相等的四边形是菱形，是识记的内容．
5、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、等腰梯形
考点：等边三角形的性质；菱形的判定。
专题：操作型。
分析：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．
解答：解：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，
即是菱形．
故选B．
点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
6、如图，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中：①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形； ③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．正确的结论是（ ）≌
A、②④ B、①③
C、②③④ D、①③④
（3）∠DAB=∠ABC=60°，所以AD∥BC．AC⊥EF，∠ACB=90°，所以EF∥AD．由上可知AD∥EF．
EF=2AF=AD．
故AD≌EF．
四边形ADFE是平行四边形，AG=AF=AB=AD，
即AD=4AG．
（4）由四边形ADFE是平行四边形可得AE=DF，AD=FE，而AD=DB，
所以DB=FE，AF=FB，
故得△DBF≌△EFA．
点评：本题综合运用等边三角形的性质，三角形的全等，直角三角形的中线以及平行四边形的判定．
7、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）
A、菱形 B、对角线互相垂直的四边形
C、矩形 D、对角线相等的四边形
8、已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连接各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：
①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；
②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；
③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；
④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；
⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；
⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．以上命题中，正确的是（ ）
A、①② B、③④
C、③④⑤⑥ D、①②③④
考点：三角形中位线定理；菱形的判定；矩形的判定。
专题：推理填空题。
分析：根据三角形中位线定理，菱形的判定及矩形的判定对各个命题进行分析，从而可得到正确命题的个数．
解答：解：如右图，
∵四边形MNPQ为矩形，M，N，P，Q分别是各边的中点
∴∠QPN=90°，PQ∥AC∥MN，PN∥BD∥QM，PM=NQ
∴CD=AB=AD=BC，AC⊥BD（③正确）
∴四边形ABCD是菱形．（①正确）
如右图，
∵四边形MNPQ为菱形，M，N，P，Q分别是各边的中点
∴MQ=PQ=PN=MN，MP⊥QN
∴AC=BD（④正确），四边形ABCD是矩形（②正确）
∴AB≠AD（⑥不正确）
故选D．
点评：此题主要考查三角形中位线定理，菱形的判定及矩形的判定的综合运用．
9、顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、等腰梯形
10、已知四边形ABCD的对角线AC=BD，顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、等腰梯形 D、正方形
考点：三角形中位线定理；菱形的判定。
分析：根据三角形的中位线定理求出EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，GH=BD，EH=AC，推出EF∥GH，EF=GH，EF=EH，推出平行四边形EFGH，进一步推出答案．21·cn·jy·com
解答：解：∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，GH=BD，EH=AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，EF=BD，EH=AC，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形．
故选B．
点评：本题主要考查对菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能根据性质求出平行四边形EFGH和EF=EH是解此题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
11、在平面直角坐标系中，四边形OABC各点的坐标分别是O（0，0）、A（4，0）、B（3，）、D（1，），那么顺次连接这个四边形各边的中点，得到的新的四边形是（ ）
A、等腰梯形 B、正方形
C、矩形 D、菱形
12、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A、AB=CD B、AC=BD
C、当AC⊥BD时，它是菱形 D、当∠ABC=90°时，它是矩形
考点：平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定。
分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，可知A、C、D正确，B中只要当四边形ABCD是矩形是才能成立．
解答：解：A、平行四边形对边相等，故A正确；
B、矩形的对角线才相等，故不对；
C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故正确；
D、有一个角是90°的平行四边形是矩形．故正确．
故选B．
点评：主要考查了平行四边形状中的特殊平行四边形的性质．要求熟记这些性质．如菱形中的对角线互相垂直平分和四边相等．www.21-cn-jy.com
13、已知，在?ABCD中，下列结论不一定正确的是（ ）
A、AB=CD B、当AB⊥CD时，它是菱形
C、AC=BD D、当∠ABC=90°时，它是矩形
14、如图，在平行四边形ABCD中，，，，则下列结论中不正确的是（ ）
A、AC⊥BD B、四边形ABCD是菱形
C、△ABO≌△CBO D、AC=BD
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定。
分析：本题依据平行四边形的性质，用排除法一一进行判断即可解决问题．
解答：解：A、由，，，可得出△ABO为直角三角形，则AC⊥BD正确；
B、因为AC⊥BD，则平行四边形ABCD为菱形正确；
C、易证△ABO≌△CDO，正确；
D、得不出AC=BD，错误．
故选D．
点评：主要考查了平行四边行的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：
①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．平行四边形是中心对称图形．
15、如图，?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线AC，BD相交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F，下列说法不正确的是（ ）21cnjy.com
A、当旋转角为90°时，四边形ABEF一定为平行四边形 B、在旋转的过程中，线段AF与EC总相等
C、当旋转角为45°时，四边形BEDF一定为菱形 D、当旋转角为45°时，四边形ABEF一定为等腰梯形
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定。
分析：根据平行四边形的判定，两组对边分别平行的四边形为平行四边形，对题中四个选项逐一进行验证，即可得出结论．21*cnjy*com
解答：解：A、当旋转角为90°时，有EF⊥AC，而BA⊥AC，∴AB∥EF，又∵AF∥BE，所以四边形ABEF一定为平行四边形，
B、∵AF∥BE，∴∠FAO=∠OCE，∵AO=CA，∠AOF=∠COE，∴△AEO≌△CEO，∴AF=EC，
C、当旋转角为45°时，∵AB⊥AC，AB=1，BC=，∴AC==2，∵OA=OC=AC=1，∴△BAO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵∠AOE=45°∴∠AOE=90°∴EF⊥BD，∵△AEO≌△CEO，∴OF=OE，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形知，∴四边形BEDF一定为菱形，
D、由C的结论可知，当旋转角为45°时，四边形BEDF一定为菱形时，就不会是等腰梯形．
故选D．
点评：本题利用了：1、勾股定理，2、平行四边形的性质，3、全等三角形的判定和性质，4、等腰直角三角形的性质，5、菱形的判定．
16、下列说法正确的是（ ）
A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形
C、对角线相等的四边形是矩形 D、有三个角是直角的四边形是矩形
17、下列命题是真命题的有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
③平行四边形是轴对称图形
④平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形面积相等
⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形
⑥对角线互相垂直的四边形是菱形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理。
专题：综合题。
分析：根据平行四边形、菱形、矩形的判定和性质，轴对称图形来判断所给选项是否正确即可．
解答：解：①根据平行四边形的判定方法，可知该命题是真命题；
②等腰梯形也满足此条件，可知该命题不是真命题；
③平行四边形是轴对称图形，可知该命题不是真命题；
④根据平行四边形的性质可知平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形面积相等，可知该命题是真命题；
⑤根据矩形的判定方法，可知该命题是真命题；
⑥对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可知该命题不是真命题．
所以①④⑤是真命题．
故选C．
点评：本题综合考查了对四边形判定的运用，综合性较强．熟悉特殊四边形的判定方法是关键．
18、下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形．其中正确的说法有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
19、用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A、一组临边相等的四边形是菱形 B、四边相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
考点：菱形的判定；作图—复杂作图。
分析：关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可．
解答：解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选B．
点评：本题主要考查对作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
20、如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（ ）
A、AB=CD B、AD=BC
C、AB=BC D、AC=BD
考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：证明题。
分析：菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．
解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
那么可添加的条件是：AB=BC．
故选C．
点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一．有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
二、填空题（共5小题）
21、对角线互相垂直平分的四边形是 菱形 ．
22、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）四边形ADEF是 平行四边形 ；
（2）当△ABC满足条件 AB=AC 时，四边形ADEF为菱形；
（3）当△ABC满足条件 AB=AC=BC 时，四边形ADEF不存在．
考点：等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定。
专题：证明题。
分析：（1）先证明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，则DE=AC=AF，FE=AB=AD，则四边形ADEF是个平行四边形；
（2）当AB=AC时，四边形ADEF为菱形；
（3）当AB=AC=BC时，四边形ADEF不存在．
解答：解：（1）四边形ADEF是个平行四边形在△ABC和△DBE中，
∵BC=BE，BA=BD，∠DBE=∠ABC（与∠ABE之和都等于60°），
∴△ABC≌△DBE，
∴DE=AC，
在△ABC和△FEC中，
∵BC=EC，CA=CF，∠ACB=∠FCE（都为60°角与=∠ACE之和），
∴△ABC≌△FEC，
∴FE=AB，
∴DE=AC=AF，FE=AB=AD，
∴四边形ADEF是个平行四边形；
（2）当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，
由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形；
（3）当△ABC为等边三角形时，即AB=AC=BC时，四边形ADEF中的A点与E点重合，
此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
点评：本题考查了平行四边形、菱形的判定以及等边三角形的性质．
23、如图，等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，那么图中有 5 个等边三角形，有 3 个菱形．21·世纪*教育网
考点：等边三角形的判定；菱形的判定。
专题：证明题。
分析：由题意知，DF，EF，DE是等边三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于对边且等于对边的一半知，有DF=EF=ED=AD=AF=CF=CE=BE=BE，根据等边三角形和菱形的判定作答．2-1-c-n-j-y
解答：解：图中有5个等边三角形：△ADF，△BDE，△CEF，△DFE，△ABC，
有3个菱形：菱形ADEF，菱形BDEF，菱形CFDE．
故答案为，5，3
点评：本题利用了等边三角形的性质和三角形中位线的性质及等边三角形的判定和菱形的判定．
24、已知点D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF，要使四边形ADEF为菱形，则需要增加的条件是 AB=AC或∠B=∠C ．（只填一个就可以了）．
考点：三角形中位线定理；菱形的判定。
专题：开放型。
分析：利用三角形的中位线定理易得四边形ADEF为平行四边形，那么添加一组邻边相等即可，若AE=AF，那么AB=AC，或者∠B=∠C．
解答：解：由题意知，DE，EF是三角形的中位线，所以四边形ADEF是平行四边形，要使平行四边形为菱形，只要添加，AB=AC，当AB=AC，点D，F分别是AB，AC的中点，所以有AE=AF，从而得证平行四边形ADEF为菱形，当添加∠B=∠C时，也有AB=AC，也可得证四边形ADEF为菱形．
点评：本题利用了三角形的中位线的性质、菱形的判定方法求解．
25、如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是 AC=BD ．
考点：三角形中位线定理；菱形的判定。
专题：开放型。
分析：易得新四边形为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．21教育名师原创作品
解答：解：∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形，根据菱形的性质，只要再有一组对边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH一组对边相等即可，例如AC=BD．
点评：综合考查了三角形中位线定理及菱形的判定定理．
三、解答题（共5小题）
26、四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．
因为a，b，c，d都是实数，
所以（a2﹣b2）2≥0，（c2﹣d2）2≥0，（ab﹣cd）2≥0，
所
由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有
a=b=c=d．
故此四边形为菱形．
点评：本题考查因式分解的应用、非负数的性质、菱形的判定．解决本题的关键是将等式转化为多项平方和的形式，令其每项均大于等于0，解出a、b、c、d数值关系．
27、已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线O﹣A﹣B于点E．
（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；
（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为 2.5 ．
考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定。
专题：计算题。
分析：（1）因为四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2），即可求出点B的坐标，把A、B、C的坐标代入解析式求出b，即可求出答案；www-2-1-cnjy-com
（2）首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明邻边ND=NE即可；
（3）过DH⊥OE于H，根据一次函数的解析式求出OQ、OE，求出DH、HE，设ME=x，根据勾股定理求出x即可．
解答：解：（1）∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2），
∴点B的坐标为（6，2）．
若直线经过点C（0，2），则b=2；
若直线经过点A（6，0），则b=3；
若直线经过点B（6，2），则b=5．
①当点E在线段OA上时，即2＜b≤3时，（如图）
∵点E在直线上，
当y=0时，x=2b，
∴点E的坐标为（2b，0）．
∴S=．
②当点E在线段BA上时，即3＜b＜5时，（如图）
∵点D，E在直线上
当y=2时，x=2b﹣4；
当x=6时，y=b﹣3，
∴点D的坐标为（2b﹣4，2），点E的坐标为（6，b﹣3）．
∴S=S矩形OABC﹣S△COD﹣S△OAE﹣S△DBE==﹣b2+5b．
综上可得：
（2）证明：如图．
∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形
∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，
即DN∥ME，DM∥NE．
∴四边形DMEN是平行四边形，且∠NDE=∠DEM．
∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为四边形O′A′B′C′
∴∠DEM=∠DEN．
∴∠NDE=∠DEN．
∴ND=NE．
∴四边形DMEN是菱形．
（3）解：y=﹣x+b
当x=0时，y=b，
当y=0时，x=2b，
∴OQ=b，OE=2b
过DH⊥OE于H，
∴DH=2，
∴HE=2×2=4，
设DM=ME=x，
在△DHM中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2=x2，
解得：x=2.5，
故答案为：2.5．
点评：本题考查了待定系数法求直线的解析式，平行线的性质、菱形的判定，平行四边形的判定，角平分线性质，勾股定理以及分类讨论思想的运用．综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．21世纪教育网版权所有
28、如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．
请问：（1）DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（2）若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确吗？
考点：三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定。
专题：证明题。
分析：（1）DE∥AB，DF∥AC得到平行四边形AFDE，因为∠EAD=∠FAD和DE∥AB，推出∠EAD=EDA，得出AE=DE，即可得到答案；【版权所有：21教育】
（2）①如和AD是∠CAB的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；②如和DE∥AB交换，根据平行线的性质得到∠FDA=∠EAD，根据AD是∠CAB的角平分线，DO是∠EDF的角平分线，推出∠EAF=∠EDF，由平行线的性质得到∴∠AEF=∠DFE，根据三角形的内角和定理即可求出∠DEF=∠AFE，根据平行线的判定即可推出答案；③如和AE∥DF交换，正确理由与②类似．
解答：（1）DO是∠EDF的角平分线，
证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形，
∴DO是∠EDF的角平分线．
（2）解：正确．
①如和AD是∠CAB的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；
②如和DE∥AB交换，
理由是：∵DF∥AC，
∴∠FDA=∠EAD，
∵AD是∠CAB的角平分线，DO是∠EDF的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠FDA，
∴∠EAF=∠EDF，
∵AE∥DF，
∴∠AEF=∠DFE，
∵∠EDF+∠EFD+∠DEF=180°，∠EAF+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠DEF=∠AFE，
∴DE∥AB，正确．
③如和AE∥DF交换，正确理由与②类似．
答：若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确．
点评：本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，平行线的性质和判定，三角形的角平分线等知识点，综合运用性质和判定进行证明是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
29、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
考点：全等三角形的判定；菱形的判定。
专题：证明题。
分析：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．21教育网
解答：证明：（1）∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE，
又∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵AB=AC，
∴四边形ABEC为菱形．
点评：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．
30、如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．2·1·c·n·j·y
（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．【出处：21教育名师】
解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中点，
∴DE=AB=BE．
由题意可知EB∥DF且EB=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．
棱形的性质
一、选择题（共20小题）
1、如图，由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为（ ）21教育网
A、400 B、300
C、200 D、150
2、下列语句说法正确的个数为（ ）
①若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞1；
②点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）；该点到y轴的距离是2；
③若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数为80°；
④已知菱形的两条对角线分别长为6cm，8cm，则此菱形的面积为48cm2．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
3、下列命题：①连接四边形各边中点所得四边形为矩形，那么原四边形一定为菱形；②一直角三角形的两边长为3和4，则斜边上的中线长为2.5；③对我国首架大型民用直升机各零部件的检查，适宜采用全面调查（普查）方式；④化简：=1．其中真命题的个数有（ ）www-2-1-cnjy-com
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
4、如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（ ） 21*cnjy*com
A、﹣3 B、5
C、5或﹣3 D、﹣5或3
5、设菱形的周长为20，两条对角线的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣4=0的两个根，则m的值为（ ）
A、 B、
C、或 D、以上答案都不对
6、菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（ ）
A、（，1） B、（1，）
C、（+1，1） D、（1，+1）
7、如图，已知四边形ABCD是菱形，点B（0，6），点C（﹣8，0），E是AB的中点，则直线DE的解析式为（ ）
A、y=x﹣6 B、y=x+6
C、y=x﹣6 D、y=x+6
8、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠ABC≠90°，则图中全等的三角形共有（ ）
A、4对 B、6对
C、8对 D、12对
9、如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（ ）21·cn·jy·com
A、3公里 B、4公里
C、5公里 D、6公里
10、如图，P为菱形ABCD的对角线上的一点，PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，PF=3cm，则PE=（ ）
A、4cm B、5cm
C、3cm D、7cm
11、从菱形的一个钝角顶点向它的两条对边作垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于（ ）
A、135° B、150°
C、110° D、120°
12、如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）www.21-cn-jy.com
A、10cm2 B、20cm2
C、40cm2 D、80cm2
13、如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（ ）2·1·c·n·j·y
A、4 B、8
C、12 D、16
14、如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD=10，DF=4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A、 B、
C、6 D、9
15、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果ABCD的周长是16，那么EF的长是（ ）
A、1 B、2
C、4 D、8
16、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A、24 B、18
C、12 D、6
17、如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=1，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A、4 B、6
C、8 D、16
18、四边形ABCD是边长为16的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形ABCD的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，…，则按上述规律组成的第八个中点四边形的周长等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、1
C、4 D、8
19、下列叙述错误的是（ ）
A、平行四边形的对角线互相平分 B、菱形的对角线互相平分
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形 D、对角线相等的四边形是矩形
20、若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（ ）
A、20cm B、18cm
C、16cm D、12cm
二、填空题（共5小题）
21、菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为 _________ ．
22、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为 _________ ．
23、如图，四边形ABCD是周长为20cm的菱形，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标为 _________ ．
24、如图，小鱼的鱼身ABCD为菱形，已知鱼身长BD=8，AB=5，以BD所在直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，则点C的坐标为 _________ ．【来源：21·世纪·教育·网】
25、菱形的四个顶点都在坐标轴上，已知其中两个顶点的坐标分别是（3，0），（0，4），则另两个顶点的坐标是 _________ ．21·世纪*教育网
三、解答题（共5小题）
26、求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
27、知识背景：某纸箱厂要做一种双层上盖的长方体纸箱（如纸箱示意图所示），因此做成后其上盖所需纸板面积刚好等于底面面积的2倍．
（1）实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是宽与长的比为3：5的长方形，体积为0.3立方米．
①按方案1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？
②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．21cnjy.com
（2）拓展思维：某客商觉得这种规格的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为该客商的要求能办到吗？请说明理由．2-1-c-n-j-y
28、（1）解方程+=2；
（2）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．求证：△ABE≌△ACF．
29、一个菱形、相邻的内角比是1：2，对角线长是6，取两条对角线所在的直线为坐标轴，求四个顶点坐标．
30、如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，
（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形，并写出点D的坐标 _________ ．
（2）线段BC的长为 _________ ，菱形ABCD的面积等于 _________
棱形的性质
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如图，由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为（ ）21·cn·jy·com
A、400 B、300
C、200 D、150
2、下列语句说法正确的个数为（ ）
①若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞1；
②点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）；该点到y轴的距离是2；
③若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数为80°；
④已知菱形的两条对角线分别长为6cm，8cm，则此菱形的面积为48cm2．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：二次根式有意义的条件；等腰三角形的性质；菱形的性质；关于x轴、y轴对称的点的坐标。
专题：代数几何综合题。
分析：根据二次根式有意义的条件，关于x轴的对称的点的特点，等腰三角形的性质，菱形的面积的计算方法可得正确选项的个数．
解答：解：①若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1，故错误；
②点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）；该点到y轴的距离是2，正确；
③若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数为80°或50°，故错误；
④已知菱形的两条对角线分别长为6cm，8cm，则此菱形的面积，24cm2，故错误；
正确的有1个．
故选B．
点评：本题综合考查了相关知识；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；已知等腰三角形一角的度数为锐角，那么顶角的度数有2种情况；菱形的面积等于菱形对角线积的一半．
3、下列命题：①连接四边形各边中点所得四边形为矩形，那么原四边形一定为菱形；②一直角三角形的两边长为3和4，则斜边上的中线长为2.5；③对我国首架大型民用直升机各零部件的检查，适宜采用全面调查（普查）方式；④化简：=1．其中真命题的个数有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：二次根式的性质与化简；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定；全面调查与抽样调查。
专题：应用题。
分析：①根据题意，画出图形，证明不成立即可；②两边长为3和4，分两种情况：第一是两直角边长为3和4；第二是一条直角边长为3和斜边长为4；③对我国首架大型民用直升机各零部件的检查，需要收集的到数据全面、准确；④根据分式的化简，计算出即可．
解答：解：
①如图，在梯形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H是梯形各边的中点
∴四边形EFGH是矩形；故本项错误；
②当两直角边长为3和4时，斜边长为5，
所以，斜边上的中线长为2.5；
当一条直角边长为3和斜边长为4时，
所以，斜边上的中线长为2；故本项错误；
③根据对我国首架大型民用直升机各零部件的检查，需要收集的到数据全面、准确，
所以，适宜采用全面调差方式；故本项正确；
④当m＞n时，原式=×（m﹣n）=1；
当m＜n时，原式=×（n﹣m）=﹣1；
故本项错误．
综上，正确的命题有1个．
故选A．
点评：本题考查了菱形的性质、矩形的判定、解直角三角形、全面调查与抽样调查，本题综合性较强，用到的知识较多，考查了学生综合运用知识的能力．21教育网
4、如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A、﹣3 B、5
C、5或﹣3 D、﹣5或3
考点：根与系数的关系；根的判别式；勾股定理；菱形的性质。
分析：由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=﹣2m+1，AO?BO=m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值．
解答：解：由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25，
又有根与系数的关系可得：AO+BO=﹣2m+1，AO?BO=m2+3
∴AO2+BO2=（AO+BO）2﹣2AO?BO=（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）=25，
整理得：m2﹣2m﹣15=0，
解得：m=﹣3或5．
又∵△＞0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m＜﹣，
∴m=﹣3，
故本题选A．
点评：将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5、设菱形的周长为20，两条对角线的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣4=0的两个根，则m的值为（ ）
A、 B、
C、或 D、以上答案都不对
当m=时，△=144﹣88＞0，
当m=﹣时，△=64+72＞0，
∴m=或﹣都是原方程的根．
又当m=﹣时，α+β=2m﹣1=﹣8＜0，α?β=4m﹣4=﹣18，
∴α与β一正一负，这与α，β表示对角线长相矛盾．
∴m≠﹣．
∴m=．
故选A．
点评：本题主要考查了根与系数的关系，菱形的性质，一元二次方程的解法，勾股定理的应用．综合性较强，难度中等．注意运用根与系数的关系解题时，需要用判别式进行检验，此外，本题还需结合实际意义舍去不符合要求的m的值．21cnjy.com
6、菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（ ）
A、（，1） B、（1，）
C、（+1，1） D、（1，+1）
考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
分析：根据菱形的性质，作CD⊥x轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标．
解答：解：作CD⊥x轴于点D，
∵四边形OABC是菱形，OC=，
∴OA=OC=，
又∵∠AOC=45°
∴△OCD为等腰直角三角形，
∵OC=，
∴OD=CD=OCsin45°=1，
则点C的坐标为（1，1），
又∵BC=OA=，
∴B的横坐标为OD+BC=1+，B的纵坐标为CD=1，
则点B的坐标为（+1，1）．
故选C．
点评：本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，综合性较强．
7、如图，已知四边形ABCD是菱形，点B（0，6），点C（﹣8，0），E是AB的中点，则直线DE的解析式为（ ）
A、y=x﹣6 B、y=x+6
C、y=x﹣6 D、y=x+6
考点：待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质。
专题：待定系数法。
分析：求直线DE的解析式关键是确定点D和点E的坐标，然后设解析式为y=kx+b，代入求得k和b的值即可．
解答：解：由题意可先求得，D的坐标为（0，﹣6），E点的坐标为（4，3），设直线DE的解析式为y=kx+b，把D、E的值代入可得k=，b=﹣6，直线DE的解析式为y=x﹣6．【出处：21教育名师】
故选C．
点评：本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数．
8、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠ABC≠90°，则图中全等的三角形共有（ ）
A、4对 B、6对
C、8对 D、12对
考点：全等三角形的判定；菱形的性质。
分析：根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD再利用全等三角形的判定求解．
解答：解：根据菱形的性质及已知条件全等的三角形有：△AOD≌△AOB≌△COB≌△COD，共有6对；
又△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC共2对，所以共8对．
故选C．
点评：本题考查菱形的性质以及全等三角形的判定条件．
9、如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（ ） 21*cnjy*com
A、3公里 B、4公里
C、5公里 D、6公里
考点：角平分线的性质；菱形的性质。
专题：证明题。
分析：根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证明．
解答：解：如图，连接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；
∵AB=BC=CD=DA=5公里，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠CAE=∠CAF，
∴CE=CF=4公里．
故选B．
点评：本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到四边形ABCD是菱形：菱形的对角线平分对角，是解题的关键．【版权所有：21教育】
10、如图，P为菱形ABCD的对角线上的一点，PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，PF=3cm，则PE=（ ）
A、4cm B、5cm
C、3cm D、7cm
考点：角平分线的性质；菱形的性质。
专题：探究型。
分析：先根据菱形的性质得出AC是∠DAB的平分线，再根据角平分线的性质即可得出结论．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，P为菱形ABCD的对角线上的一点，
∴AC是∠DAB的平分线，
∵PE⊥AD，PF⊥AB，PF=3cm，
∴PE=PF=3cm．
故选C．
点评：本题考查的是角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11、从菱形的一个钝角顶点向它的两条对边作垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于（ ）
A、135° B、150°
C、110° D、120°
考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质。
分析：画图分析，易证△ABC，△ADC是等边三角形，然后求得∠BAD=120°．
解答：解：在菱形ABCD中，已知AE，AF分别垂直平分BC，CD．连接AC．
故AB=AC=AD，BE=EC=CF=FD．
∴△ABC，△ADC是等边三角形．
故∠BAD=∠BAC+∠DAC=120°．
故选D．
点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）以及菱形的性质．难度一般．2-1-c-n-j-y
12、如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）21*cnjy*com
A、10cm2 B、20cm2
C、40cm2 D、80cm2
考点：三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的性质。
分析：矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，即5cm，4cm，所以菱形的面积可求．
解答：解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，
所以S菱形=×5×4=10 cm2．
故选A．
点评：本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．
13、如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（ ）
A、4 B、8
C、12 D、16
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：根据中位线定理求边长，再求ABCD的周长．
解答：解：由题意可知，EF是△ABC的中位线，有EF=BC．所以BC=2EF=2×2=4，
那么ABCD的周长是4×4=16．故选D．
点评：本题考查了三角形中位线的性质，菱形四边相等的性质．
14、如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD=10，DF=4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A、 B、
C、6 D、9
考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质。
分析：易得OD长，那么可得到圆的半径为OD+DF，利用三角形全等可得菱形边长等于圆的半径．
解答：解：如图：连接OG，
∵BD=10，DF=4
∴⊙O的半径r=OD+DF=BD+DF=×10+4=9
∴OG=9
在Rt△GOD与Rt△ADO中，OD=OD，AO=GD，∠AOD=∠GDO=90°
∴△AOD≌△GDO
∴OG=AD=9，故选D．
点评：本题考查的是圆内接矩形的性质，及菱形的性质，属中学阶段的常规题．
15、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果ABCD的周长是16，那么EF的长是（ ）
A、1 B、2
C、4 D、8
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：由ABCD的周长可得BC长，利用三角形中位线定理易得EF长为BC长的一半．
解答：解：由题意可知，EF是△ABC的中位线
∴EF∥BC，EF=BC
又∵ABCD的周长是16
∴BC=4
∴EF=2
故选B．
点评：本题考查了三角形中位线等于第三边的一半的性质，菱形四边相等的性质．
16、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A、24 B、18
C、12 D、6
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：根据中位线定理易得BC=2EF，那么菱形的周长等于4BC．
解答：解：∵E，F分别是AB，AC的中点，EF=3，
∴BC=2EF=2×3=6，
菱形ABCD的周长是4BC=4×6=24，故选A．
点评：本题比较简单，考查的是三角形中位线定理及菱形的性质．
17、如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=1，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A、4 B、6
C、8 D、16
18、四边形ABCD是边长为16的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形ABCD的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，…，则按上述规律组成的第八个中点四边形的周长等于（ ）2·1·c·n·j·y
A、 B、1
C、4 D、8
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
专题：规律型。
分析：根据题意，结合图形寻找规律：第二、四、六、八个中点四边形为菱形，第一个菱形边长为，第二个菱形边长为，第三个菱形边长为，第四个菱形边长为．21·世纪*教育网
解答：解：由图可知，第二、四、六、八个中点四边形为菱形，
第一个菱形边长为，第二个菱形边长为，第三个菱形边长为，第四个菱形边长为．
即第八个中点四边形的边长等于．
∵四边形ABCD是边长为16，
∴周长为64，
∴第八个中点四边形的周长等于64×=4．
故选C．
点评：本题是一道开放性题目，先画出图形，根据图形所体现的规律，找出各图形之间的数量关系，便可解答，此题不难，但趣味性强，深受同学们喜爱．www-2-1-cnjy-com
19、下列叙述错误的是（ ）
A、平行四边形的对角线互相平分 B、菱形的对角线互相平分
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形 D、对角线相等的四边形是矩形
20、若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（ ）
A、20cm B、18cm
C、16cm D、12cm
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为4cm，即可求出菱形的周长．
解答：解：∵菱形的四条边都相等，
∴其边长都为4cm，
∴菱形的周长=4×4cm=16cm．
故选C．
点评：本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握菱形的四条边相等是解题关键．
二、填空题（共5小题）
21、菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为 16 ．
考点：一元二次方程的应用；三角形三边关系；菱形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．www.21-cn-jy.com
解答：解：∵解方程x2﹣7x+12=0
得：x=3或4
∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为4．
∴菱形ABCD的周长为4×4=16．
点评：由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．【来源：21cnj*y.co*m】
22、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为 （2+，） ．
考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
分析：根据坐标意义，点D坐标与垂线段有关，过点D向X轴垂线段DE，则OE、DE长即为点D坐标．
解答：解：过点D作DE⊥X轴，垂足为E在RT△CDE中，CD=2
∴CE=DE=
∴OE=OC+CE=2+
∴点D坐标为（2，）．
点评：此题主要考查坐标意义及坐标与垂线段关系，同时考查等腰直角三角形知识．
23、如图，四边形ABCD是周长为20cm的菱形，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标为 （0，3） ．
24、如图，小鱼的鱼身ABCD为菱形，已知鱼身长BD=8，AB=5，以BD所在直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，则点C的坐标为 （0，﹣3） ．21世纪教育网版权所有
考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：代数几何综合题。
分析：由菱形性质可知：此平面直角坐标系建立在对角线上，且原点是对角线交点．点C在Y轴负半轴上，根据勾股定理可求出OC长，即解．21教育名师原创作品
解答：解：∵四边形ABCD是菱形
∴BD⊥AC，BC=AB=5，OB=BD=×8=4
∴OC==3
∴点D的坐标为（0，﹣3）．
故答案为（0，﹣3）．
点评：此题为作图题，考查动手画图能力；另外，还考查菱形性质和平面直角坐标系性质．
25、菱形的四个顶点都在坐标轴上，已知其中两个顶点的坐标分别是（3，0），（0，4），则另两个顶点的坐标是 （﹣3，0），（0，﹣4） ．
考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：代数几何综合题。
分析：根据菱形对角线垂直平分的性质及轴对称性求解．
解答：解：菱形的四个顶点都在坐标轴上，所以坐标原点在两对角线的交点上．
又因菱形对角线垂直平分，因而另两个顶点的坐标是（﹣3，0），（0，﹣4）．
故答案为（﹣3，0），（0，﹣4）．
点评：考查菱形的性质与坐标与图形性质．
三、解答题（共5小题）
26、求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
考点：四点共圆；菱形的性质。
专题：证明题。
分析：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．
解答：已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，
而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴OM=ON=OP=OQ=AB，
∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．
所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
点评：本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
27、知识背景：某纸箱厂要做一种双层上盖的长方体纸箱（如纸箱示意图所示），因此做成后其上盖所需纸板面积刚好等于底面面积的2倍．
（1）实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是宽与长的比为3：5的长方形，体积为0.3立方米．
①按方案1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？
②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．
（2）拓展思维：某客商觉得这种规格的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为该客商的要求能办到吗？请说明理由．
（2）∵将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半时，
∴边长为：0.5，0.3，底面积将变为：0.3×0.5=0.15，
将变为原来的，高再变为原来的一半时，体积将变为原来的，
∴水果商的要求不能办到．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及正方形性质与菱形性质等知识，根据题意得出DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=12CD=0.3，WQ=MK=12AD=12是解决问题的关键．
28、（1）解方程+=2；
（2）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．求证：△ABE≌△ACF．
29、一个菱形、相邻的内角比是1：2，对角线长是6，取两条对角线所在的直线为坐标轴，求四个顶点坐标．
考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：分类讨论。
分析：本题应分两种情况讨论，当AC=6，或BC=6两种情况讨论．
解答：解：当AC=6时，A（﹣3，0），C（3，0），又内角比为1：2，
∴B（0，﹣），D（0，）
或当BD=6时，B（0，﹣3），D（0，3），又内角比为1：2，
∴C（，0），A（﹣，0）．
故答案为A（﹣3，0），B（0，﹣），C（3，0），D（0，）或A（﹣，0），B（0，﹣3），C（，0），D（0，3）．
点评：菱形的问题可以转化为直角三角形的问题．
30、如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，
（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形，并写出点D的坐标 （﹣2，1） ．
（2）线段BC的长为 ，菱形ABCD的面积等于 15
考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：作图题；网格型。
分析：（1）菱形要求四边相等，根据AB，BC的位置及长度可确定D点位置及坐标，如图所示；
（2）在网格中，运用勾股定理求BC、对角线AC，BD的长度，再计算面积．
解答：（1）解：正确画出图（4分）
D（﹣2，1）（5分）
（2）解：BC==（6分）
AC==3，BD==5
∴S菱形ABCD=AC×BD=×3×5=15． （9分）
故答案为（﹣2，1），，15．
点评：本题考查了菱形的性质，图形画法，菱形面积的求法及勾股定理的运用，需要形数结合，培养学生动手能力．
