中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形
5.1矩形（2）
【知识重点】
矩形的判定方法
1.定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
【经典例题】
【例1】在下列条件中，能判定四边形为矩形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．四个内角度数相等
C．对角线长度相等 D．对角线互相垂直
【例2】如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFCH是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【例4】如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC 上，且DFEG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【例5】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，已知BD=CD，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE延长线于点F，连接AD，BF，求证：四边形AFBD是矩形．
【例6】如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AB边上的两点，且AE＝BF，DF＝CE．求证：
（1）△ADF≌△BCE．
（2）平行四边形ABCD是矩形．
【例7】如图，在中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B=60°，BC=8，求的面积．
【基础训练】
1．如图，的对角线交于点O，是等边三角形，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．8
2．下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（ ）
A．测量得出对角线相等
B．测量得出对角线互相平分
C．测量得出两组对边分别相等
D．测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等
3．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.添加的条件不能是( )
A．AB∥DC B．∠A＝90° C．∠B＝90° D．AC＝BD
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC的垂直平分线分别交AC.AB于点D，F，过点B作DF的垂线，垂足为E.若BC=2，则四边形BCDE的面积是（ ）
A． B． C．4 D．
5．如图，四边形 的对角线互相平分，请你添加一个条件，使它成为矩形，你添加的条件是 ．
6．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是 ；若AC＝5 cm，则BD＝ .
7．如图，在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是D、E、F，则CF=
8．如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为 ．
9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为 .
10．如图，，是的中位线，，连接，，求证：．
11．如图，在中，，点在的延长线上，且．
求证：四边形是矩形．
12．如图，的对角线相较于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：是矩形；
（2）求AD的长．
13．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求证：平分．
14．如图，在中，延长至点D，使，过点D作交的延长线于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：；
（2）当时，连接，，求证：四边形为矩形．
【培优训练】
15．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
16．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是斜边AC上一个动点，过点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接EF．在D点的运动过程中，给出下列结论：①当D运动到AC中点时，EF＝5；②EF的最小值是；③AE2+EB2+BF2+FC2的值恒为100；④当AD：DC＝3：4时，四边形BEDF为正方形．⑤设DF的长度为x，矩形BEDF的周长为y，则y与x的函数关系式是yx+12．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．①②④⑤
17．如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若厘米， 厘米，则边的长为（ ）厘米．
A．7 B．5 C．4.8 D．5.6
18．如图，矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形各边上，且四边形为平行四边形，则平行四边形周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，矩形 中，E，F是 上的两个点， ， ，垂足分别为G，H，若 ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
20．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为 ．
21．如图，在 ABCD中，AB＝7，AD＝9，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，①若 时，EF＝ ； ②若F恰好为BC的中点，则 ABCD的面积为 .
22．如图，矩形 中， ，点 是 上的一点，且 ， 的垂直平分线交 的延长线于点 ，连结 交 于点 .若 是 的中点，则 的长是 .
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
24．如图，在平行四边形ABCD中，于点E，延长DA至点F，使得AF=DE，连接BF，CF.
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB=6，CF=8，DF=10，求EF的长.
25．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
26．如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（ ，8），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，BD所在直线与OA，x轴分别交于点D，F.
（1）求线段BO的长；
（2）求直线BD的解析式；
（3）点M是直线BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N.在点M的运动过程中，是否存在以N、E、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
27．如图，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，点B的坐标为（﹣2，4）．
（1）求直线BD的表达式；
（2）求△DEH的面积；
（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
28．AM∥BN，ABBN，垂足为B， 点C在直线BN上，ACCD，AC=CD，DEAM，垂足为E．
（1）如图①，求证：DE+BC=AB；
（2）如图②、图③，请分别写出线段DE，BC与AB之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，AC=100，AB-BC =2，则线段DE= ．
【直击中考】
29．如图， ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
30．如图，在平行四边形中，平分，平分．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程．
31．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
32．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形（解析版）
5.1矩形（2）
【知识重点】
矩形的判定方法
1.定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
【经典例题】
【例1】在下列条件中，能判定四边形为矩形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．四个内角度数相等
C．对角线长度相等 D．对角线互相垂直
【答案】B
【解析】A项，两组对边分别平行可证明四边形为平行四边形，无法确定其为矩形，故A项不符合题意；
B、四边形的内角和为360°，四个内角相等，则四个内角都为90°，即可判断四边形为矩形，故B项符合题意；
C、等腰梯形的对角线也相等，故此项说法无法判断四边形为矩形，故C项不符合题意；
D、菱形的对角线相互垂直，即对角线相互垂直的四边形可以不是矩形，故D项不符合题意；
故答案为：B．
【例2】如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故①符合题意；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BC2+CD2＝AC2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故②符合题意；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故③符合题意；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故④不符合题意；
能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，
故答案为：C．
【例3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFCH是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】∠EFG=90°（答案不唯一）
【解析】∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，，且，，
∴HG=EF，且HG∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
当∠EFG=90°时，则四边形EFCH是矩形．
【例4】如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC 上，且DFEG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】∠DFG=90°（答案不唯一）
【解析】添加条件为：∠DFG=90°，理由如下：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵DF∥EG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
又∵∠DFG=90°，
∴平行四边形DFGE是矩形，
故答案为：∠DFG=90°（答案不唯一）．
【例5】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，已知BD=CD，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE延长线于点F，连接AD，BF，求证：四边形AFBD是矩形．
【答案】证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠EDB，
∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（ASA），
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．
【例6】如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AB边上的两点，且AE＝BF，DF＝CE．求证：
（1）△ADF≌△BCE．
（2）平行四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AE＝BF，
∴AF＝BE，
在和中，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【例7】如图，在中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B=60°，BC=8，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM=BM，AM∥CN，AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA=90°，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）解：∵∠B=60°，BC=8，∠BMC=90°，
∴∠BCM=30°，
∴Rt△BCM中，BM=BC=4，CM=4，
∵AC=BC，CM⊥AB，
∴AB=2BM=8，
∴的面积为AB×CM=8×4=32．
【基础训练】
1．如图，的对角线交于点O，是等边三角形，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【解析】∵是等边三角形，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴S ABCD=43，
故答案为：A．
2．下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（ ）
A．测量得出对角线相等
B．测量得出对角线互相平分
C．测量得出两组对边分别相等
D．测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等
【答案】D
【解析】A、对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，
对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、对角线交点到四个顶点的距离都相等，
对角线互相平分且相等，
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
3．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.添加的条件不能是( )
A．AB∥DC B．∠A＝90° C．∠B＝90° D．AC＝BD
【答案】A
【解析】A、当AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误，符合题意；
B、当∠A=90°，且AB＝DC，AD＝BC，所以四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意；
C、当∠B=90°，且AB＝DC，AD＝BC所以四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意；
D、当AC＝BD，且AB＝DC，AD＝BC所以四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A.
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC的垂直平分线分别交AC.AB于点D，F，过点B作DF的垂线，垂足为E.若BC=2，则四边形BCDE的面积是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2
∴AC= BC=2 ，
∵DE垂直平分AC，∠CDE=90°，
∴AD=DC= AC=，
∵BE⊥ED，
∴∠C=∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∴四边形BCDE的面积=BC·DC=2×=2 .
故答案为：A.
5．如图，四边形 的对角线互相平分，请你添加一个条件，使它成为矩形，你添加的条件是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为AC=BD（答案不唯一）.
6．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是 ；若AC＝5 cm，则BD＝ .
【答案】矩形；5cm
【解析】∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
7．如图，在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是D、E、F，则CF=
【答案】5
【解析】如图：
∵在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°；
又∵点D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，
∴EF∥BC，且EF=BC=4，
FD∥AC，且FD=AC=3，
∴四边形CEFD是矩形，
∴EF=CD，
∴CF=；
故答案是：5．
8．如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为 ．
【答案】
【解析】 ， ，
，
即 ，
则四边形ABCD为矩形，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中， ．
故答案为：．
9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为 .
【答案】4
【解析】过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ABC=90°，DE⊥AB，
∴四边形DEBF为矩形，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠FCD+∠BCD=180°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴DE=DF，
∴四边形DEBF为正方形，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4.
故答案为：4.
10．如图，，是的中位线，，连接，，求证：．
【答案】证明∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形CFDE是矩形，
∵EF、CD是矩形CFDE的两条对角线，
∴EF=CD．
11．如图，在中，，点在的延长线上，且．
求证：四边形是矩形．
【答案】证明：在中，有，
∵，，
∴，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
12．如图，的对角线相较于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：是矩形；
（2）求AD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∴AC＝BD，∴是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．又∵BO＝AB＝4，∴BD＝8．在中，，∴．
13．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求证：平分．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
又点E，点F在边 上，
DF∥BE，
由已知条件：DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵四边形DEBF是矩形，
∴∠BFC=∠BFD=90°，
在Rt△BFC中，由勾股定理可知： ，
即 ，
由已知条件知DF=10，
∴AD=DF，△DAF为等腰三角形，
∴∠DFA=∠DAF，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠FAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∴AF平分∠DAB．
14．如图，在中，延长至点D，使，过点D作交的延长线于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：；
（2）当时，连接，，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）证明：∵DE∥AB，∴∠ABC=∠DEC，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴DE=AB；
（2）证明：连接AE，BD，
由（1）得：DE=AB，△ABC≌△DEC，∴BC=CE，∠BAC=∠EDC，∴AB∥DE，∴四边形AEDB是平行四边形，∵AC=BC，∴AC=BC=CE=CD，∴AD=BE，∴四边形AEDB是矩形．
【培优训练】
15．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】连接CM，如图所示：
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， ，
∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
∴当CM最小时，PQ最小，
∵点M在BD上运动，
∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴此时 ，
∴PQ的最小值为 ，．
故答案为：A．
16．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是斜边AC上一个动点，过点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接EF．在D点的运动过程中，给出下列结论：①当D运动到AC中点时，EF＝5；②EF的最小值是；③AE2+EB2+BF2+FC2的值恒为100；④当AD：DC＝3：4时，四边形BEDF为正方形．⑤设DF的长度为x，矩形BEDF的周长为y，则y与x的函数关系式是yx+12．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．①②④⑤
【答案】B
【解析】①如图1，连接BD，
∵Rt△ABC中，，
∴，
当D运动到AC中点时，∵于E，于F，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，，
∴，
∴，
故结论①正确；
②由①知：，
由垂线段最短可知，当时，BD最小，即EF最小，
此时，，
即，
∴，
∴，
即EF的最小值是，
故结论②正确；
③∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故结论③不正确；
④当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
故结论④正确．
⑤设DF的长度为x，矩形的周长为y，
∴，∵，
∴，∴，
即，
∴，
∴，
即y与x的函数关系式是，
故结论⑤不正确；
综上所述，正确的结论是①②④.
故答案为：B.
17．如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若厘米， 厘米，则边的长为（ ）厘米．
A．7 B．5 C．4.8 D．5.6
【答案】B
【解析】由折叠的性质得，，
∵，
，
即，即，
同理，，即，
，即
四边形EFGH是矩形．
，，
，
，
由折叠得： ，，
，是直角三角形，
，
，
，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得，
，
．
故答案为：B.
18．如图，矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形各边上，且四边形为平行四边形，则平行四边形周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形EFGH是平行四边形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴平行四边形EFGH的周长为2（GF+EF），
作点E关于BC的对称点E'，连接FE'，GE'，则EF=FE'，BE=BE'，
∴GF+EF=GF+FE'≥GE'，
∴当G、F、E'共线时，平行四边形EFGH周长最小，最小值为2GE'，
过G作GG'⊥AB于G'，则四边形BCGG'是矩形，
则GG'=BC=4，CG=BG'，
∵HE∥GF，EF=FE'，
∴∠AEH=∠E'=∠FGC，
在△AHE和△CFG中，
，
∴△AHE≌△CFG（AAS），
∴AE=CG，
∴G'E'=BE'+BG'=BE+AE=AB=8，
在Rt△GG′E′中，GG'=4，G'E'=8，
∴，
∴平行四边形EFGH周长最小值为.
故答案为：B.
19．如图，矩形 中，E，F是 上的两个点， ， ，垂足分别为G，H，若 ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形.
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ=CF=2，FH=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2-1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ= ，
即EG+QG=EG+FH= ，
故答案为：B.
20．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为 ．
【答案】
【解析】
∵AB//CD，AB⊥BD
∴CD⊥BD
∴∠ABD=∠CDB= 90°
延长CD至F，作AF⊥CF于F点
则∠BDF= 90° ，∠F= 90°
∴四边形ABDF是矩形
∴AF=BD=4，DF=AB=5
∵CD=3
∴CF=5+3=8
∵AC=
∵Rt△BCD中，CD=3，BD=4
∴BC=5
∴AB=BC
∵△ABC是等腰三角形
∵点E是AC的中点
∴ ，且BE⊥AC
∵ = =5
∵
故答案为：.
21．如图，在 ABCD中，AB＝7，AD＝9，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，①若 时，EF＝ ； ②若F恰好为BC的中点，则 ABCD的面积为 .
【答案】；
【解析】①如图1中，
∵∠B=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形， ∴ ，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠DAC=∠CAE，
∴∠ACF=∠CAF，
∴AF=CF，
设AF=CF=x，
在Rt△ABF中，AB＝7，则有x2=72+（9-x）2，
解得 ，
由折叠可得：
∴ .
②如图2中，
当BF=CF时， 同理可得：
AF=CF=BF，
∴ ∠BAC=90°，
∴
∴S平行四边形ABCD=AB AC= .
故答案为： .
22．如图，矩形 中， ，点 是 上的一点，且 ， 的垂直平分线交 的延长线于点 ，连结 交 于点 .若 是 的中点，则 的长是 .
【答案】7
【解析】过点E作EM⊥BC于点M，如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴四边形ABME、EMCD是矩形，
∵ ， ，
∴ ，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴△EDG≌△FCG（ASA），
∴ ，
设 ，则有 ，
∴在Rt△EMF中，由勾股定理可得 ，
解得： ，
∴ ；
故答案为7.
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC
∴，
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE⊥BC
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解： 由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
在Rt△ABE中，∠ABF＝，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝，
∵四边形ABCD是平行四边形中，对角线AC，BD交于点O，
∴O是BD中点，
∴．
又∵四边形ADFE是矩形，
∴，
∴
24．如图，在平行四边形ABCD中，于点E，延长DA至点F，使得AF=DE，连接BF，CF.
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB=6，CF=8，DF=10，求EF的长.
【答案】（1）证明：∵AF=DE，
∴EF=AE+AF=AE+ED，
∴EF=AD，
∵根据平行四边形的性质可知AD=BC，，
∴，EF=BC，
∴四边形EFBC是平行四边形，
∵CE⊥AD，
∴平行四边形EFBC是矩形；
（2）解：∵根据平行四边形的性质可知AB=CD，
∴CD=6，
∵在△FCD中，，
∴△FCD是直角三角形，∠FCD=90°，
根据三角形的面积公式有：，
则EC=
∴EF=.
25．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF．
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA=OC=CD．
∵点E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
∵OC=CD，F是OD的中点，
∴CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF．
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形．
又∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
26．如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（ ，8），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，BD所在直线与OA，x轴分别交于点D，F.
（1）求线段BO的长；
（2）求直线BD的解析式；
（3）点M是直线BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N.在点M的运动过程中，是否存在以N、E、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由B（-6，8）可得OC=6，BC=8.
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠BCO=90°，
由勾股定理可得：BO= =10；
（2）解：设D（0，b），则由题意可得：∠DEO=90°，DE=DA=8-b，BE=BA=6，EO=4.
在直角三角形DEO中由勾股定理可列：OE2+DE2=DO2，
即42+（8-b）2=b2，
解得b=5，
所以D（0，5），
设直线BD的解析式为y=kx+b由B（-6，8），D（0，5），
可列： ，解得 ，
所以直线BD的解析式为：y=- x+5；
（3）解：存在；①点N的坐标为（4，0）或（ ，0），相应的点M的坐标为（4，3）或（ ，7）；②∴点N的坐标为（ ，0），相应的点M的坐标为（ ， ）；③点N的坐标为（ ，0），相应的点M的坐标为（ ， ）.
【解析】(3)存在.
由（2）得OE=4.
①当ON=OE时，
∴ON=OE=4，
∴点N的坐标为（4，0）或（ ，0），
相应的点M的坐标为（4，3）或（ ，7）；
②当EN=EO时，过点E作EG⊥ 轴于点G，过点E作EI⊥y轴于点I，如图：
∵∠GOI =90°，
∴四边形EIOG为矩形，
∵DE=8-b=3，EO=4.∠DEO=180°-∠DEB=180°-∠DAB =90°，
∴OD= 5，
∵S△ODE= OD×EI= OE×ED=6，
∴EI= ，
∴OG= EI= ，
∵EN=EO，EG⊥ON，
∴NG=GO= ，
∴点N的坐标为（ ，0），
相应的点M的坐标为（ ， ）；
③当NE=NO时，过点N作NH⊥OE于点H，连接DH，过点H作HK⊥x轴于点K，过点H作HJ⊥y轴于点J，如图：
则点H为EO中点，四边形HJOK为矩形，
∴OH=HE= OE=2，S△ODH= S△ODE=3，
同理利用等积法可得：HJ=OK= ，
根据勾股定理得：HK= ，
∵NH2=NK2+HK2=ON2-OH2，即NK2+( )2=(NK+ )2-22，
解得：NK= ，
∴ON= = ，
∴点N的坐标为（ ，0），
相应的点M的坐标为（ ， ）.
27．如图，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，点B的坐标为（﹣2，4）．
（1）求直线BD的表达式；
（2）求△DEH的面积；
（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知：D（4，0）
设直线BD的表达式为：y=kx+b
则有 解得：
∴直线BD的表达式为：y= x+
（2）解：由题意知：E点坐标为（4，2）
设直线OE的表达式为：y=mx，则有4m=2，解得：m=
∴y= x
∵
∴
∴H(
= = =
（3）解：N（4， ）或（ ）
【解析】(3)①如图，当点M在x轴上时，
∵直线BD的表达式为：，
∴当x=0时，y=，
则F（0，），
设M（x，0），
∵MF⊥BD，
∴∠MFD=90°，
∴MF2=DF2=MD2，
∵D（4，0），
∴MF2=x2+()2，DM2=(x-4)2，FD2=42+()2，
∴(x-4)2=x2+()2+42+()2，
解得x=-，即点M(-，0)，
∵点F向右平移4个单位向下平移号单位得到点D，
∴点M向右平移4个单位向下平移得到点N，则点N（ ）；
②如图，当∠FMD= 90°时，则可知M点为O点，
∵四边形MFND为矩形，
∴NF=OD=4，ND=OF=，
∴N（4，），
综上所述，N（4， ）或（ ）.
28．AM∥BN，ABBN，垂足为B， 点C在直线BN上，ACCD，AC=CD，DEAM，垂足为E．
（1）如图①，求证：DE+BC=AB；
（2）如图②、图③，请分别写出线段DE，BC与AB之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，AC=100，AB-BC =2，则线段DE= ．
【答案】（1）证明：延长ED交BN于点F，如图所示：
∵DEAM， ABBN
∴∠AED=90 ，∠ABC=90
∴∠BAC+∠ACB=90
∵AM∥BN
∴∠DFC=180 -∠AED=90
∵ACCD
∴∠ACB+∠DCF=90
∴∠BAC=∠DCF
∵AC=CD
∴△ABC≌△CFD（AAS）
∴BC=DF
∵∠ABC=∠DFC=∠AED=90
∴四边形ABFE是矩形
∴AB=EF
∵DE+DF=EF
∴DE+BC=AB．
（2）解：图②结论：BC-DE=AB；理由如下：
延长ED交BN于点F，如图所示：
∵DEAM， ABBN
∴∠AED=∠AEF=90 ，∠ABC=90
∴∠BAC+∠ACB=90
∵AM∥BN
∴∠DFC=∠AED=90
∵ACCD
∴∠ACB+∠DCF=90
∴∠BAC=∠DCF
∵AC=CD
∴△ABC≌△CFD（AAS）
∴BC=DF
∵∠ABC=∠DFC=∠AEF=90
∴四边形ABFE是矩形
∴AB=EF
∵DE+EF=DF
∴BC-DE=AB；
图③结论：DE-BC=AB；理由如下：
设DE交CN于点F，如图所示：
∵DEAM， ABBN
∴∠AED=90 ，∠ABC=90 ，
∴∠BAC+∠ACB=90
∵AM∥BN
∴∠DFC=∠AED=90 ，即∠BFE=90°，
∵ACCD
∴∠ACB+∠DCF=90
∴∠BAC=∠DCF
∵AC=CD
∴△ABC≌△CFD（AAS）
∴BC=DF
∵∠ABC=∠BFE=∠AEF=90
∴四边形ABFE是矩形
∴AB=EF
∵DE =DF+EF
∴DE-BC=AB．
（3）2或14
【解析】(3)在中，，
∵AB-BC =2，
∴（AB-BC）2=4，即AB2-2AB×BC+BC2=4，
∴2AB×BC=96，
∴（AB+BC）2= AB2+2AB×BC+BC2=196，
∴AB+BC =14或-14（舍去），
在（1）的条件下，DE=AB-BC=2，
在（2）的条件下，如图②DE= BC-AB=-2，不合题意，舍去；
在（2）的条件下，如图③DE-=AB+ BC=14；
综上所述，线段DE的长为2或14．
故答案为：2或14．
【直击中考】
29．（2022·巴中）如图， ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴ABCD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
（2）证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
30．（2022·六盘水）如图，在平行四边形中，平分，平分．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程．
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
平分 ， 平分 ，
，
，
在 和 中，
∵ ，
．
（2）解：当 满足 时，四边形 是矩形，证明如下：
四边形 是平行四边形，
，
由（1）已证： ，
，
，即 ，
四边形 是平行四边形，
当 满足 时，则 （等腰三角形的三线合一），
四边形 是矩形．
31．（2022·湘西）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
【答案】B
【解析】∵CG∥AB，∠A=90°，
∴∠B=∠MCG，∠ACG=90°
∵点M为BC的中点，
∴BM=CM；
在△BMH和△CMG中
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM=MG，BH=CG；
∵四边形ACGH的周长为AH+AC+GH=AB+GH+AC=6+8+GH=14+GH；
∴当GH最小时，即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小，
∴∠AHG=∠A=∠ACG=90°，
∴四边形ACGH是矩形，
∴AC=GH=8，
∴四边形ACGH的周长的最小值为14+8=22.
故答案为：B.
32．（2022·绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点H作KH⊥BC于点K，EP⊥HF于点P，
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠C=90°，
在△AEH和△CGF中
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=FG；
同理可证△DGH≌△BEF，
∴GH=EF；
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，AD=BC=，；
∴BF=BC-CF=，∠GHF=∠EFH=45°，
∴△EPF是等腰直角三角形，
设HP=a，
∵∠EHF=60°，
∴∠HEP=30°，
∴EH=2a，
∴，
∴，
∵HK⊥BC，
∴四边形ABKH是矩形，
∴
∵
∴KH2+KF2=HF2
∴，
解之：a=2，
∴四边形EFGH的周长为.
故答案为：A.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
