正方形的判定
一、选择题（共20小题）
1、下列说法错误的是（ ）
A、分式方程=的解x=1 B、站在M处看N处在北偏东30°的方向上，那么站在N处看M处在南偏西60°的方向上21教育网
C、已知M=，N=（x≠±1），那么M与N互为相反数 D、四边都相等的四边形是正方形
2、在直角坐标系内顺次连接下列各点，不能得到正方形的是（ ）
A、（﹣2，2）（2，2）（2，﹣2）（﹣2，﹣2）（﹣2，2） B、（0，0）（2，0）（2，2）（0，2）（0，0）
C、（0，0）（0，2）（2，﹣2）（﹣2，0）（0，0） D、（﹣1，﹣1）（﹣1，1）（1，1）（1，﹣1）（﹣1，﹣1）
3、如图，用一平面竖直地去截放在桌面上的圆柱，下列结论正确的有（ ）个．
①截面呈正方形 ②AD∥BC，AB∥CD③AB⊥BC，AD⊥AB ④AD=BC，AB=CD．
A、一 B、二
C、三 D、四
4、下面四个命题：①等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等；②菱形的面积等于两条对角线的乘积；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°．
其中不正确的命题的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
5、下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；
（2）如果a≥0，那么=a
（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；
（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
其中不正确命题的个数是（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
6、顺次连接某个四边形各边中点得到一个正方形，则原四边形一定是（ ）
A、正方形 B、对角线互相垂直的等腰梯形
C、菱形 D、对角线互相垂直且相等的四边形
7、A′、B′、C′、D′顺次为四边形ABCD各边的中点，下面条件使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是（ ）
A、四边形ABCD是矩形 B、四边形ABCD是菱形
C、四边形ABCD是等腰梯形 D、四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC=BD
8、下列说法错误的个数是（ ）
①无理数是无限小数；②的平方根是±2；③对角线相等的菱形是正方形；④；⑤任意三角形不能够进行密铺；⑥与数轴上的点一一对应的数是实数（ ）21cnjy.com
A、1 B、2
C、3 D、4
9、对角线互相平分且相等的四边形是 （ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
10、下列命题是真命题的是（ ）
A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线相等的四边形是矩形
C、一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形 D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
11、下列说法正确的是（ ）
A、有两边相等的平行四边形是菱形 B、有一个角是直角的四边形是矩形
C、四个角相等的菱形是正方形 D、任何正多边形都可以密铺
12、下列命题中，正确命题是（ ）
A、两条对角线相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形
C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形 D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形
13、下列命题中，真命题是（ ）
A、两条对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线垂直且相等的四边形是正方形
C、两条对角线相等的四边形是矩形 D、两条对角线相等的平行四边形是矩形
14、对角线互相垂直且相等的四边形是（ ）
A、菱形 B、矩形
C、正方形 D、以上结论都不对
15、下列判断中错误的是（ ）
A、平行四边形的对边平行且相等 B、四条边都相等且四个角也都相等的四边形是正方形
C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线相等的平行四边形是矩形
16、下列说法正确的是（ ）
A、有一个角是直角，且对角线相等的四边形是矩形 B、两组邻边相等的四边形是菱形
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D、对角线互相平分且相等的四边形是正方形
17、下列说法错误的是（ ）
A、顺次连接梯形各边中点所得的四边形是菱形 B、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
C、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 D、顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形
18、顺次连接矩形形各边的中点所得的四边形是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、不能确定
19、下列说法中错误的是（ ）
A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形
C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D、两条对角线相等的菱形是正方形
20、下列说法中，不正确的是（ ）
A、有三个角是直角的四边形是矩形 B、对角线相等的四边形是矩形
C、对角线互相垂直的矩形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
二、填空题（共5小题）
21、将边长为5的正方形的每条边五等分，连接相应的分点，如图所示，则图中所有正方形的个数为 _________ ．
22、在直角坐标系中，A点的坐标为（﹣1，2），AB=5，且AB∥x轴，以四点A、B、C、D组成长方形ABCD，CB=3．则点C的坐标为 _________ ．21·cn·jy·com
23、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE= _________ ．www.21-cn-jy.com
24、用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包括矩形、菱形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的图形是 _________ ．（填序号）
25、给出下列命题：①顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题的序号是 _________ （请把所有真命题的序号都填上）．2·1·c·n·j·y
三、解答题（共5小题）
26、如图①，在等腰直角三角板ABC中，斜边BC为2个单位长度，现把这块三角板在平面直角坐标系xOy中滑动，并使B、C两点始终分别位于y轴、x轴的正半轴上，直角顶点A与原点O位于BC两侧．21·世纪*教育网
（1）取BC中点D，问OD+DA是否发生改变，若会，说明理由；若不会，求出OD+DA；
（2）你认为OA的长度是否会发生变化？若变化，那么OA最长是多少？OA最长时四边形OBAC是怎样的四边形？并说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）填空：当OA最长时A的坐标（ _________ ， _________ ），直线OA的解析式 _________ ．
27、（1）如图1，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交AD于点F．求证：①△ADE≌△ADC；②四边形CDEF是菱形；21世纪教育网版权所有
（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延长线于点D，在AB的反向延长线上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交AD的反向延长线于点F．四边形CDEF还是菱形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；www-2-1-cnjy-com
（3）在（2）的条件下，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，直接写出此时△ABC
中∠BAC与∠B的关系；如果不能，请直接回答问题，不必说明理由．
28、如图所示，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AE⊥BC于E，△ADF是△ABE绕着点A按逆时针方向旋转90°得到的．2-1-c-n-j-y
（1）F、D、C三点共线吗？说出理由；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（3）若AE=8cm，求四边形ABCD的面积．
29、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BM平分∠ABC交AC于点M，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F．试判断四边形EBFM的形状，并加以证明． 21*cnjy*com
30、如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．
正方形的判定与性质
一、选择题（共5小题）
1、如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
A、3 B、2
C、4 D、8
2、如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（ ）
A、40 B、25
C、26 D、36
3、在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（ ）21·cn·jy·com
A、1个 B、2个
C、4个 D、无穷多个
4、△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（ ）
A、2cm，2cm，2cm B、3cm，3cm，3cm
C、4cm，4cm，4cm D、2cm，3cm，5cm
5、正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、平行四边形
二、填空题（共7小题）
6、在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=9O°，AD、BE、CF是△ABC的三条内角平分线．那么，△DEF的面积等于 _________ ．
7、现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 _________ （填写图形的形状）（如图），它的一边长是 _________ ．
8、如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 _________ ；所作的第n个四边形的周长为 _________ ．
9、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是 _________ 【来源：21·世纪·教育·网】
A、①④?⑥；B、①③?⑤；C、①②?⑥；D、②③?④
10、矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是 _________ ．
11、如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 _________ ．
12、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是 _________ cm2．
三、解答题（共18小题）
13、公园内有一个正方形的花坛（如图），花坛四角有四棵树，现在园艺设计师想把花坛的面积扩大一倍，并使扩大后的花坛还是正方形，又不想搬动四棵树，你能帮他设计吗？（请在下图中画出设计图）如果原花坛的面积是50平方米，新花坛的边长为多少？21cnjy.com
14、如图1，两个不全等的四边形ABCD、四边形CGFE是正方形，连接BG，DE．交DC于H，交CG于K21世纪教育网版权所有
（1）观察图形，①猜想BG与DE之间长度关系；②猜想BG与DE所在直线的位置关系，并证明你的猜想．
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是 _________ 形
（2）如图2，将原题中正方形改为菱形，且∠BCD=∠GCE=90°．则（1）中的①、②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 21*cnjy*com
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是 _________ 形
（3）如图3，将原题中正方形改为矩形，且BC=mCG、CD=mCE则（1）中的①、②结论是否成立？不要证明
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是 _________ 形．
15、如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的动点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F2·1·c·n·j·y
（1）求证：DE=DF；
（2）若AC丄EF试判断四边形AFCE的形状，并证明你的结论；
（3）当∠B=22.5，CA=CB时，请探索：点E在运动过程中能否使四边形成为AFCE成为正方形？若不能，请说明理由；若能，求出BC与CE的数量关系．【来源：21cnj*y.co*m】
16、请阅读下列材料：
问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．【出处：21教育名师】
探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．21教育名师原创作品
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
（1）求证：四边形BEFG是矩形；
（2）PG与PC的夹角为 _________ 度时，四边形BEFG是正方形．
理由：
17、如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．21教育网
18、如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O．www.21-cn-jy.com
（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为 _________ cm2．www-2-1-cnjy-com
19、在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．21·世纪*教育网
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为 _________ ；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．
20、（1）如图1，正方形ABCD中，E，F，GH分别为四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH．
求证：四边形EFGH为正方形．
（2）如图2，有一块边长1米的正方形钢板，被裁去长为米、宽为米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钢板边缘上，且P点在裁下的正方形一边上，问如何剪裁使得该正方形面积最大，最大面积是多少？2-1-c-n-j-y
21、操作示例：
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．【版权所有：21教育】
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．
实践与探究：
（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．
22、如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．
（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．
23、E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CM=DN，四边形EFMN是什么图形？证明你的结论．
24、如图，正方形ABCD的边长是10cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2cm/s的速度同时向点B，C，D，A运动．21*cnjy*com
（1）在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？并说明理由．
（2）运动多少秒后，四边形EFGH的面积是52cm2？
25、在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为 _________ ；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为 _________ ；位置关系为 _________ ．
26、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
27、如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．
（1）判定四边形PQEF的形状；
（2）PE是否总是经过某一定点，井说明理由；
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？
28、在如图所示的3×3的方格中，画出3个面积小于9的不同的正方形，同时要求所画正方形的顶点都在方格的顶点上，并且写出边长．
边长为 _________ 边长为 _________ 边长为 _________ ．
29、已知四边形ABCD，以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连接这四个正方形的对角线交点E，F，G，H，得到一个新四边形EFGH．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH _________ （填“是”或“不是”）正方形；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，则（1）中的结论 _________ （填“能”或“不能”）成立；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，判断（1）中的结论是否还成立？若成立，证明你的结论，若不成立，请说明你的理由．
30、如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
正方形的判定与性质
答案与评分标准
一、选择题（共5小题）
1、如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
A、3 B、2
C、4 D、8
考点：正方形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．
解答：解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ADC=∠ABC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4．
故选C．
点评：本题运用割补法，或者旋转法将四边形ABCD转化为正方形，根据面积保持不变，来求正方形的边长．
2、如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（ ）
A、40 B、25
C、26 D、36
∴大正方形的边长为5，
∴面积是25．
故选B．
点评：本题考查了正方形的性质及面积公式，难度较大，关键根据题意列出方程．
3、在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（ ）www-2-1-cnjy-com
A、1个 B、2个
C、4个 D、无穷多个
考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定。
专题：计算题。
分析：在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．
解答：解：无穷多个．如图正方形ABCD：
AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，
有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
则EH=HG=GF=FE，
另外 很容易得四个角均为90°
则四边形EHGF为正方形．
故选D．
点评：本题考查了正方形的判定与性质，难度适中，利用三角形全等的判定证明EH=HG=GF=FE．
4、△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（ ）21教育名师原创作品
A、2cm，2cm，2cm B、3cm，3cm，3cm
C、4cm，4cm，4cm D、2cm，3cm，5cm
点评：本题主要考查垂直平分线上的点到线段两段的距离相等的性质和边的和差关系．
5、正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、平行四边形
考点：正方形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的判定。
分析：连接AC、BD，根据正方形的性质求出AC=BD，AC⊥BD，根据三角形的中位线定理求出EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，EH=AC，推出EF=EH，EF⊥EH，四边形EFGH是平行四边形即可得出答案．
解答：解：连接AC、BD，交于O，
∵正方形ABCD，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∵E是AD的中点，H是CD的中点，F是AB的中点，G是BC的中点，
∴EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，EH=AC，
∴EF=EH，EF⊥EH，四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是正方形．
故选C．
点评：本题主要考查对平行四边形的判定，正方形的性质和判定，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
二、填空题（共7小题）
6、在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=9O°，AD、BE、CF是△ABC的三条内角平分线．那么，△DEF的面积等于 ．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：过F点作FQ⊥AC，过E点⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，过D点作DH⊥AC．求证四边形NBME是正方形，设NE=x1，根据S四边形NBME+S△ANE+S△CEM=S△ABC，解得x1=；设BF=x2．根据S△AFQ+2S△BFC=S△ABC，解得x2=，同理解得，x3=，然后利用∴S△DEF=S△ABC﹣S△AEF﹣S△BFD﹣S△CDE，将所得数值代入即可．【版权所有：21教育】
解答：解：过F点作FQ⊥AC，过E点⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，过D点作DH⊥AC．
设NE=x1，
∵BE平分∠B，且∠B=9O°，
∴四边形NBME是正方形，
则S四边形NBME+S△ANE+S△CEM=S△ABC，
则x12+x1（4﹣x1）+x1（3﹣x1）=×12，
解得，x1=；
设BF=x2．根据CF是∠C平分线，可得△QFC≌△BFC，
则S△AFQ+2S△BFC=S△ABC，
则x2×1+2（x2×4）=×12，
解得，x2=，
则AF=AB﹣x2=；
设BD=x3，
同理解得，x3=，
则CD=4﹣=，
∴S△DEF=S△ABC﹣S△AEF﹣S△BFD﹣S△CDE
=AB?BC﹣AF?NE﹣BF?FD﹣CD?EM
=6﹣（×）﹣（×）﹣（×）
=．
故答案为：．
点评：本题主要考查学生对角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识点的灵活运用，此题涉及到的知识点较多，需要做多条辅助线，计算步骤繁琐，要特别仔细认真，稍有疏忽就出错，属于难题．
7、现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 正方形 （填写图形的形状）（如图），它的一边长是 cm ．
考点：正方形的判定与性质。
分析：延长小正方形的一边交大正方形于一点，连接此点与距大正方形顶点8cm处的点，构造直角边长为8的等腰直角三角形，将小正方形的边长转化为等腰直角三角形的斜边长来求解即可．
解答：解：如图，作AB平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点，
∴△ABC为直角边长为8cm的等腰直角三角形，
∴AB=AC=8，
∴阴影正方形的边长=AB=8cm．
故答案为：正方形，cm．
点评：本题考查了正方形的性质与勾股定理的知识，题目同时也渗透了转化思想．
8、如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ． ；所作的第n个四边形的周长为 ． ．
考点：正方形的判定与性质；三角形中位线定理。
专题：规律型。
分析：根据正方形的性质以及三角形中位线的定律，求出第二个，第三个的周长，从而发现规律，即可求出第n个四边形的周长．
解答：解：根据三角形中位线定理得，第二个四边形的边长为=，周长为2，
第三个四边形的周长为=4，
第n个四边形的周长为4，
故答案为，4．
点评：本题考查了正方形的性质以及三角形中位线的定律，以及正方形的周长的求法，难度较大．
9、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是 C
A、①④?⑥；B、①③?⑤；C、①②?⑥；D、②③?④
考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解答：解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；
B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；
C、由①②不能判断四边形是正方形；
D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．
故选C．
点评：此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形．灵活掌握这些判定定理是解本题的关键．
10、矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是 24cm2 ．
11、如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 9 ．
考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。
专题：综合题。
分析：由ABCD为正方形，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，又根据CG与BE垂直得到∠BCG+∠CBG=90°，根据同角的余角相等得到一对角相等，又根据一对直角相等，利用“AAS”即可得到三角形BCG与三角形FBA全等，根据全等三角形的对应边相等得到AF与BG相等，又因为FH=FB，从而得到AH=FG，然后由垂直得到一对直角相等，加上一个公共角，得到三角形APH与三角形ABF相似，根据相似得比例，设AH=FG=x，用x表示出PH，由四边形PHFB一组对边平行，另一组对边不平行得到此四边形为梯形，根据梯形的面积公式，由上底PH，下底为BF=3，高FH=3，表示出梯形的面积；然后在三角形BCG与三角形ECG中，根据同角的余角相等，再加上一对直角得到两三角形相似，根据相似得比例，用含x的式子表示出GE，由CG=3，利用表示出的GE，利用三角形的面积公式表示出直角三角形CGE的面积，把表示出的两面积相加，化简即可得到值．
解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，
又CG⊥BE，即∠BGC=90°，
∴∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠ABF=∠BCG，
又AF⊥BG，
∴∠AFB=∠BGC=90°，
∴△ABF≌△BCG，
∴AF=BG，BF=CG=FH=3，
又∵FH=BF，
∴AH=FG，设AH=FG=x，
∵PH⊥AF，BF⊥AF，
∴∠AHP=∠AFB=90°，又∠PAH为公共角，
∴△APH∽△ABF，
∴=，即PH=，
∵FH∥BF，BP不平行FH，
∴四边形BFHP为梯形，其面积为=+；
又∵∠BCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠BEC=90°，
∴∠BCG=∠BEC，又∠BGC=∠CGE=90°，
∴△BCG∽△CEG，
∴=，即GE=，故Rt△CGE的面积为×3×，
则则△CGE与四边形BFHP的面积之和为++=+=9．
故答案为：9
点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，此题的综合性比较强，常常综合了多个考点和数学思想方法，因而解答时需“分解题意”，即将一个大问题分解为一个一个的小问题，从而解决问题．21世纪教育网版权所有
12、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是 cm2．
考点：旋转的性质；正方形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，由以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，根据旋转的性质得∠KPH=90°，∠KGH=90°，得∠MPN=90°，易证Rt△PCM≌Rt△PFN，得到PM=PN，则四边形PMGN为正方形，Rt△PNK≌Rt△PMH，由PM∥AB，PM：AB=CP：CB，得到，于是．
解答：解：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，如图，
∵以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，
∴∠KPH=90°，∠KGH=90°，
∴∠MPN=90°，
∴∠KPN=∠MPH，
∵PC=PF，∠C=∠F，
∴Rt△PCM≌Rt△PFN，
∴PM=PN，
∴四边形PMGN为正方形，Rt△PNK≌Rt△PMH，
∴S重叠部分=S正方形PMGN，
∵∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴BC=10，
而PB=6，则PC=4，
又∵PM∥AB，
∴PM：AB=CP：CB，
∴，
∴．
故答案为．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质．
三、解答题（共18小题）
13、公园内有一个正方形的花坛（如图），花坛四角有四棵树，现在园艺设计师想把花坛的面积扩大一倍，并使扩大后的花坛还是正方形，又不想搬动四棵树，你能帮他设计吗？（请在下图中画出设计图）如果原花坛的面积是50平方米，新花坛的边长为多少？
考点：一元二次方程的应用；正方形的判定与性质。
专题：应用题；作图题。
分析：如果设正方形ABCD表示原花坛，连接两对角线AC、BD，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，得到四边形EFGH，根据正方形的判定，容易证明四边形EFGH为正方形，且面积是原正方形ABCD面积的两倍；根据等量关系：新花坛的面积=原花坛的面积×2，列出方程．
14、如图1，两个不全等的四边形ABCD、四边形CGFE是正方形，连接BG，DE．交DC于H，交CG于K
（1）观察图形，①猜想BG与DE之间长度关系；②猜想BG与DE所在直线的位置关系，并证明你的猜想．
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是 正方 形
（2）如图2，将原题中正方形改为菱形，且∠BCD=∠GCE=90°．则（1）中的①、②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是 正方 形
（3）如图3，将原题中正方形改为矩形，且BC=mCG、CD=mCE则（1）中的①、②结论是否成立？不要证明
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是 矩 形．
（3）答：①不成立，②成立，
故答案：矩．
点评：本题主要考查对三角形的中位线定理，正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直的定义，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
15、如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的动点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F
（1）求证：DE=DF；
（2）若AC丄EF试判断四边形AFCE的形状，并证明你的结论；
（3）当∠B=22.5，CA=CB时，请探索：点E在运动过程中能否使四边形成为AFCE成为正方形？若不能，请说明理由；若能，求出BC与CE的数量关系．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据AF∥BE，利用两直线平行，内错角相等可得∠FAC=∠ACE，然后证明△AFD与△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFCE是平行四边形，然后根据平行四边形对角线互相平分即可得证；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定；
（3）先根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACE的度数是45°，四边形成为AFCE成为正方形，则AE⊥BE，根据等腰直角三角形的性质，AC=AE，即BC=AE．
解答：（1）证明：∵AF∥BE，
∴∠FAC=∠ACE，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
在△AFD与△ECD中，，
∴△AFD≌△ECD（ASA），
∴AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DE=DF；
（2）解：是菱形．
理由如下：∵AC丄EF，四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；
（3）能．
理由如下：∵∠B=22.5°，CA=CB，
∴∠BAC=∠B=22.5°，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=22.5°×2=45°，
∵四边形AFCE为正方形，
∴AE⊥CE，
∴Rt△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=CE，
故BC=CE，
故当BC=CE时，点E在运动过程中能否使四边形成为AFCE成为正方形．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，是综合题，但难度不大，只要仔细分析图形，并熟练掌握各定理与性质是解题的关键．
16、请阅读下列材料：
问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．【出处：21教育名师】
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
（1）求证：四边形BEFG是矩形；
（2）PG与PC的夹角为 90 度时，四边形BEFG是正方形．
理由：
（2）90°；（4分）
理由：延长GP交DC于点H，
∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，（5分）
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
∴△DHP≌△FGP，
∴HP=GP，（6分）
当∠CPG=90°时，∠CPH=CPG，
∵CP=CP，
∴△CPH≌△CPG，
∴CH=CG，（7分）
∵正方形ABCD中，DC=BC，
∴DH=BG，（8分）
∵△DHP≌△FGP，
∴DH=GF，
∴BG=GF，
∴?BEFG是菱形，（9分）
由（1）知四边形BEFG是矩形，
∴四边形BEFG是正方形．（10分）
点评：此题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性比较强，解题时要注意数形结合思想的应用．21·cn·jy·com
17、如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．21·世纪*教育网
18、如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O．
（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为 1 cm2．
考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。
专题：证明题；操作型。
分析：（1）先证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，可得出四边形GHEF是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形GHEF是正方形．21cnjy.com
（2）根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（因为正方形GHEF的对角线翻到了外边，做了新拼成的正方形的边长），利用勾股定理可得边长是，它的面积是10．减去正方形ABCD的面积就是阴影部分的面积．
解答：解：（1）四边形EFGH是正方形．（1分）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵HA=EB=FC=GD，
∴AE=BF=CG=DH，（2分）
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，（3分）
∴EF=FG=GH=HE，（4分）
∴四边形EFGH是菱形，（5分）
∵△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，（6分）
∴四边形EFGH是正方形．（7分）
（2）∵HA=EB=FC=GD=1，AB=BC=CD=AD=3，
∴GF=EF=EH=GH=，
根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（设边长为a），并且拼成的正方形的边长为正方形GHEF的对角线，根据勾股定理，∴a=，其面积=，
∴S阴影=10﹣S正方形GHEF=10﹣9=1．
点评：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定的综合运用．
19、在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．
（2）如图，正方形GFEO的面积为1，当重合的面积为正方形GFEO的面积的一半时，有两种情况：
①四边形OSCB的面积为时，易证得四边形ACDO为正方形，△ABC≌△DSC，有四边形OSCB的面积与正方形ACDO的面积相等，故有OD=OA=即点C的坐标为（，）．
②四边形FSCB的面积为时，易证得四边形ACDF为正方形，△ABC≌△DSC，有四边形FSCB的面积与正方形ACDO的面积相等，故有AD=FA=即点C的坐标为（1﹣，1﹣）．
点评：本题利用了正方形的判定和性质，三角形的面积公式求解．
20、（1）如图1，正方形ABCD中，E，F，GH分别为四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH．
求证：四边形EFGH为正方形．
（2）如图2，有一块边长1米的正方形钢板，被裁去长为米、宽为米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钢板边缘上，且P点在裁下的正方形一边上，问如何剪裁使得该正方形面积最大，最大面积是多少？
（2）解：如图，设原正方形为ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且EH过点P．
设AH=x，则AE=1﹣x．
∵MP∥AH，
∴，（6分）
整理得12x2﹣11x+2=0，
解得，（7分）
当时，S正方形EFGH=，
当时，S正方形EFGH=，
∴当BE=DG=米，BF=DH=米时，裁下正方形面积最大，面积为米2．（9分）
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
21、操作示例：
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．
实践与探究：
（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．
考点：正方形的判定与性质。
专题：操作型。
分析：（1）首先证明四边形MNED是矩形，然后依题意可证出四边形MNED是正方形．根据勾股定理可得正方形MNED的面积．21*cnjy*com
过点N做NP⊥BE，然后根据全等三角形的判定求得．
（2）由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，所以可得出一个正方形．
解答：解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形．
在Rt△ADM与Rt△CDE中，
∵AD=CD，又∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，
∴DM=DE
∴四边形MNED是正方形．
∵DE2=CD2+CE2=a2+b2，
∴正方形MNED的面积为a2+b2；
②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图
可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等．
所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．
（2）答：能．
理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，依此类推．由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n﹣1）次拼接，得到一个正方形．
点评：本题考查的是正方形的性质以及正方形的判定定理．
22、如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．
（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．
考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。
专题：动点型。
分析：（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，故可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否使正方形．2-1-c-n-j-y
（2）证PE是否过定点时，可连接AC，证明四边形APCE为平行四边形，即可证明PE过定点．
解答：解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．
∵∠FPQ=90°，
∴四边形PQEF为正方形．
（2）连接AC交PE于O，
∵AP平行且等于EC，
∴四边形APCE为平行四边形．
∵O为对角线AC的中点，
∴对角线PE总过AC的中点．
点评：在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线．【来源：21·世纪·教育·网】
23、E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CM=DN，四边形EFMN是什么图形？证明你的结论．
24、如图，正方形ABCD的边长是10cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2cm/s的速度同时向点B，C，D，A运动．
（1）在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？并说明理由．
（2）运动多少秒后，四边形EFGH的面积是52cm2？
考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
分析：（1）设出运动时间，表示出AE，BF，CG，DH的长度，可知AE=BF=CG=DH，由题意即可推出BE=CF=DG=AH，可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，即可推出四边形EFGH是菱形，通过求∠HEF=90°即可推出结论，（2）设运动时间为x，依据勾股定理推出，EH2=AE2+AH2=8x2﹣40x+100，由S四边形EFGH=EH2=52，列出方程8x2﹣40x+100=52，解方程即可推出x的值，x的值需符合2x≤10．
解答：（1）四边形EFGH是正方形．
解：设运动时间为t，
∴AE=BF=CG=DH=2t，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° AB=BC=CD=DA=10cm，
∴BE=CF=DG=AH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EH=EF=FG=HG，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△AEH≌△BFE，
∴∠AEH=∠EFB，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
（2）设运动时间为xs，
∵点E，F，G，H的运动速度为2cm/s，
∴AE=BF=CG=DH=2x，
∵AB=BC=CD=DA=10cm，BE=CF=DG=AH，
∴BE=CF=DG=AH=10﹣x，
由勾股定理可得：EH2=AE2+AH2=（2x）2+（10﹣2x）2=8x2﹣40x+100，
∵S四边形EFGH=EH2，
∴当S=52cm2时，
8x2﹣40x+100=52，
∴x2﹣5x+6=0，
∴（x﹣2）（x﹣3）=0，
∴x1=2，x2=3，
∵当x1=2时，2t=2×2=4cm＜10cm，
当 x2=3时，2t=2×3=6cm＜10cm，
∴x=2或x=3，
答：运动2秒或3秒后，四边形EFGH的面积是52cm2．
点评：本题主要考查正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键在于：（1）求证菱形EFGH的一个内角等于90°，（2）熟练运用勾股定理，用含x的表达式表示出EH2．2·1·c·n·j·y
25、在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为 OE=OF ；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为 OE=OF ；位置关系为 OE⊥OF ．
考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；平移的性质。
分析：（1）根据利用正方形的性质和直角三角形的性质即可判定四边形BEOF为正方形，从而得到结论；
（2）当移动到点P的位置时，可以通过证明四边形BEPF为矩形来得到两条线段的数量关系；
（3）继续变化，有相同的关系，其证明方法也类似．
解答：（1）解：OE=OF（相等）；（1分）
（2）解：OE=OF，OE⊥OF；（3分）
证明：连接BO，
∵正方形ABCD，O为AC中点，
∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，（4分）
∵PF⊥BC，∠BCO=45°，
∴∠FPC=45°，PF=FC．
∵正方形ABCD，∠ABC=90°，
∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠PEB=∠PFB=90°．
∴四边形PEBF是矩形，
∴BE=PF．（5分）
∴BE=FC．
∴△OBE≌△OCF，
∴OE=OF，∠BOE=∠COF，（7分）
∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∴∠EOF=90°，
∴OE⊥OF．（8分）
（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．（10分）
点评：本题考查了正方形的性质，解题的关键是抓住动点问题，化动为静，还要大胆的猜想．
26、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．21教育网
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。
分析：（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；
（2）证明思路同（1）
解答：（1）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；
（2）PB=PQ，
证明：
过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．
点评：此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想．
27、如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）判定四边形PQEF的形状；
（2）PE是否总是经过某一定点，井说明理由；
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？
（2）连接PE，连接AC交PE于O，
∵AP平行且等于EC，
∴四边形APCE为平行四边形．
又∵O为对角线AC的中点，
∴对角线PE总过AC的中点；
（3）正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，
当OP⊥AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半，
当P与顶点B重合时，面积最大，其最大面积等于正方形ABCD的面积．
点评：在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线．www.21-cn-jy.com
28、在如图所示的3×3的方格中，画出3个面积小于9的不同的正方形，同时要求所画正方形的顶点都在方格的顶点上，并且写出边长．
边长为 1 边长为 2 边长为 ．
考点：正方形的判定与性质；勾股定理。
专题：常规题型。
分析：根据网格特点，构造出正方形只要是不完全覆盖3×3的方格，就是符合要求的正方形，然后根据勾股定理求出边长即可．
解答：解：如图，都是面积小于9的正方形，图1中正方形的边长为1，
图2中正方形的边长为2，
图3中正方形的边长为=，
图4中正方形的边长为=．
只要任选3个即可．
点评：本题考查了正方形的判定与性质，熟练掌握并利用网格是解题的关键．
29、已知四边形ABCD，以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连接这四个正方形的对角线交点E，F，G，H，得到一个新四边形EFGH．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH 是 （填“是”或“不是”）正方形；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，则（1）中的结论 能 （填“能”或“不能”）成立；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，判断（1）中的结论是否还成立？若成立，证明你的结论，若不成立，请说明你的理由． 21*cnjy*com
考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质。
专题：证明题。
分析：（1）（2）连接EG，FH，可证明EG与FH平分垂直且相等；
（3）连接EF、FG、GH、HE、AE、AH、DG、DH，由四边形ABCD是平行四边形，得AH=DH，再证明△HDG≌△HAE，则HG=HE且∠EHA=∠GHD，同理可证HE=EF=FG，即可得出四边形EFGH是菱形．又因为点H是正方形的对角线的交点，则∠EHG=90°，即可证明四边形EFGH是正方形．
解答：解：（1）是；
连接EG，FH，
∵E，F，G，H分别是四个正方形对角线的交点，
∴EG与FH平分、垂直且相等，
∴四边形EFGH 是正方形；
（2）能；
连接EG，FH，
∵E，F，G，H分别是四个正方形对角线的交点，
∴EG与FH平分，EG=FH，EG⊥FH，
∴四边形EFGH 是正方形；
（3）证明：连接EF、FG、GH、HE、AE、AH、DG、DH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
即以ABCD为边的正方形的对角线也相等，
∵点E、G是上述两个正方形的对角线的交点，
∴AH=DH，
易知∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG+45°=90°+∠ADC，
∵平行四边形ABCD中，有∠BAD=180°﹣∠ADC，
∴∠HAE=360°﹣（∠HAD+∠BAD+∠BAE）=360°﹣[45°+（180°﹣∠ADC）+45°]=90°+∠ADC，
∴∠HDG=∠HAE，
∴△HDG≌△HAE，
∴HG=HE且∠EHA=∠GHD，
同理可证HE=EF=FG，
∴四边形EFGH是菱形，
∵点H是正方形的对角线的交点，
∴∠AHD=90°，即∠AHG+∠GHD=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定以及平行四边形、矩形的性质，是一道综合性的题目，难度不大，要熟练掌握．
30、如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。
分析：（1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；
（2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可．
解答：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
∵AF=AE，
∴△ADE≌△ABF，
∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时，四边形AEBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE，
又∵AE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
点评：本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质．
正方形的判定
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列说法错误的是（ ）
A、分式方程=的解x=1 B、站在M处看N处在北偏东30°的方向上，那么站在N处看M处在南偏西60°的方向上21·cn·jy·com
C、已知M=，N=（x≠±1），那么M与N互为相反数 D、四边都相等的四边形是正方形
考点：分式的加减法；解分式方程；方向角；正方形的判定。
专题：计算题。
分析：根据方程的解、方位角的概念及正方形的定义，利用排除法求解．
解答：解：A、原方程可化为﹣=0，即=0，
解得x=1，经检验x=1是原方程的解，故本选项正确；
B、站在M处看N处在北偏东30°的方向上，那么站在N处看M处在南偏西60°的方向上，故本选项正确；
C、∵M=﹣=﹣，N=（x≠±1），故M与N互为相反数，故本选项正确；
D、四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故本选项错误；
故选D．
点评：此题比较复杂，涉及到分式的加减法，方向角及正方形的性质，需同学们熟练掌握．
2、在直角坐标系内顺次连接下列各点，不能得到正方形的是（ ）
A、（﹣2，2）（2，2）（2，﹣2）（﹣2，﹣2）（﹣2，2） B、（0，0）（2，0）（2，2）（0，2）（0，0）
C、（0，0）（0，2）（2，﹣2）（﹣2，0）（0，0） D、（﹣1，﹣1）（﹣1，1）（1，1）（1，﹣1）（﹣1，﹣1）
考点：坐标与图形性质；正方形的判定。
专题：操作型。
分析：可用画图法，依次画出各点并连接可得到答案．
解答：解：通过画图分析，得出各个选项的图形，再进行选择，从而应选C．
点评：考查学生的动手能力，画图即可很快得到答案．
3、如图，用一平面竖直地去截放在桌面上的圆柱，下列结论正确的有（ ）个．
①截面呈正方形 ②AD∥BC，AB∥CD③AB⊥BC，AD⊥AB ④AD=BC，AB=CD．
A、一 B、二
C、三 D、四
4、下面四个命题：①等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等；②菱形的面积等于两条对角线的乘积；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°．
其中不正确的命题的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的判定。
分析：等腰三角形的中线，角平分线，高三线合一．
解答：解：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，故①正确．
菱形的面积等于对角线乘积的一半，故②错误．
对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形，故③错误．
三角形的三个内角中至少有一个内角不小于60°．故④正确．
故选B．
点评：本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，以及菱形和正方形的性质和判定．21·世纪*教育网
5、下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；
（2）如果a≥0，那么=a
（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；
（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
其中不正确命题的个数是（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
考点：勾股定理；二次根式的性质与化简；点的坐标；全等三角形的判定；正方形的判定。
分析：（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定谁是斜边谁是直角边，大的一条还可能是斜边，所以第三边长不唯一；
（2）正确，符合二次根式的意义；
（3）由于点P（a，b）在第三象限，由此得到a、b的取值范围，然后利用它们的取值范围即可得到结果；正确
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形；
（5）可以利用全等三角形的判定定理证明是否正确．
解答：解：（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；
（2）符合二次根式的意义，命题正确；
（3）∵点P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限，故命题正确；
（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的．
故选B．
点评：需注意没有明确告知两条边都是直角边，故大的一条还可能是斜边．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
6、顺次连接某个四边形各边中点得到一个正方形，则原四边形一定是（ ）
A、正方形 B、对角线互相垂直的等腰梯形
C、菱形 D、对角线互相垂直且相等的四边形
7、A′、B′、C′、D′顺次为四边形ABCD各边的中点，下面条件使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是（ ）
A、四边形ABCD是矩形 B、四边形ABCD是菱形
C、四边形ABCD是等腰梯形 D、四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC=BD
考点：三角形中位线定理；正方形的判定。
分析：根据正方形、矩形、菱形、等腰梯形的性质．相邻两边的中点的连线段可形成中位线得到线段之间特殊的数量关系和位置关系（平行）．
解答：解：A、顺次连接矩形的四边中点得到菱形，故A不正确；
B、顺次连接菱形的四边中点得到矩形，故B错误；
C、顺次连接对角线互相垂直的等腰梯形的四边中点才能得到正方形，故C不正确；
D、顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点能得到正方形，故D正确．
故选D．
点评：本题考查了正方形的概念性质和判定，考查了中点四边形，各图形性质及之间的相互联系，对角线之间的关系．
8、下列说法错误的个数是（ ）
①无理数是无限小数；②的平方根是±2；③对角线相等的菱形是正方形；④；⑤任意三角形不能够进行密铺；⑥与数轴上的点一一对应的数是实数（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：平面镶嵌（密铺）；平方根；无理数；实数与数轴；正方形的判定。
分析：根据无理数、平方根的定义，正方形的判定，二次根式的性质，平面图形镶嵌的条件，数轴上的点与实数的对应关系作答．
解答：解：①无理数是无限小数，正确；
②的平方根是±，错误；
③对角线相等的菱形是正方形，正确；
④=，错误；
⑤任意三角形能够进行密铺，错误；
⑥与数轴上的点一一对应的数是实数，正确．
错误的一共有3个．
故选C．
点评：本题综合考查了无理数、平方根的定义，正方形的判定，二次根式的性质，平面图形镶嵌的条件，数轴上的点与实数的对应关系．【来源：21cnj*y.co*m】
9、对角线互相平分且相等的四边形是 （ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
10、下列命题是真命题的是（ ）
A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线相等的四边形是矩形
C、一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形 D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：根据平行四边形的判定定理求解：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（不可直接证明为平行四边形）21世纪教育网版权所有
矩形的判定定理：四个角都是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形，
对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形．
解答：解：A、根据平行四边形定理得出A为假命题，故A错误；
B、根据平行四边形定理得出B为假命题，故B错误；
C、根据平行四边形定理得出C是真命题，故C正确；
D、根据平行四边形定理得出D是假命题，故D错误．
故选C．
点评：本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定定理，是基础知识要熟练掌握．
11、下列说法正确的是（ ）
A、有两边相等的平行四边形是菱形 B、有一个角是直角的四边形是矩形
C、四个角相等的菱形是正方形 D、任何正多边形都可以密铺
考点：菱形的判定；平面镶嵌（密铺）；矩形的判定；正方形的判定。
专题：计算题。
分析：根据菱形、矩形、正方形的性质和判定来判断．
解答：解：A、错误，应为有一组邻边相等的平行四边形才是菱形；
B、错误，只有一个角是直角的四边形不一定是矩形；
C、正确；
D、错误，只有正三角形、正四边形和正六边形能够密铺，其它正多边形都不可以密铺平面．
故选C．
点评：考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．
12、下列命题中，正确命题是（ ）
A、两条对角线相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形
C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形 D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形
考点：菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：根据特殊平行四边形的性质进行判断，对角线平分的四边形是平行四边形；
对角线平分且相等的四边形是矩形；
对角线平分且垂直的四边形是菱形；
对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形．
解答：解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误；
B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B错误；
C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故C正确；
D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D错误；
故选C．
点评：考查特殊平行四边形对角线的性质，一定要熟记．
13、下列命题中，真命题是（ ）
A、两条对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线垂直且相等的四边形是正方形
C、两条对角线相等的四边形是矩形 D、两条对角线相等的平行四边形是矩形
14、对角线互相垂直且相等的四边形是（ ）
A、菱形 B、矩形
C、正方形 D、以上结论都不对
考点：菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：根据菱形、矩形、正方形的判定可求．注意：这三种四边形的对角线都互相平分，这个条件不能缺．
解答：解：对角线互相垂直且相等，但不互相平分的四边形不是菱形、矩形、正方形，因为这三种四边形的对角线都互相平分．【版权所有：21教育】
故选D．
点评：考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．
15、下列判断中错误的是（ ）
A、平行四边形的对边平行且相等 B、四条边都相等且四个角也都相等的四边形是正方形
C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线相等的平行四边形是矩形
考点：菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定；正方形的判定。
分析：根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定和性质解答．
解答：解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误．故选C．
点评：熟记各特殊四边形的判定和性质是解答此类题的关键．
16、下列说法正确的是（ ）
A、有一个角是直角，且对角线相等的四边形是矩形 B、两组邻边相等的四边形是菱形
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D、对角线互相平分且相等的四边形是正方形
考点：菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：此题考查菱形，矩形，正方形的判定及其区别．
解答：解：A中对角线相等且互相平分再加一个角为直角才能判定其为矩形，而只有对角线相等并不能判定，所以A错；
B中四条边相等的四边形才是菱形，而两组邻边相等四条边部等一样不是菱形，B错；
C中对角线互相平分可得其为平行四边形，又互相垂直，所以其为菱形，C对；
D中对角线互相平分可得其为平行四边形，又相等则也只能说明其是矩形，并不能判定其为正方形，所以D错．
故选C
点评：熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定定理．
17、下列说法错误的是（ ）
A、顺次连接梯形各边中点所得的四边形是菱形 B、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
C、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 D、顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形
考点：菱形的判定；三角形中位线定理；矩形的判定；正方形的判定。
分析：根据三角形的中位线定理可证明：顺次连接四边形的各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．
根据上述结论进行判断即可．
解答：解：A中，梯形的对角线不一定相等或垂直，所以得到的只能说是平行四边形，错误；
B中，菱形的对角线互相垂直，所以得到的是矩形，正确；
C中，矩形的对角线相等，所以得到的四边形是菱形，正确；
D中，正方形的对角线相等且垂直，所以得到的四边形既是矩形又是菱形，既是正方形，正确．
故选A．
点评：能够利用三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形的各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．要理解并记住这些结论，根据这些结论进行判断．2·1·c·n·j·y
18、顺次连接矩形形各边的中点所得的四边形是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、不能确定
考点：矩形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：根据三角形的中位线定理和菱形的判定，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．
解答：解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH=HD=BF=CF，AE=BE=CG=DG，
在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH=HD，AE=DG，
∴△AEH≌△DGH，
∴EH=HG，
同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH
∴EH=HE=GF=EF，∠EHG=∠EFG，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：B．
点评：此题主要考查了菱形的判定，综合利用了三角形的中位线定理和矩形的性质是解题关键．
19、下列说法中错误的是（ ）
A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形
C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D、两条对角线相等的菱形是正方形
考点：矩形的判定；平行四边形的判定；正方形的判定。
分析：根据矩形的对角线相等平分和正方形的对角线互相垂直相等平分进行判定即可得出结论．
解答：解：根据矩形的判定可知：A，C，D均是正确的，B中，等腰梯形也满足此条件，但不是矩形，故选B．
点评：平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
20、下列说法中，不正确的是（ ）
A、有三个角是直角的四边形是矩形 B、对角线相等的四边形是矩形
C、对角线互相垂直的矩形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
二、填空题（共5小题）
21、将边长为5的正方形的每条边五等分，连接相应的分点，如图所示，则图中所有正方形的个数为 137 ．
考点：规律型：图形的变化类；正方形的判定。
分析：原基本图形按组成正方形的个数有：52+42+32+22+1=55；斜着数由1个小正方形组成共（2+4+6+8）×2=40个，由4个小正方形组成共（1+3+5）×2+7=25个，由9个小正方形组成共2+4+2+4=12个，由16个小正方形组成共1+3+1=5个，因此图中所有正方形的个数为55+40+25+12+5=137个．2-1-c-n-j-y
解答：解：①原图形按组成正方形的个数有：52+42+32+22+1=55；
②连接相应的分点，斜着数由1个小正方形组成共（2+4+6+8）×2=40个，
由4个小正方形组成共（1+3+5）×2+7=25个，
由9个小正方形组成共2+4+2+4=12个，
由16个小正方形组成共1+3+1=5个，
综合①②图中所有正方形的个数为55+40+25+12+5=137个．
点评：按一定的顺序，按一定的方向，寻找出规律性的解决方案，使问题得证．
22、在直角坐标系中，A点的坐标为（﹣1，2），AB=5，且AB∥x轴，以四点A、B、C、D组成长方形ABCD，CB=3．则点C的坐标为 （4，5），（4，﹣1），（﹣6，5），（﹣6，﹣1） ．21教育名师原创作品
考点：坐标与图形性质；正方形的判定。
分析：解：∵A点的坐标为（﹣1，2），AB=5，且AB∥x轴，B点的位置有两种可能：（1）在点A的右边，则B（4，2）对应的C的坐标有两种可能，即在B点正上方，或者B的正下方，坐标分别是（4，5），（4，﹣1）；（2）在点A的左边，则B（﹣6，2），对应的C的坐标有两种可能，即在B点正上方，或者B的正下方，坐标分别是（﹣6，5），（﹣6，﹣1）．21*cnjy*com
解答：解：∵A点的坐标为（﹣1，2），AB=5，且AB∥x轴，B点的位置有两种可能：
①在点A的右边，则B（4，2）对应的C的坐标有两种可能，即在B点正上方，或者B的正下方，坐标分别是（4，5），（4，﹣1）；
②在点A的左边，则B（﹣6，2），对应的C的坐标有两种可能，即在B点正上方，或者B的正下方，坐标分别是（﹣6，5），
（﹣6，﹣1）．
故填（4，5），（4，﹣1），（﹣6，5），（﹣6，﹣1）．
点评：充分运用形数结合，及在直角坐标系中，平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点解题．
23、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE= 3 ．
24、用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包括矩形、菱形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的图形是 （1）（3）（4） ．（填序号）
考点：等腰直角三角形；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；平行四边形的判定；正方形的判定。
专题：推理填空题。
分析：本题是开放题，可以针对各种特殊的等腰三角形的组合方法，得出不同的图形．
解答：解：
（1）平行四边形
（3）正方形
（4）等腰直角三角形
故答案为：（1）（3）（4）．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定、等腰直角三角形、正方形判定、等边三角形判定、平行四边判定的理解和掌握，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论． 21*cnjy*com
25、给出下列命题：①顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题的序号是 ①③ （请把所有真命题的序号都填上）．
考点：菱形的判定；平行四边形的判定；正方形的判定。
分析：矩形的对角线相等，正方形的对角线相等垂直且互相平分，一组对边平行，对角相等的四边形也可以求出另一组平行，所以是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形．
解答：解：因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故①正确．
正方形的对角线相等垂直且互相平分，故②错误．
一组对边平行，对角相等的四边形也可以求出另一组平行，所以是平行四边形，故③正确．
一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形．故④错误．
故答案为：①③．
点评：本题考查菱形的判定，平行四边形的判定以及正方形的判定定理．
三、解答题（共5小题）
26、如图①，在等腰直角三角板ABC中，斜边BC为2个单位长度，现把这块三角板在平面直角坐标系xOy中滑动，并使B、C两点始终分别位于y轴、x轴的正半轴上，直角顶点A与原点O位于BC两侧．www-2-1-cnjy-com
（1）取BC中点D，问OD+DA是否发生改变，若会，说明理由；若不会，求出OD+DA；
（2）你认为OA的长度是否会发生变化？若变化，那么OA最长是多少？OA最长时四边形OBAC是怎样的四边形？并说明理由；
（3）填空：当OA最长时A的坐标（ ， ），直线OA的解析式 y=x ．
（2）∵OD=DA=1始终不变，
∴当O、D、A三点在一直线上时，OA最长等于2．
这时，四边形OBAC的对角线相交于点D，有DO=DB=DA=DC=1，OA=BC=2，
∵四边形OBAC是矩形，
又∵AB=AC，
∴四边形OBAC是正方形．
（3）A（，）
直线OA是∠BOC的角平分线，则解析式是：y=x．
点评：本题主要考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确理解OD的长度不变是解题的关键．
27、（1）如图1，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交AD于点F．求证：①△ADE≌△ADC；②四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延长线于点D，在AB的反向延长线上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交AD的反向延长线于点F．四边形CDEF还是菱形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）在（2）的条件下，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，直接写出此时△ABC中∠BAC与∠B的关系；如果不能，请直接回答问题，不必说明理由．
考点：全等三角形的判定；菱形的判定；正方形的判定。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）①直接由SAS得出△ADE≌△ADC；②由△ADE≌△ADC得出DE=DC，∠ADE=∠ADC．再由SAS证明△AFE≌△AFC，得出EF=CF．由EF∥BC得出∠EFD=∠ADC，从而∠EFD=∠ADE，根据等角对等边得出DE=EF，从而DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形．
（2）首先由SAS证出△ADE≌△ADC，△AFE≌△AFC，得出DE=DC，∠ADE=∠ADC，EF=CF．然后由EF∥BC，得出∠EFD=∠ADC，从而∠EFD=∠ADE，根据等边对等角得出DE=EF，则DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形．
（3）如果四边形CDEF是正方形，由上问可知四边形CDEF是菱形，则只需∠FDC=45°即可．则∠B+∠BAC+∠CAD=180°﹣∠FDC=135°，∴2∠B+2∠BAC+2×=270°，∴∠BAC+2∠B=90°．
解答：（1）证明：①在△AEF和△ACF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC；
②∵△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF
∵EF∥BC
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四边形CDEF是菱形．
（2）解：四边形CDEF是菱形．理由如下：
∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC．
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF．
∵EF∥BC，
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四边形CDEF是菱形．
（3）解：四边形CDEF能是正方形．∠BAC+2∠B=90°．
点评：本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，平行线、正方形的性质等知识．难度中等．
28、如图所示，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AE⊥BC于E，△ADF是△ABE绕着点A按逆时针方向旋转90°得到的．21教育网
（1）F、D、C三点共线吗？说出理由；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（3）若AE=8cm，求四边形ABCD的面积．
考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；正方形的判定。
专题：综合题。
分析：（1）F、D、C三点共线．首先根据旋转的性质可以得到ADF≌△ABE，然后利用全等三角形的性质得到∠B=∠ADF，接着利用四边形的内角和可以得到∠ADF+∠ADC=180°，从而得到F、D、C三点共；21cnjy.com
（2）四边形AECF是正方形，利用△ABE≌△ADF，AE⊥BC可以证明∠C=∠AEB=∠AEC=∠F=90°，而AE=AF，由此即可解决问题；
（3）利用（1）（2）的结论和正方形的面积公式即可求解．
解答：解：（1）F、D、C三点共线
∵△ADF由△ABE旋转所得
∴△ADF≌△ABE
∴∠B=∠ADF
∵在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°
∴∠B+∠ADC=180°
∴∠ADF+∠ADC=180°
∴F、D、C三点共线；
（2）四边形AECF是正方形，
△ABE≌△ADF，AE⊥BC，
∠C=∠AEB=∠AEC=∠F=90°，
AE=AF，
∴四边形AECF是正方形；
（3）S四边形ABCD=S正方形AECF=AE2=82=64cm2．
点评：此题分别考查了正方形的性质、判定和旋转的性质，同时也考查了全等三角形的性质，解答本题要充分利用旋转的性质．也要注意在正方形中的等积变化．www.21-cn-jy.com
29、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BM平分∠ABC交AC于点M，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F．试判断四边形EBFM的形状，并加以证明．【出处：21教育名师】
考点：角平分线的性质；直角三角形的性质；正方形的判定。
专题：证明题。
分析：由角平分线的性质可得ME=MF，因为有三个角是直角的四边形是矩形，由一组邻边相等的矩形是正方形，据此判断．
解答：解：四边形EBFM是正方形．
理由：∵BM平分∠ABC交AC于点M，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，
∴ME=MF，
∵∠ABC=90°，∠MEB=90°，∠MFB=90°，
∴四边形EBFM是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴四边形EBFM是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）．
点评：此题主要考查角平分线的性质和正方形的判定，灵活掌握定理是关键．
30、（2005?广州）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．
考点：线段垂直平分线的性质；正方形的判定。
专题：证明题。
分析：（1）由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，∴∠ACD=∠BCD，再加∠EDC=∠FDC=90°，可证得△ACD≌△BCD（AAS），∴CE=CF；
（2）因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形．所以当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．
解答：证明：（1）∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
又∵AC=CB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∵CD=CD，
∴△DEC≌△DFC．（AAS）
∴CE=CF．
（2）当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定等知识点．
正方形的性质
一、选择题（共20小题）
1、下列说法正确的有（ ）
①无限小数是无理数； ②正方形的对角线都是无理数；
③带根号的数都是无理数； ④有限小数是有理数．
A、3个 B、2个
C、1个 D、0个
2、对描述错误的一项是（ ）
A、面积为2的正方形的边长 B、它是一个无限不循环小数
C、它是2的一个平方根 D、它的小数部分大于2﹣
3、如图，连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成4个大小相同的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成4个更小的小正方形…重复这样的操作，则6次操作后右下角的小正方形面积是（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、（）6
C、（）6 D、1﹣（）6
4、有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，表中所列四种方案能拼成邻边长分别是a+b和2a+b的矩形是（ ）
卡片
（1）
（2）
（3）
数量（张）
1
2
1
A
2
3
1
B
1
1
1
C
2
1
3
A、A B、B
C、C D、D
5、如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）
A、 B、
C、 D、（1+）2
6、下面给出的四个命题中，是假命题的是（ ）
A、如果a=3，那么|a|=3 B、如果x2=4，那么x=2
C、如果（a﹣1）（a+2）=0，那么a﹣1=0或a+2=0 D、如果四边形ABCD是正方形，那么它是矩形
7、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（ ）
A、 B、
C、 D、
8、如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（ ）21教育网
A、0.5cm B、1cm
C、1.5cm D、2cm
9、如图：正方形ABCD中点A和点C的坐标分别为（﹣2，3）和（3，﹣2），则点B和点D的坐标分别为（ ）
A、（2，2）和（3，3） B、（﹣2，﹣2）和（3，3）
C、（﹣2，﹣2）和（﹣3，﹣3） D、（2，2）和（﹣3，﹣3）
10、如图，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，正方形OCDE的顶点C，E，D分别在边OA，OB，AB上，则点D的坐标为（ ）21cnjy.com
A、（2，1） B、（2，3）
C、（2，2） D、（﹣2，﹣2）
11、如图，正方形OABC对角线交点为D，过D的直线分别交AB，OC于E，F，已知点E关于y轴的对称点坐标为（﹣，2），则图中阴影部分的面积是（ ）2·1·c·n·j·y
A、1 B、2
C、3 D、4
12、已知正方形OABC各顶点坐标为O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），若P为坐标平面上的点，且△POA、△PAB、△PBC、△PCO都是等腰三角形，问P点可能的不同位置数是（ ）www-2-1-cnjy-com
A、1 B、5
C、9 D、13
13、如图，在平面直角坐标系内，正方形ABCD中的顶点B，D的坐标分别是（0，0），（2，0），且A，C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（ ）2-1-c-n-j-y
A、（1，1） B、（1，﹣1）
C、（1，﹣2） D、（2，﹣2）
14、如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为A（0，1），B（2，﹣1），若点C到y轴的距离为m，点D到x轴距离为n，则m和n分别为（ ） 21*cnjy*com
A、4，3 B、3，4
C、1，2 D、1，3
15、周日，小华做作业时，把老师布置的一个正方形忘了画下来，打电话给小云，小云在电话中答复他：“你可以这样画，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（1，2）、（﹣2，2）、（﹣2，﹣1），顶点D的坐标你自己想吧！”那么顶点D的坐标是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A、（2，﹣1） B、（1，﹣2）
C、（2，3） D、（1，﹣1）
16、如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O、C的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点B的坐标是（ ）
A、（1，1） B、（﹣1，﹣1）
C、（1，﹣1） D、（﹣1，1）
17、如图，将边长为1的正方形OAPB沿轴正方向连续翻转2007次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置，则P2007的横坐标x2007=（ ）www.21-cn-jy.com
A、2001 B、2004
C、2007 D、2010
18、若点P（x，y）横坐标x与纵坐标y均为整数，则P点称为整点，在以（10，0）、（0，10）、（﹣10，0）、（0，﹣10）为顶点的正方形中（包括边界）整点的个数一共有（ ）【出处：21教育名师】
A、220 B、221
C、222 D、223
19、一个古城堡遗址如图，其外形是一个正方形，下列哪个点在城内（ ）
A、（﹣2，） B、（，﹣1）
C、（﹣1，1） D、（0.5，1）
20、如图，点M是正方形ABCD的CD边上的中点，点P按A→B→C→M的顺序在正方形的边上运动，设AB=1，点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则y关于x的函数是（ ）21教育名师原创作品
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
21、如图，直角三角形ABC，∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边在AB的同侧作正方形，形成了三块阴影部分，记阴影AIHJ的面积为S1，阴影DKGBE的面积为S2，阴影FJCK的面积为S3，若S1=8，S2=9，S3=7，则S△ABC= _________ ．
22、正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14．则PB= _________ ．
23、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的体积是 _________ ．
24、如图以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径，交数轴于点A，则点A表示的数是 _________ ．【来源：21·世纪·教育·网】
25、已知一个矩形的长为3cm，宽为2cm，试估计它的对角线长为 _________ cm．
三、解答题（共5小题）
26、设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积（须证明你的论断）．21*cnjy*com
27、如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH相交于点O，且它们所夹的锐角为θ，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=k，FH=l，四边形EFGH的面积为S，
（1）求证：；
（2）试用k、l、S来表示正方形ABCD的面积．
28、（1）计算：；
（2）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．【版权所有：21教育】
29、如图，正方形ABCD的边长为a，长方形AEFD的长AE为b，
（1）用代数式表示图中阴影部分的面积；
（2）求当a=5cm，b=7cm时，阴影部分的面积．
30、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）求出图1的长方形面积；
（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．利用阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系；21·世纪*教育网
（3）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）．21·cn·jy·com
正方形的性质
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列说法正确的有（ ）
①无限小数是无理数； ②正方形的对角线都是无理数；
③带根号的数都是无理数； ④有限小数是有理数．
A、3个 B、2个
C、1个 D、0个
考点：无理数；有理数；正方形的性质。
专题：常规题型。
分析：无限不循环小数是无理数，带根号的数不一定是无理数，由此可判断选项的正确性．
解答：解：①无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故①错误；
②正方形的对角线不一定是无理数，故②错误；
③带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，故③错误；
④有限小数是有理数，故④正确．
综上可得④正确．
故选C．
点评：本题考查无理数及平方根的知识，难度不大，关键是一些小知识点的掌握．
2、对描述错误的一项是（ ）
A、面积为2的正方形的边长 B、它是一个无限不循环小数
C、它是2的一个平方根 D、它的小数部分大于2﹣
考点：无理数；平方根；正方形的性质。
专题：探究型。
分析：根据无理数的概念、平方根及正方形的性质对各选项进行逐一解答即可．
解答：解：A、面积为2的正方形的边长为，故本选项正确；
B、由于式无理数，所以它是一个无限不循环小数，故本选项正确；
C、由于（）2=2，所以是2的一个平方根，故本选项正确；
D、的小数部分等于﹣1＜2﹣，故本选项错误．
故选D．
点评：本题考查的是无理数的概念、平方根及正方形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
3、如图，连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成4个大小相同的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成4个更小的小正方形…重复这样的操作，则6次操作后右下角的小正方形面积是（ ）2-1-c-n-j-y
A、 B、（）6
C、（）6 D、1﹣（）6
考点：规律型：图形的变化类；正方形的性质。
专题：规律型。
分析：根据题意分析可得，分一次得到的正方形边长为原来的，分两次得到的小正方形边长为原来的（）2，…由此找到规律，可得答案．
解答：解：由题意知，分一次得到的正方形边长为原来的，分两次得到的小正方形边长为原来的（）2，
分三次后得到的小正方形边长为原来的（）3，…
依次类推：分6次得到的小正方形边长为原来的（）6，
则那个小正方形的面积为（）6．
故选C．
点评：解题的关键是明白分n次得到的小正方形边长为原来的（）n．
4、有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，表中所列四种方案能拼成邻边长分别是a+b和2a+b的矩形是（ ）
卡片
（1）
（2）
（3）
数量（张）
1
2
1
A
2
3
1
B
1
1
1
C
2
1
3
A、A B、B
C、C D、D
5、如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）
A、 B、
C、 D、（1+）2
考点：解一元二次方程-公式法；二次根式的应用；矩形的性质；正方形的性质。
分析：从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积=b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，求b的值，即可求得正方形的面积．
解答：解：根据图形和题意可得：
（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，则方程是（1+b）2=b（1+2b）
解得：b=，
所以正方形的面积为（1+）2=．
故选A．
点评：本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积．21世纪教育网版权所有
6、下面给出的四个命题中，是假命题的是（ ）
A、如果a=3，那么|a|=3 B、如果x2=4，那么x=2
C、如果（a﹣1）（a+2）=0，那么a﹣1=0或a+2=0 D、如果四边形ABCD是正方形，那么它是矩形
7、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：一元二次方程的应用；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．【来源：21·世纪·教育·网】
解答：解：∵四边形正方形ABCD，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，
在Rt△ADF中，FE2=CF2+CE2，
∴AB2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+1=2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x+1=0，
∴x=2±，而x＜1，
∴x=2﹣，
即BE的长为=2﹣．
故选A．
点评：此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题．21·世纪*教育网
8、如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（ ） 21*cnjy*com
A、0.5cm B、1cm
C、1.5cm D、2cm
9、如图：正方形ABCD中点A和点C的坐标分别为（﹣2，3）和（3，﹣2），则点B和点D的坐标分别为（ ）
A、（2，2）和（3，3） B、（﹣2，﹣2）和（3，3）
C、（﹣2，﹣2）和（﹣3，﹣3） D、（2，2）和（﹣3，﹣3）
考点：坐标与图形性质；正方形的性质。
分析：根据正方形边和坐标轴平行的性质来求解．
解答：解：从图中得出点B的坐标为﹣2，纵坐标为﹣2，点D的坐标为3，纵坐标为3，故选B．
点评：本题考查了坐标系中点的坐标的识别．
10、如图，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，正方形OCDE的顶点C，E，D分别在边OA，OB，AB上，则点D的坐标为（ ）
A、（2，1） B、（2，3）
C、（2，2） D、（﹣2，﹣2）
11、如图，正方形OABC对角线交点为D，过D的直线分别交AB，OC于E，F，已知点E关于y轴的对称点坐标为（﹣，2），则图中阴影部分的面积是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：坐标与图形性质；正方形的性质。
分析：由题可知点E的坐标为（，2），根据ABCD是正方形，那么A点坐标为（0，2），B点坐标为（2，2），C点坐标为（2，0）．可证△ADE≌△CDF，那么S△ADE=S△CDF，所以阴影部分的面积=三角形OCB的面积，即为：2×2÷2=2．
解答：解：由“E关于y轴的对称点坐标为（﹣，2）”，可得出点E的坐标为（，2），根据ABCD是正方形，那么A点坐标为（0，2），B点坐标为（2，2），C点坐标为（2，0）．
∵AB∥CD
∴∠BAC=∠OCA，
又∵OA=OC，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴S△ADE=S△CDF，
∴阴影部分的面积=三角形OCB的面积，即为：2×2÷2=2
故选B
点评：本题考查了坐标与图形的性质以及正方形的性质，全等三角形的判定等知识点，本题的关键是运用全等三角形来将阴影部分的面积合并到一个三角形中进行求解．21*cnjy*com
12、已知正方形OABC各顶点坐标为O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），若P为坐标平面上的点，且△POA、△PAB、△PBC、△PCO都是等腰三角形，问P点可能的不同位置数是（ ）
A、1 B、5
C、9 D、13
考点：坐标与图形性质；等腰三角形的判定；正方形的性质。
专题：综合题；代数几何综合题。
分析：根据线段的垂直平分线上的点到线段的两端距离相等知，要使点P与正方形的四点分别构成等腰三角形，则点P应在正方形的边的中垂线上，而对于一个三角形要成为等腰三角形，两边相等又有三种情况，故应分别讨论后，才能得到结论．
解答：解：分三类情况：
（1）对角线交点P1；
（2）．作OA的垂直平分线，以O为圆心，1为半径画圆，与垂直平分线有二个交点，以C为圆心，1为半径画圆，又有二个交点，共是四个交点；
（3）作OC的垂直平分线，以O为圆心，1为半径画圆，与它有二个交点，再以A为圆心，1为半径画圆，又有二个交点，共是四个交点．
综上所述，共有：1+4+4=9个点符合．
故选C．
点评：本题考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高，注意不要漏写某种情况．
13、如图，在平面直角坐标系内，正方形ABCD中的顶点B，D的坐标分别是（0，0），（2，0），且A，C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（ ）
A、（1，1） B、（1，﹣1）
C、（1，﹣2） D、（2，﹣2）
考点：坐标与图形性质；正方形的性质。
分析：因为正方形ABCD，所以AC和BD互相垂直平分，易知BD=2，则AC=2，而点C在第四象限，所以点C的坐标为：（1，﹣1）．21教育名师原创作品
解答：解：∵A，C两点关于x轴对称
∴AC和BD互相垂直平分
∴BD=2
∴AC=2
∵点C在第四象限
∴点C的坐标为：（1，﹣1）
故选B．
点评：本题考查了对角线的性质：正方形的对角线相等且互相垂直平分，是基础知识要熟练掌握．
14、如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为A（0，1），B（2，﹣1），若点C到y轴的距离为m，点D到x轴距离为n，则m和n分别为（ ）
A、4，3 B、3，4
C、1，2 D、1，3
15、周日，小华做作业时，把老师布置的一个正方形忘了画下来，打电话给小云，小云在电话中答复他：“你可以这样画，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（1，2）、（﹣2，2）、（﹣2，﹣1），顶点D的坐标你自己想吧！”那么顶点D的坐标是（ ）
A、（2，﹣1） B、（1，﹣2）
C、（2，3） D、（1，﹣1）
考点：坐标与图形性质；正方形的性质。
分析：根据正方形的性质，可得AC与BD的互相平分，又由A、C的坐标可得，AC中点的坐标，进而由B的坐标，可得D的坐标，即可得答案．
解答：解：根据正方形的性质，可得AC与BD的互相平分，
由A、C的坐标可得，AC中点的坐标为（﹣，），
又由B的坐标，可得D的坐标为（1，﹣1），
故选D．
点评：本题考查正方形的性质以及中点的坐标的求法．
16、如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O、C的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点B的坐标是（ ）
A、（1，1） B、（﹣1，﹣1）
C、（1，﹣1） D、（﹣1，1）
考点：坐标与图形性质；正方形的性质。
分析：此题根据坐标符号即可解答．
解答：解：由图中可知，点B在第四象限．各选项中在第四象限的只有C．故选C．
点评：本题考查第四象限点的特征：（+，﹣）．
17、如图，将边长为1的正方形OAPB沿轴正方向连续翻转2007次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置，则P2007的横坐标x2007=（ ）www-2-1-cnjy-com
A、2001 B、2004
C、2007 D、2010
考点：坐标与图形性质；正方形的性质。
专题：规律型。
分析：观察规律可知P1P4横坐标差为2，P2，P3横坐标相等．每三个数一个循环，以此类推，可以求出P2007的横坐标．21cnjy.com
解答：解：观察图形可知P1的横坐标为1，
P2的横坐标为2，P3的横坐标为2，P4的横坐标为3，
∴P2007的横坐标为2007．
故选C．
点评：考查了通过图形观察规律的能力，并根据规律进行简单计算的能力．
18、若点P（x，y）横坐标x与纵坐标y均为整数，则P点称为整点，在以（10，0）、（0，10）、（﹣10，0）、（0，﹣10）为顶点的正方形中（包括边界）整点的个数一共有（ ）
A、220 B、221
C、222 D、223
考点：坐标与图形性质；正方形的性质。
分析：根据已知条件可知，所求的整点，从上到下是21行，第1行1个，第2行3个，第3行5个，…，第10行19个，又x轴上方、下方是对称的，求和后再加上x轴上的21个点即可．
解答：解：根据题意，所求的整点，从上到下是21行，
第1行是（0，10）1个，
第2行是（﹣1，9）（0，9）（1，9）3个，
以此类推，第3行5个，
第4行有7个，
…
第10行有19个，
又x轴上方、下方是对称的，x轴上有21个，
∴整点个数为：2×（1+3+5+…+19）+21=2×+21=200+21=221．
故选B．
点评：本题考查了坐标与图形的性质，找出整点排列规律并关于x轴对称是解题的关键，熟记求和的方法也比较重要．21·cn·jy·com
19、一个古城堡遗址如图，其外形是一个正方形，下列哪个点在城内（ ）
A、（﹣2，） B、（，﹣1）
C、（﹣1，1） D、（0.5，1）
考点：两点间的距离公式；正方形的性质。
分析：根据正方形各顶点坐标分别分析得出其它各点坐标位置．
解答：解：根据正方形顶点（﹣1，﹣2），（1，0），（﹣1，2），
即可得出A．（﹣2，），B．（，﹣1）D．（0.5，1）不在正方形内，
只有（﹣1，1）在城内．
故选：C．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及点的坐标确定方法，根据正方形的性质以及各顶点坐标得出是解决问题的关键．
20、如图，点M是正方形ABCD的CD边上的中点，点P按A→B→C→M的顺序在正方形的边上运动，设AB=1，点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则y关于x的函数是（ ）2·1·c·n·j·y
当点P在BC上时，如图：
，PB=x﹣1，PC=2﹣x，
y=S正方形ABCD﹣S△ADM﹣S△ABP﹣S△PCM
=1﹣﹣（x﹣1）﹣??（2﹣x）=﹣x+，
∴y=﹣x+（1＜x≤2）
当点P在CM上时，如图：，MP=2.5﹣x，
∴y=（2.5﹣x）=﹣x+．（2＜x≤2.5）
得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定y与x的图形．
只有A的图象是三个一次函数，
故选A．
点评：本题考查的是动点问题的函数图象，分别考虑点O在AB，BC和CM上，由三角形的面积公式得到三个一次函数，然后由一次函数的图象与性质得到y与x的图象．
二、填空题（共5小题）
21、如图，直角三角形ABC，∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边在AB的同侧作正方形，形成了三块阴影部分，记阴影AIHJ的面积为S1，阴影DKGBE的面积为S2，阴影FJCK的面积为S3，若S1=8，S2=9，S3=7，则S△ABC= 10 ．
考点：面积及等积变换；直角三角形的性质；正方形的性质。
专题：计算题。
分析：根据题给图形得：AB2+AC2+BC2=S1+S2+S3+2S△ACJ+2S四边形BCKG+S△ABC和AB2=S△ACJ+S四边形BCKG+S△ABC+S3，联立两式即可得出S△ABC．
解答：解：根据题意得：AB2+AC2+BC2=S1+S2+S3+2S△ACJ+2S四边形BCKG+S△ABC①式，
又AB2=S△ACJ+S四边形BCKG+S△ABC+S3②式，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，
∴②×2﹣①得：0=S△ABC+S3﹣S1﹣S2，
∴S△ABC=S1+S2﹣S3=8+9﹣7=10．
故答案为：10．
点评：本题考查面积及等积变换的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
22、正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14．则PB= 42cm ．
23、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的体积是 4π ．
考点：立体图形；勾股定理；正方形的性质。
专题：计算题。
分析：正方体的对角线就是外接球的直径，求出球的直径，即可求球的体积．
解答：解：∵正方体的对角线就是外接球的直径，
所以正方体的对角线长为：2，
所以球的半径为：，
则球的体积为：=．
故答案为：．
点评：本题考查正方体的外接球的体积的求法，本题的突破口及解题的关键时掌握正方体的体对角线就是外接球的直径．
24、如图以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
考点：实数与数轴；勾股定理；正方形的性质。
分析：先求出正方形对角线的长，然后可求出坐标．
解答：解：因为正方形的边长为1，所以正方形的对角线长为，
原点到A的长度为﹣1，由于A在原点左侧，所以A对应的数为﹣+1．
故答案为：﹣+1．
点评：本题考查了实数与数轴的对应关系，以及勾股定理和正方形的性质．
25、已知一个矩形的长为3cm，宽为2cm，试估计它的对角线长为 3.6或3.7 cm．
考点：估算无理数的大小；正方形的性质。
专题：应用题。
分析：根据题意结合勾股定理可得矩形的对角线的长c2=a2+b2=c2，代入数据可得c2=13；进而由“夹逼法”可估计其大小．
解答：解：根据题意，设其对角线长为c，
则有c2=a2+b2=c2，
代入数据可得c2=13；
又有3.6×3.6＜13＜3.7×3.7；
可估计它的对角线长为3.6或3.7；
故答案为3.6或3.7．
点评：现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
三、解答题（共5小题）
26、设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积（须证明你的论断）．www.21-cn-jy.com
考点：四点共圆；等边三角形的性质；正方形的性质。
专题：计算题。
分析：设△EFG为正方形ABCD的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上，连接KA，KD，易证E，K，G，D四点共圆，则∠KDE=∠KGE=60°，同理∠KAE=60°，可证△KAD也是一个正三角形，K必为一个定点，再分别求边长FG的最大值与最小值．
解答：证明：如图，设△EFG为正方形ABCD的一个内接正三角形，
作正△EFG的高EK，连接KA，KD，
∵∠EKG=∠EDG=90°，
∴E，K，G，D四点共圆，
∴∠KDE=∠KGE=60°，
同理，∠KAE=60°，
故△KAD也是一个正三角形，K必为一个定点．
又正三角形面积取决于它的边长，
当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，面积S=也最小．
当KF通过B点时，边长为2?，这时边长最大，面积S=2﹣3也最大．
点评：本题考查了四点共圆的判断，等边三角形的性质．关键是运用四点共圆证明新的等边三角形，得出定点．
27、如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH相交于点O，且它们所夹的锐角为θ，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=k，FH=l，四边形EFGH的面积为S，21教育网
（1）求证：；
（2）试用k、l、S来表示正方形ABCD的面积．
考点：正弦定理与余弦定理；三角形的面积；正方形的性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据图形知，S=S△EFG+S△EHG=S△EOF+S△GOF+S△EOH+S△GOH，然后由面积公式S=absinC证明结论即可；
（2）过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，构造矩形PQRT．利用勾股定理求的正方形ABCD的边长，然后由S△AEH=S△TEH，S△BEF=S△PEF，S△GFC=S△QFG，S△DGH=S△RGH推知（k2+l2﹣4S）a2=k2l2﹣4S2，最后根据（1）的结论来判定k2l2﹣4S2，的取值范围，从而用k、l、S来表示正方形ABCD的面积．【版权所有：21教育】
解答：（1）证明：S=S△EFG+S△EHG，
=S△EOF+S△GOF+S△EOH+S△GOH，
=，
，
=，
=，
所以；
（2）解：过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，得矩形PQRT．
设正方形ABCD的边长为a，PQ=b，QR=c，
则，
由S△AEH=S△TEH，
S△BEF=S△PEF，S△GFC=S△QFG，S△DGH=S△RGH
得SABCD+SPQRT=2S，
∴，
∴（k2+l2﹣4S）a2=k2l2﹣4S2，
由（1）知，
故．
点评：本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质及正、余弦定理．此题难度较大，在解题时需灵活运用正、余弦定理．【来源：21cnj*y.co*m】
28、（1）计算：；
（2）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．【出处：21教育名师】
考点：实数的运算；直角三角形全等的判定；正方形的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）按有理数的运算法则计算即可；
（2）由同角的余角相等知，∠FAB=∠DAE，由正方形的性质知，∠AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，则ASA证得△AFB≌△ADE?DE=BF．
解答：（1）解：原式=3﹣2﹣8=﹣7；
（2）证明：∵∠FAB+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠DAE，
∵∠AB=AD，∠ABF=∠ADE，
∴△AFB≌△ADE，
∴DE=BF．
点评：此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．
29、如图，正方形ABCD的边长为a，长方形AEFD的长AE为b，
（1）用代数式表示图中阴影部分的面积；
（2）求当a=5cm，b=7cm时，阴影部分的面积．
考点：列代数式；代数式求值；正方形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）表示出阴影部分的长与宽，再求阴影部分的面积即可；
（2）将a=5cm，b=7cm，代入即可得出答案．
解答：解：（1）阴影部分的面积为：a（b﹣a）（3分）；
（2）当a=5cm，b=7cm时，原式=5×（7﹣5）=10cm2（3分）．
点评：本题考查了列代数式，代数式的值以及正方形的性质，是基础知识比较简单．
30、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）求出图1的长方形面积；
（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．利用阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系；
（3）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）．
