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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形
5.1矩形（1）
【知识重点】
1.矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形.
2.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.（还包括一般平行四边形的一切性质）
【经典例题】
【例1】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例2】如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接.若，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【例3】如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点恰好落在边上的点F处.若点D的坐标为，则直线的解析式为 .
（例1） （例2） （例3）
【例4】如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为 .
（例4） （例5）
【例5】如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 .
【例6】如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE.
求证：△ADE≌△BCE.
【例7】如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
【例8】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝ °．
（例8） （例9）
【例9】如图，已知，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（ ）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D． cm
【例10】如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△BEC．
（2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．
【基础训练】
1．矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABO＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
（第2题） （第3题） （第4题） （第6题）
3．如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．在矩形中，，对角线交于点O，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
5．若矩形的邻边长分别是1，2，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．
6．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，在矩形中，，，矩形绕点逆时针旋转一定角度得矩形，若点的对应点落在边上，则的长为 .
（第7题） （第8题）
8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到矩形AB'C'D'，则∠a= °。
9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是 ．
10．如图，矩形 中， 、 的平分线 、 分别交边 、 于点 、 。求证；四边形 是平行四边形。
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.若∠AOD=120°，AB=3，求AC的长.
12．已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．
【培优训练】
13．如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，点C的坐标为，点D和点C关于成轴对称，且AD交y轴于点E.那么点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（ ）
A．4.8 B．5 C．5.8 D．6
15．如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．14
16．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标（ ）
A．（4，10） B．（10，6） C．（10，4） D．（10，3）
17．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数为 .
（第17题） （第18题） （第19题） （第20题）
18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，将四边形EFCD沿EF折叠得四边形EFC'D'，点D′在AB上，若四边形EFCD的面积为24，则AD'的长度为 ．
19．如图，长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为
20．矩形在平面直角坐标系中，，，将它沿对折，点A落在处，则的坐标是 .
21．如图：在平面直角坐标系内有长方形，点A，C分别在y轴，x轴上，点在上，点E在上，沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合．若点P在坐标轴上，且面积是18，则点P坐标为 ．
（第21题） （第22题）
22．如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝26 ，分别以BE、CE为折痕进行折叠压平，如图2，若图2中∠AED＝n°，则∠DEC的度数为 ．
23．如图，矩形中，，，于点F，交于点E，求的长．
24．在平面直角坐标系中，直线（）与平行，且过点，过点A作y轴的垂线，垂足为点B．
（1）求k，b的值；
（2）点C在y轴上，点，四边形是矩形．
①如果矩形的面积小于6，求m的取值范围；
②直线（）与直线交于点E，，直接写出点E的坐标．
25．如图，将长方形ABCD沿AC对折，使△ABC落在△AEC的位置，且CE与AD相交于点F.
（1）求证：EF=DF；
（2）若AB=，BC=3，求折叠后的重叠部分(阴影部分)的面积.
26．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
27．如图，一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将△BCE沿直线CE对折，点B落在对角线AC上，记为点F.
（1）若AB＝4，BC＝3，求AE的长.
（2）连接DF，若点D，F，E在同一条直线上，且DF＝2，求AE的长.
28．如图，O是 ABCD对角线的交点，BE⊥OC于点E，延长BE至点F，使EF=BE，连结DF．
（1）求证：∠F=90°．
（2）当ABCD为矩形，AC=6，BF=时，求DF，CE的长．
29．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【直击中考】
30．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．
（第30题） （第31题） （第32题）
31．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC
C．AB＝4 D．AC＝2AB
32．如图，在矩形 中，连接 ，将 沿对角线 折叠得到 交 于点O， 恰好平分 ，若 ，则点O到 的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
33．如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点D、C分别落在点 、 的位置， 的延长线交 于点G，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
（第33题） （第34题） （第35题）
34．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点 处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线B A’交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，矩形 中， ， ，对角线 的垂直平分线 交 于点 、交 于点 ，则线段 的长为 .
36．如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．
（1）若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
（2）若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形（解析版）
5.1矩形（1）
【知识重点】
1.矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形.
2.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.（还包括一般平行四边形的一切性质）
【经典例题】
【例1】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【例2】如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接.若，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】在矩形中，，，
∵，
∴，
∴点F为中点，
又∵点E为边的中点，
∴为的中位线，
∴.
故答案为：A.
【例3】如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点恰好落在边上的点F处.若点D的坐标为，则直线的解析式为 .
【答案】
【解析】∵四边形为矩形，D的坐标为，
∴，，
∵矩形沿折叠，使D落在上的点F处，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，即EC的长为，
∴点E的坐标为.
设直线为：，
∴，解得：，
∴直线为：，
故答案为：.
【例4】如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为 .
【答案】
【解析】∵，
∴矩形的面积为48，，∴，
∵对角线交于点O，∴的面积为12，
∵，
∴，即，
∴，
∴，∴.
故答案为：.
【例5】如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 .
【答案】
【解析】过E作EH⊥AG于H，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AE平分∠BAG交BC于点E，
∴BE＝EH，
在Rt△ABE与Rt△AHE中， ，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），
∴AH＝AB＝8，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴EH＝CE，
在Rt△EHG与Rt△ECG中，
，
∴Rt△EHG≌Rt△ECG（HL），
∴GH＝CG＝ ，
∴AG＝AH+GH＝8+ ＝ ，
故答案为： .
【例6】如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE.
求证：△ADE≌△BCE.
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
在△ADE与△BCE中， ，
∴△ADE≌△BCE（SAS）.
【例7】如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．
由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD．
在△ADE和△CED中， ，
∴△ADE≌△CED（SSS）
（2）解：由（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形
【例8】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝ °．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，OA=OB，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴ ，
∴ ，
∵AE⊥BD，
∴ ，
∴ ，
．
故答案是 ．
【例9】如图，已知，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（ ）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D． cm
【答案】B
【解析】∵矩形ABCD折叠后点B与点D重合，
∴BE=ED，设AE=x，则ED=9–x，BE=9–x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即32+x2=（9–x）2，
解得x=4，
∴AE的长是4 cm.
故答案为：B.
【例10】如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△BEC．
（2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠F＝∠BCE，
∵E是AB中点，
∴AE＝EB，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（AAS）．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵CD＝4，∠F＝30°，
∴CF＝2CD＝2×4＝8，
即CF的长为8．
【基础训练】
1．矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
【答案】B
【解析】矩形的性质是对角线互相平分且相等，但不一定互相垂直，只有正方形对角线互相垂直平分且相等，矩形也是轴对称图形，对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
故答案为：B
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABO＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝6，
∴AO＝OB＝3，
∵∠ABO＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝3＝OA，
∴AD＝ ＝3 ，
故答案为：A．
3．如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】四边形为矩形，，
，
，
，
，
故答案为：B．
4．在矩形中，，对角线交于点O，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
5．若矩形的邻边长分别是1，2，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】因为矩形的每个角都是直角，所以两相邻边和其中一条对角线构成直角三角形，所以.
6．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由折叠的性质知：，，
在中，，，
由勾股定理可得：．
故答案为：B．
7．如图，在矩形中，，，矩形绕点逆时针旋转一定角度得矩形，若点的对应点落在边上，则的长为 .
【答案】2
【解析】 矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB'C'D'
，
故答案为：2.
8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到矩形AB'C'D'，则∠a= °。
【答案】125
【解析】∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到矩形AB'C'D' ，
∴∠DAD’=35°，
∴∠BAD'=55°，
∵∠BAD'+∠ABC+∠ a +∠AD'C'=360°，
∴∠a =360°-90°-90°-55°=125°，
故答案为：125.
9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是 ．
【答案】3cm
【解析】∵四边形ABCD是矩形，AC＝6cm
∴OA＝OC＝OB＝OD＝3cm，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3cm，
故答案为：3cm.
10．如图，矩形 中， 、 的平分线 、 分别交边 、 于点 、 。求证；四边形 是平行四边形。
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD=∠BDC,
∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC,
∴∠EBD= ∠ABD，∠FDB= ∠BDC,
∴∠EBD=∠FDB,
∴BE∥DF，且BC∥DE,
∴四边形BEDF是平行四边形．
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.若∠AOD=120°，AB=3，求AC的长.
【答案】解：∵在矩形ABCD中，
∴AO=BO=CO=DO．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°．
∴△AOB是等边三角形．
∴AO=AB=3，
∴AC=2AO=6．
12．已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．
【答案】证明：证法一：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°．
在△ABE和△CDF中∵ ， ∴△ABE≌△CDF（ＳAＳ），
∴BE＝DF（全等三角形对应边相等）
证法二：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF
即ED＝BF，
而ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形
∴BE＝DF（平行四边形对边相等）．
利用全等三角形对应边相等求证
【培优训练】
13．如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，点C的坐标为，点D和点C关于成轴对称，且AD交y轴于点E.那么点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由矩形和折叠可知，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在中：
，
解得：，
故答案为：B.
14．如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（ ）
A．4.8 B．5 C．5.8 D．6
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
由折叠得BE=DE，
设DE=x，则AE=AB-BE=AB-DE=10-x，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，
∴42+（10-x）2=x2，
解得x=5.8.
故答案为：C.
15．如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．14
【答案】B
【解析】如图作GH⊥BA交BA的延长线于H，EM⊥HG于M，交BC于N，则MN⊥BC，设AE=m，
，
，，
，
，
，
，
在中，
时，BG有最小值，最小值为，
故答案为：B.
16．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标（ ）
A．（4，10） B．（10，6） C．（10，4） D．（10，3）
【答案】D
【解析】∵矩形AOCD，点D（10，8），
∴OC=AD=8，CD=OA=6，∠AOF=∠ECF=90°，
∵矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
∴，
∴CF=OC-OF=10-6=4，
设CE=x，则DE=EF=8-x，
∴EF2=CE2+CF2即（8-x）2=x2+42，
解之：x=CE=3，
∴点E（10，3）.
故答案为：D
17．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数为 .
【答案】54°
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴，
由折叠得：，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：54°.
18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，将四边形EFCD沿EF折叠得四边形EFC'D'，点D′在AB上，若四边形EFCD的面积为24，则AD'的长度为 ．
【答案】3
【解析】连接DF，D′F，
∵矩形ABCD，
∴∠C=∠B=∠A=90°，DC=AB=6，BC=AD=9，
∵四边形EFCD的面积为24，
∴
解之：ED+CF=8；
设DE=x，则CF=8-x，BF=BC-CF=9-（8-x）=1+x；
设AD′=y，则BD′=6-y，
在Rt△D′BF和Rt△AD′E中
D′F2=BF2+D′B2，D′E2=AE2+D′A2，
∴36+（8-x）2=（x+1）2+（6-y）2，x2=y2+（9-x）2
解之：x=5，y=3，
∴AD′=3.
故答案为：3
19．如图，长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为
【答案】15
【解析】如图：作F关于BC的对称点F'，连接AF'，交BC于点E，则FE=F'E，AF'的长即为AE+EF的最小值.
长方形ABCD中，AB=6，F为CD的中点，
∴，
∴，
∴，
即AE+EF的最小值为15.
故答案为：15.
20．矩形在平面直角坐标系中，，，将它沿对折，点A落在处，则的坐标是 .
【答案】
【解析】如图，作于D，
∵在矩形中，，，
∴，即，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标是，
故答案为：.
21．如图：在平面直角坐标系内有长方形，点A，C分别在y轴，x轴上，点在上，点E在上，沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合．若点P在坐标轴上，且面积是18，则点P坐标为 ．
【答案】或或或
【解析】过作于F，如图：
∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
当P在x轴上时，连接交x轴于H，如图：
∵，；
∴直线为，
令得，
∴，
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或；
当P在y轴上时，如图：
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或，
综上所述，P的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
22．如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝26 ，分别以BE、CE为折痕进行折叠压平，如图2，若图2中∠AED＝n°，则∠DEC的度数为 ．
【答案】（26+ n）°
【解析】∵∠ABE＝26°，
∴∠BEA＝64°，
∴∠DEC＝（180° 2∠AEB＋∠AED）
＝（180° 128°＋n°）
＝（26＋n）°．
故答案为：（26＋n）°．
【分析】首先根据三角形的内角和定理及矩形的性质算出∠BEA的度数，进而根据折叠规律、平角定义和角的和差求出∠CED大小即可．
23．如图，矩形中，，，于点F，交于点E，求的长．
【答案】解：矩形中，
∴，，，
∴，
∵于点F，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（或者：勾股定理算出AC，再由面积法得出DF，再求AF，然后由双勾股定理得出：AF2+EF2+AD2=(DF+EF)2）
24．在平面直角坐标系中，直线（）与平行，且过点，过点A作y轴的垂线，垂足为点B．
（1）求k，b的值；
（2）点C在y轴上，点，四边形是矩形．
①如果矩形的面积小于6，求m的取值范围；
②直线（）与直线交于点E，，直接写出点E的坐标．
【答案】（1）解：∵直线（）与直线平行，∴．∵过点，∴将点代入，得，∴，．
（2）解：①∵AB⊥y轴，垂足为点B，A（2，1），∴点B的坐标为（0，1），∴AB=2，又∵矩形的面积小于6，∴，∵D（2，m），∴或②∵k=1，b=-1， ∴解析式为y=x-1， ∵直线y=x-1与直线CD交于点E， ∴点E（m+1，m）， ∴CE=m+1， ∵CE=2AD， ∴m+1=2|1-m|， 解得：或m=3， ∴或
25．如图，将长方形ABCD沿AC对折，使△ABC落在△AEC的位置，且CE与AD相交于点F.
（1）求证：EF=DF；
（2）若AB=，BC=3，求折叠后的重叠部分(阴影部分)的面积.
【答案】（1）证明：如图，∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使ΔABC落在ΔACE的位置，
∴AE=AB，∠E=∠B=90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴AE=DC，
而∠AFE=∠DFC，
∴RtΔAEF≌RtΔCDF，
∴EF=DF
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3，CD=AB=，
∵RtΔAEF≌RtΔCDF，
∴FC=FA，
设FA=x，则FC=x，FD=3-x，
在RtΔCDF中，，即，解得x=2，
∴折叠后的重叠部分的面积=AF·CD=×2×=.
26．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
【答案】（1）18
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝ ＝ ＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝ ，
即CE的长为 ；
（3）解：连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，
解得：y＝ ，
即CG的长为 .
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝ ∠DAC＝18°；
故答案为：18；
27．如图，一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将△BCE沿直线CE对折，点B落在对角线AC上，记为点F.
（1）若AB＝4，BC＝3，求AE的长.
（2）连接DF，若点D，F，E在同一条直线上，且DF＝2，求AE的长.
【答案】（1）解：如图1，矩形纸片ABCD中，∵AB＝4，BC＝3，
故由勾股定理可得AC＝5.
由折叠知：FC＝BC＝3，∠EFC＝∠B＝90°，BE＝FE.
∴ .
设AE＝x，则 .
在Rt△AFE中， ，
解得： .
∴ .
（2）解：如图2，矩形纸片ABCD中，
∵ ，
∴∠DCE＝∠BEC，
由折叠知：∠BEC＝∠FEC，
∴∠DCE＝∠FEC，
∴DC＝DE.
又∵点D，F，E在同一条直线上，∠EFC＝∠B，
∴∠DFC＝90°，
∴∠DFC＝∠DAE＝90°，
而CF＝CB＝DA，
∴ ，
∴AE＝DF＝2.
28．如图，O是 ABCD对角线的交点，BE⊥OC于点E，延长BE至点F，使EF=BE，连结DF．
（1）求证：∠F=90°．
（2）当ABCD为矩形，AC=6，BF=时，求DF，CE的长．
【答案】（1）解：∵ ABCD ，
∴BO=DO，
∵EF=BE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
∵BE⊥OC，
∴DF⊥BF，
∴∠F=90°．
（2）解：∵ ABCD是矩形，
∴BD=AC=6，
∴OB=BD=3，
∵EF=BE，BF=2，
∴BE=，
∵BE⊥OC，
∴∠BEO=90°，
在Rt△BOE中，OE==2，
∴DF=2OE=4，
∵CO=AC=3，
∴CE=CO-OE=3-2=1．
29．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
（2）解：如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）解：如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【直击中考】
30．（2022·徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．
【答案】
【解析】由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，
由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，
∵∠D=90°，
∴，
所以，
所以 BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在Rt△AEF中：
，
∴，
解得，
∴
故答案为：.
31．（2022·济南）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC
C．AB＝4 D．AC＝2AB
【答案】D
【解析】A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故答案为：D．
32．（2021·丹东）如图，在矩形 中，连接 ，将 沿对角线 折叠得到 交 于点O， 恰好平分 ，若 ，则点O到 的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】【解答】如图，过点O作OF⊥BD于F，
∴OF为点O到 的距离，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵将 沿对角线 折叠得到△BDE，
∴∠EBD=∠CBD，
∵ 恰好平分 ，
∴∠ABO=∠EBD，OA=OF，
∴∠EBD=∠CBD=∠ABO，
∴∠ABO=30°，
∵ ，
∴OF=OA=AB·tan30°=2，
故答案为：B．
33．（2021·连云港）如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点D、C分别落在点 、 的位置， 的延长线交 于点G，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片 沿 折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64 ，
∵ 是△EFG的外角，
∴ =∠GEF+∠EFG=128
故答案为：A.
34．（2020·滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点 处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线B A’交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵EN=1，
∴由中位线定理得AM=2，
由折叠的性质可得A′M=2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB=∠A′NM，
∵∠AMB=∠A′MB，
∴∠A′NM=∠A′MB，
∴A′N=2，
∴A′E=3，A′F=2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG=EN=1，
∴A′G=1，
由勾股定理得MG= ，
∴BE=DF=MG= ，
∴OF：BE=2：3，
解得OF= ，
∴OD= - = ．
故答案为：B．
35．（2021·内江）如图，矩形 中， ， ，对角线 的垂直平分线 交 于点 、交 于点 ，则线段 的长为 .
【答案】
【解析】如图：
四边形 是矩形，
，又 ， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，又 ，
，
，
，
解得， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，
在 和 中，
，
，
，
.
(或者：有题意得：BE=DE，设BE=x，AE=8-x，有勾股定理得出x的值。再由勾股定理算出OE，EF=2OE)
故答案为： .
36．（2022·西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．
（1）若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
（2）若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
【答案】（1）解：BP=CP，理由如下：
∵CG为∠DCF的平分线，
∴∠DCG=∠FCG=45°，
∴∠PCE=45°，
∵CG⊥AP，
∴∠E=∠B=90°，
∴∠CPE=45°=∠APB，
∴∠BAP=∠APB=45°，
∴AB=BP，
∵AB=BC，
∴BC=2AB，
∴BP=PC
（2）解：∵△ABP≌△CEP，
∴AP=CP，
∵AB=3，
∵BC=2AB=6，
∵，
∴，
∴BP=
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