一元二次方程新授同步练习[下学期]

一元二次方程
2．1 一元二次方程
例1、下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是 。
1 k2x + 5k + 6 = 0 ；②x2 － x － = 0 ；③3x2 + －2 = 0；
④3x2 + 2 －2 = 0；⑤（3－x）2 = －1；⑥（2x－1）2 = （x－1）（4x + 3）。
例2、若关于的方程是一元二 次方程，求m的值。
例3、关于x的方程x（3x－3）－2x（x－1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
例4、关于x的一元二次方程（a－1）x2 x + a2－1 = 0的一根是0，则a的值为（ ）
A、1 B、－1－ C、1或－1 D、。
例5、请用因式分解法解下列方程：
（1）2x2 + 3x = 0； （2）x2 = 2x；
（3）（m + 2）（2m－3）= 0； （4）x（2x + 1）－2（2x + 1）=0。
基础能力训练：
1、 填空题：
1、方程（x－4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、关于x的方程（a－2）x2 + ax + 5 = 0是一元二次方程的条件是 。
3、如果关于x的方程mx2 + （m－1）x + 5 =0有一个解为2 ，则m的值是 。
4、已知关于x的和方程是一元二次方程，则m2 = 。
5、已知2是关于x的方程x2－2a = 0一个解，则2a－1的值为 。
6、已知关于x的方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为1和－1，则a + b + c
，a－b + c = 。
7、关于x的方程（K2－1）X2 + 2（K－1）X + 2K + 2 =0，当k = 时，为一元二次方程；当k = 时，为一元一次方程。
8、若x = －1满足方程x2－ax + 5 = 0，则= 。
9、方程3（x + 7）=x（x + 7）的解为 。
10、如果x1 、x2 是方程x2 + 4x + 3 = 0 的两根，则（x1 + 1）（x2 + 1）的值是
。
2、 选择题：
1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、方程化为一般形式后，a、b、c的值分别为（ ）
A、a = 5，b = 3，c = 5 B、a = 5，b = －3，c = －5
C、a = 7，b = ，c = 5 D、a =8，b = 6，c = 1
3、
三、解答题：
1、把下列关于X的方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）；
（2）a（1－x2） +（1+ x2） = 2bx （c≠a）。
2、已知关于x的方程（m2－1）x2 + （m + 1）x + 1 = 0
（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m 为何值时，此方程为一元一次方程？
3、关于x的方程（2m2 + m）xM + 2 + 5x = 23是一元二次方程吗？为什么？
4、关于x的方程（m + 2）2x2 + 3m2x + m2－4 = 0有一根为0，求2m2－4m + 3的值。
5、已知x = －2是方程x2－mx + 2 =0的一个根，试化简。
6、若方程（x + 2）（x－3）= 0与ax2 + bx + c = 0解相同，且a = 2，求a+b+c的值。
7、用因式分解法解下列方程：
（1）x2 + 3x = 0； （2）y2 = 4y；
（3）（n－2）（2n + 3） = 0； （4）x（3x+2）+ 3（3x+2）= 0。
8、试证明关于x的方程（m2－8m + 17）x2 +2m +1 =0，不论m为何值，该方程都是一元二次方程。
9、已知x2 +3x +1的值为5，则代数式2x2 +6x－2的值为多少？
10、若关于x的方程（m－2）x2 + x + 1 =0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A、m≠2 B、m＞0 C、m≥0且m≠2 D、m为任何实数
11、应用一元二次方程根的定义，你能求出下列问题吗？
一个三角形的边长是3㎝和7㎝，第三边长是整数a㎝，且a满足a2－10a +21 =0，求三角形的周长。
12、（开放题）小明打算用总长24㎝的铁丝折出面积为32平方厘米的矩形，请你帮他分析一下能否做到？
2．2 一元二次方程的解法
例1、 解下列方程：
（1）9x2－25 =0 ； （2）（x +3）2 =8 ； （3）4（x－2）2－36 =0；
例2、解下列方程：
（1）（X－2）2 =（2X +3）2 ； （2）4（3X－1）2－9（3X +1）2 =0 。
例3、用配方法解下列方程：
（1）x2－12x－9964 =0 ； （2）2x2 +3 =7x 。
例4、求证下列多项式的值恒大于零：
（1）2x2－4x + 7 ； （2）x2 +2mx +2m2 +1 。
例5、用公式法解下列方程：
（1）－3x2－5x +2 =0 ； （2） 。
例6、已知y =2x2 +7x－1，当x为何值时，y的值与4x + 1的值相等？x为何值时，y的值与x2－19的值互为相反数？
例7、已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程x2－3x +2 =0的根，试求这个三角形的周长。
例8、已知关于x的方程2x2－kx +1 =0的一个解与方程的解相同。
（1）求k的值； （2）求方程2k2－kx +1 =0的另一个解。
例9、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
x2－1 =0 （1）
x2 +x－2 =0 （2）
x2 +2x－3 =0 （3）
……
x2 +（n－1）x －n =0 （n）
1 请求出上述一元二次方程（1）、（2）、（3）……（n）的解；
2 请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。
例10、已知方程（a－x）2－4（b－x）（c－x）=0，试说明：
（1）此方程必有实数根；
（2）若a、b、c为△ABC三边，方程有两个相等的实数根。试确定△ABC的形状。
基础能力训练：
一、 填空题
1、方程x2－3 = 0的根是 。
2、已知y =（x－1）2，当y =2时，x = 。
3、x2－4x + = （x－ ）2 ；
4、如果x2 + mx + 16是一个完全平方式，则m的值为 。
5、当x = 时，代数式x2 + 5x + 6有最 值是 ；
6、方程3x2 +2 =x 中，a = ，b = ，c = ，b2－4ac = ；
7、方程ax2 + bx + c =0 中，当b2－4ac =0时，方程的解的情况是 。
8、已知一元二次方程ax2 + 4x + 2 =0 且b2－4ac = 0，则a = ，x = 。
9、若关于x的的一元二次方程x2－3x + m = 0有实数根，则m的取值范围是 。
10、已知a≠0，a≠b，x = 1是方程ax2 + bx －10 =0的一个解，则的值是 。
二、选择题：
1、解方程（x +5）2－3（x +5） =0，较简便的解法是（ ）
A、直接开平方法 B、因式分解法 C、配方法 D、公式法
2、一元二次方程x2－2x =0的解是（ ）
A、0 B、0或2 C、2 D、此方程无实数解
3、方程x2 +2x－3 = 0的解是（ ）
A、x1 =1，x2 =3 ； B、x1 =1 ，x2 =－3；
C、x1 =－1，x2 =3 ； D、x1 =－1 ，x2 =－3 。
4、方程x2 +6x －5 =0左边配成完全平方式后，得方程（ ）
A、（x +3）2 =14 B、（x－3）2 =14
C、（x +6）2 = D、以上答案都不对
5、，则的值是（ ）
A、－6 B、－2 C、2 D、6
6、方程x（x +3） = x + 3的根为（ ）
A、x1 =0，x2 =3 ； B、x1 =1，x2 =－3 ；
C、x = 0； D、x = －3 。
7、已知一元二次方程ax2－（1 + a）x －2 =0的一个根为－0．5，则另一根是（ ）
A、1 B、－2 C、2 D、－1
8、下列是某同学在一次数学测验中解答的题目，其中答对的是（ ）
A、若x2 =4 ，则x =2 ； B、若3x2 =6x，则x =2 ；
C、若x2 + x－k =0的一个根是1，则k =2 ；
D、若分式的值为零，则x =2 。
9、已知方程x2－6x + q = 0可以配方成（x－p）2 =7的形式，那么x2－6x +q =2可以配方成下列的（ ）
A、（x－p）2 =5 ； B、（x－p）2 = 9 ；
C、（x－p +2）2 =9 ； D、（x－p + 2）2 =5。
10、关于x的方程k2x2 +2（k－1）x +1 =0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A、k＜ B、k≤ C、k＜且k≠0 D、k≤且k≠0
3、 解答题：
1、 用适当的方法解方程：
（1）x2－1 =0 ； （2）x3－3x2 + 2x =0
（3）（x－1）2 =4 （4）x2 +2x =2
2、已知关于x的一元二次方程x2－（m－1）x +m +2 =0，若方程有两个相等的实数根，求m的值。
3、已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程2x2－5x + 3 =0的根，求三角形的周长。
4、已知一元二次方程x2－4x +k =O有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x +k =0与x2 +mx－1 =0有一个相同的根，求此时m的值。
5、若关于x的方程x2－2 +2 =m恰有3个不同的实数解，请猜测M的值，并加以验证。
一元二次方程的应用
例1、 市场经济不仅让我们走上富裕之路，而且让我们学会了科学的经营方法。个体户张某原计划按600/套销售一批西服，但上市后销售不佳。为了使资金正常运转，减少库存积压，张某将这批西服连续两次降价处理，价格调整到了384元/套，如两次降价折扣相同，求每次降价率为多少？两次打折均打多少折？
例1、 某人将2000元人民币按一年定期存入银行。到期后支取100元用作购物。剩下的1000元及其应得利息又全部按一年定期存入银行。若存款利息不变，到期后得本金和利息共1320元。求这种存款方式的年利率。
例2、 把一个长方形铁片的四角剪去四块边长为5㎝的正方形，组成一个无盖的长 方形，长方形的体积是3000㎝3，铁片长和宽的长度之比为4：3，求这块铁片的长和宽各是多少？
例3、 机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克。为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量而进行攻关。
（1）甲车间通过技术革新后，加式一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1。6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克。问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少？用油的重复利用率是多少？
例3、将一条长为20㎝的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17㎝2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12㎝2吗？若能，求出两段铁丝的长长；若不能，请说明理由。
例4、
基础能力训练：
一、 填空题：
1、若从一块正方形的铁板上的一侧裁去一块3m宽的长方形铁板，剩下的面积为40m2，则原来的这块铁板的面积为 。
2、某种手表，原来每只售价96元，经过连续两次降价后，现要每只售价54元。则平均每次降价的百分率是 。
3、某书店搞促销活动，推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受八折优惠，李明同学到该书店购书，他先买优惠卡，再凭卡付款，结果节省了12元，则李明同这共花钱 ，书的总定价是 。
4、某电脑公司在5月1日500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔10天平均日销售量减少2台，现准备用38天销售完该批电脑，则预计该项公司5月1日到5月10日的平均日销售量是 台。
二、选择题：
1、某超市一月份的营业额200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程为（ ）
A、200（1 + x）2 = 1000 B、200 + 200×2x =1
C、200 +200×3x =1000 D、200[ 1 +（1 +x） +（1+ x）2] =1000
2、某商品连续两次降价10% ，结果价格为m元，则该商品原价为（ ）
A、元 B、1。21元 C、元 D、0。81元
3、小宇买了20本练习本，店主给他八折（即标价的80%）优惠，结果便宜了1。60元，则每本练习本的标价是（ ）
A、0．20元 B、0。40元 C、0。60元 D、0。80元
4、下表给出的是某月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（ ）
A、24 B、43 C、57 D、69
日 一 二 三 四 五 六
2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
5、某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价360元的这种商品，最多降价
（ ），商店老板才能出售。
A、80元 B、100元 C、120元 D、160元
三、解答题：
1、在矩形场地的中央修建一个正方形花坛，花坛四周的面积与花坛面积相等，如果场地的长比花坛的边长多6m ，场地的宽比花坛的边长多4m，求矩形的长和宽。
2、某工厂计划2年后使产值翻一番，求平均每年的增长率。（精确到0。01）
3、某工厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，则这个月只需交10元电费，如果超过A度，则这个月除了要交10元电费外，超过部分还要按每度元交费。
（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过的这部分应交电费为多少元？（用含A的代数式表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和所交电费的情况：
月份 用电（度） 交电费总额（元）
3月 80 25
4月 45 10
根据以上表中的数据，求A的值。
4、某年第一季度宁波完成国内生产总值（GDP）354亿元，比杭州少45亿元，宁波和杭州构成了全省经济的第一集群，绍兴（230亿元）和温州（227。5元）两城市组成了第二集群，第三集群有台州（194。4亿元）、嘉兴（167。6亿元）、金华（161。7亿元）。
（1）求杭州、宁波、绍兴、温州、台州、嘉兴、金华七市今年第一季度GDP的平均值（精确到1亿元）；
（2）经预测，宁波市今年第三季度GDP可达到407亿元，则平均每季度增长的百分率是多少？（精确到0。1%）
5、某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售， 一天可售出100件。后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加10件。
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设若后来该商品每件降价x元，商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？