(共16张PPT)
一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形
平行四边形
矩形的 两条对角线相等且互相平分
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角都是直角
边
对角线
角
矩形的定义
矩形的性质
木工师傅
(1)测量两组对边,发现两组对边分别相等;
(2)将直角尺靠紧窗框的一个角,测得这是直角.
由此说明这个窗框是矩形
你知道这是为什么吗
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义判定：
判断下列说法是否正确？
1、有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）
2、对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是
矩形。 （ ）
3、邻角相等的平行四边形是矩形。 （ ）
4、平行四边形 ABCD中，AB=6，BC=8，
AC=10， 则四边形ABCD是矩形 。（ ）
×
√
√
√
A
B
C
D
2、要判定一个四边形是矩形只要说明几个角是直角？为什么？
A
B
C
D
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形
1、命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？
合作学习
请大家自己进行证明
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。
真命题
测量两组对边,发现两组对边分别相等;
测量对角线，发现两条对角线相等.
由此说明这个窗框是矩形
你知道这是为什么吗 （用所学的知识去证明）
A
B
C
D
已知：
如图，在□ABCD中，AC=BD
求证：
□ABCD是矩形
想一想
你觉得矩形还有其它判定方法吗？
证明：
四边形ABCD是平行四边形,AC=BD
四边形ABCD是矩形
已知:
求证:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD， AB=CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
在△ABC和△DCB中
∵AB=CD（已证） AC=BD（已知）BC=CB （公共边）
∴△ABC≌△DCB(SSS)
∴ ∠ABC=∠DCB= 90°
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）
矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
几何语言:
注意定理条件:
(1) 对角线相等
(2) 平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
矩形有几种判定方法？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
方法总结：
（1）对角线相等的四边形是矩形。
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
（3）有一个角是直角的四边形是矩形。
（4）四个角都是直角的四边形是矩形。
（5）四个角都相等的四边形是矩形。
（6）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
（7）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
判断：
例题：一张四边形的纸板ABCD的形状如图，它的两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？
四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上的中点处
解：
理由如下：
∵ＧＨ是⊿ＡＣＤ的中位线
∴ＧＨ∥ＡＣ
∵ＡＣ⊥ＢＤ
∵ＥＨ是⊿ＡＢＤ的中位线
∴ＥＨ∥ＢＤ
∴∠GHE＝９０°，
同理可得：∠HEF＝∠EFG＝９０°
∴四边形ＥＦＧＨ是矩形．
（三个角是直角的四边形是矩形）
∴ＧＨ⊥ＢＤ
∴ＧＨ⊥EH
练习1：已知M为 ABCD的AD边的中点，且MB＝MC。
求证： ABCD是矩形。
A
B
D
C
M
证明：
∵ABCD是平行四边形
AB＝DC
∵M是AD的中点
∴AM＝DM
∵ MB＝MC
∴△BAM≌ △CDM
∴∠A＝ ∠D
∴ ∠A＋ ∠D＝1800
∴∠A＝ 900
∴ ABCD是矩形
2、如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH.
求证：四边形EFGH是矩形
A
B
C
D
E
F
G
H
O
证明：
在矩形ABCD中， AC=BD ，
AO=CO=BO=DO
∵AE=CG=BF=DH
∴ OE=OG=OF=OH, EG=FH
∴四边形EFGH是平行四边形
∴四边形EFGH是矩形
练习2
3. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
A
B
C
D
O
练习3
∠OAB =40°
理一理
在“？”号处填上恰当的条件：
四边形
平行四边形
矩形
？
？
？登陆21世纪教育 助您教考全无忧
5.1矩形（2）同步练习
A组
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上,一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案,其中正确的是( )21世纪教育网版权所有
A.测量对角线是否相等 B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三个角是否都为直角
2. 平行四边形ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )21教育网
A.AB=AD B.OA=OB C.AC=BD D.DC⊥BC
3.（2013 天津）如图，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）21cnjy.com
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 第3题 第4题 第5题
4.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE,BF.当∠ACB为 ____________度时,四边形ABFE为矩形.21·cn·jy·com
5.(2013·呼和浩特中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为 .
6.（2013 白银）如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
7.已知:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,点O既是AC的中点,又是EF的中点.www.21-cn-jy.com
(1)求证:△BOE≌△DOF.
(2)若OA=BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形 说明理由.
B组
8.平行四边形的四个内角角平分线相交所构成的四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形 B．一般四边形 C．对角线垂直的四边形 D．矩形
9.如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )2·1·c·n·j·y
A.2 B. C.4 D.3[来源:21世纪教育网]
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10、（2013聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．【来源：21·世纪·教育·网】
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11、（2013 张家界）如图，△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．21·世纪*教育网
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
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12、（2013 新疆）如图， ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
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参考答案
A组
1、D 2、A 3、A
4、60
5、12
6、解：（1）BD=CD．
理由如下：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
7、(1)∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEO=∠DFO=90°.
又∵∠EOB=∠FOD,OE=OF,∴△BOE≌△DOF(ASA).
(2)四边形ABCD是矩形.
∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD.
又∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵OA=BD,OA=AC,
∴BD=AC,∴ ABCD是矩形.
B组
8、D 9、A
10、证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°，
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE=BF，
∴AE=CE．
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11、（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= ( http: / / www.21cnjy.com )=13，
∴OC=EF=6.5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
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12、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，
∴四边形AECF是矩形．
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5.2矩形（2）学案
教学过程：
1、 知识回顾
1.矩形的定义
有一个角是________的平行四边形叫做__________
2.矩形的性质
边：______________________________________________
角：______________________________________________
对角线：____________________________________________
二、新课引入
1、木工师傅
(1)测量两组对边,发现两组对边分别相等;
(2)将直角尺靠紧窗框的一个角,测得这是直角.
由此说明这个窗框是矩形，你知道这是为什么吗
2. 判断下列说法是否正确？
（1）、有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）
（2）、对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）
（3）、邻角相等的平行四边形是矩形。 （ ）
（4）、平行四边形 ABCD中，AB=6，BC=8， AC=10， 则四边形ABCD是矩形。（ ）
3. 命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？
4. 要判定一个四边形是矩形只要说明几个角是直角？为什么？
5. 矩形的判定定理1：
有三个角是________的四边形是矩形.
6. 如图，在□ABCD中，AC=BD 求证： □ABCD是矩形
7. 矩形判定定理2：
_______________相等的平行四边形是矩形
8.（1）对角线相等的四边形是矩形。
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
（3）有一个角是直角的四边形是矩形。
（4）四个角都是直角的四边形是矩形。
（5）四个角都相等的四边形是矩形。
（6）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
（7）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
3、 例与练
例1、一张四边形的纸板ABCD的形 ( http: / / www.21cnjy.com )状如图，它的两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？
课堂练习：
1、已知M为 □ ABCD的AD边的中点，且MB＝MC。
求证：□ ABCD是矩形 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
2、如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH.
求证：四边形EFGH是矩形
3、如图，在□ ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．21世纪教育网版权所有
4、 课堂小结
在“？”号处填上恰当的条件：
O
H
G
F
E
D
C
B
A
M
C
D
B
A
A
？
？
D
B
C
O
？
矩形
平行四边形
四边形
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