第八讲 三角形与中考[下学期]

第8讲 三角形
一、考基要点：
考点1、三角形的脚的关系
三角形内交和定理：三角形的内角和是180 。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
考点2、三角形的边的关系
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
考点3、全等三角形的性质
1、 全等三角形对应边相等，对应角相等；
2、 全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。
考点4、全等三角形的条件
1、ASA 2、SAS 3、AAS 4、SSS
判断两个三角形全等的基本思路是：
1、 当已知两个角对应相等时，证夹边相等或任一对对应边相等；
2、 当已知两对对应边相等时，证夹角相等或第三对对应边相等；
3、 当已知一对对应边和一对对应角分别对应相等时，证夹等角的另一对对应边相等或证另一对对应角相等。
另外，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图形中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件。
考点5、直角三角形的全等条件
直角三角形除满足上述一般三角形的4组全等条件外，还具有一组特殊的全等条件是HL。
考点6、等腰三角形的性质
1、等腰三角形的两腰相等。
2、等腰三角形的两个底角相等。（简称等边对等角）
3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。
考点7、三角形是等腰三角形的条件
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应的边也相等，简称等角对等边。
考点8、一个三角形是等边三角形的条件和等边三角形的性质
条件：1、三条边都相等的三角形是等边三角形；
2、 三个角都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角是60 的三角形是等边三角形。
性质：等边三角形的三条边都相等，三个角都相等。
考点9、一个三角形是直角三角形的条件和直角三角形的性质
条件：1、有一个角是直角或两个锐角互余的三角形是直角三角形。
2、若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
性质：1、直角三角形的两锐角互余。
2、直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
考点10、角平分线、线段垂直平分线的性质及条件
角平分线的性质：1、平分已知角；
2、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的条件：1、定义；2、到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
线段垂直平分线的性质：1、垂直平分已知线段；
2、线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等。
线段垂直平分线的条件：1、定义；
2、到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
考点11、三角形的中位线及性质；
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；
性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
考点12、解几何题的基本方法
1、综合法是从已知条件出发探索解题途径的方法；
2、分析法是从结论出发，用倒推来寻找证明思路的方法；
3、两头“凑”的方法，也就是综合运用以上两种方法才能找到证明思路（又叫分析——综合法）
考点9、三角形中证明线段相等或角相等的几种常见方法
证明线段相等：1、证明两条线段所在的三角形全等；
2、利用等角对等边；
3、利用线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；
4、利用角平分线上的点到角的两边的距离相等；
5、利用等腰三角形的“三线合一”的性质；
6、利用三角形的中位线定理的“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质来转化；
7、利用等量代换。
证明两角相等：1、证明两角所在的三角形全等；
2、利用等角对等边；
3、利用平行线的性质；
4、利用等腰三角形的“三线合一”的性质；
5、利用互为余角的性质及对顶角的性质；
6、利用等量代换。
二、中考题选讲
1、（2006年河南）如图，在△ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90 ,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_______________．
2、（2004年泰州中考题）△ABC中,AB=3,BC=4,则AC边的长满足（ ）
A、AC=5 B、AC>1 C、AC<7 D、13、（2006年贵阳）如图，P为⊿ABC中BC边的延长线上一点，∠A =，∠B =，
则∠ACP = ；
（第1题图） （第3题图） （第5题图）
4、（2006年河北）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ．
5、（2006年临安）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则DE∶BC的值为（ ）
A． B． C． D．
6、（2005年日照）我们知道，五星红旗上有五颗五角星，每一颗五角星有五个相等的锐角(如图)，每个锐角等于（ ）
（A）30o （B）36o （C）45o （D）60o
（第6题图） （第7题图）
7、（2004年河北）右图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 ;
8、如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC， 则ΔPDE的周长是___________ cm.。
9、（2004年湖州中考题）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于 。
10、（2004年海淀）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE=3，则BC边的长
为________________．
（第10题图） （第13题图）
11、（2006年湖北十堰）．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　）
Ａ、个 Ｂ、个 Ｃ、个 Ｄ、个
12、（2006年浙江）如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是： (写出一个即可）．
13、（2006年广东）如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠C=20°，则∠OAD= ．
14、（2006年长沙）如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论中错误的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
15、（2006年温州）16如图，在直线m上摆故着三个正三角形；△ABC、△HFG、△DCE．已知BC=CE．F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1,S2,S3,若S1+S3=10，则S2=
16、（2006年深圳）在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为
17、（2006年河北）已知：如图9，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：AD=AE．
18、(2006年重庆)如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF,AE=BC, 且 AE∥BC.
求证：（1）△AEF≌△BCD；(2) EF∥CD.
19、（2004年龙岩中考题）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：
a = 　　　　　　，b = 　　　　　　，c = 　　　　　　.
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想；
20、（2006年绍兴）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？
(1) 阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略)
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△均为锐角三角形，AB=，BC=，∠C=∠，证明：△ABC≌△
(请你将下列证明过程补充完整)
证明：分别过点B、，作BD⊥CA于D，于，
则∠BDC==90 ，∵BC=，∠C=∠
∴△BCD≌△ ∴BD=
(2) 归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
21、（2004年上海）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．
（1）求证：DF=BE；
（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG．
22、（2006年贵阳）两条平行直线上各有个点，用这对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图10-1展示了当时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图10-2展示了当时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当时，请在图10-3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 个；
（2）试猜想当对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
21、（2006年河北）探索： 在图12—1至图12—3中，已知△ABC的面积为a ．
（1）如图12—1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=______（用含a的代数式表示）；
（2）如图12—2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示）；
（3）在图12—2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图12—3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图12—3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图12—4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：
（1）种紫花的区域的面积；
（2）种蓝花的区域的面积．
(第12题)
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
图9
图12—1
A
B
C
D
A
B
C
D
E
图12—2
D
E
A
B
C
F
图12—3
图12—4
紫
A
B
C
紫
紫
紫
红
黄
黄
黄
C
第8题
A
60
B
140
120
60
E
D
C
B
A
A
C
D
B
F
E
（第11题图）
S
2
S
3
s
第14题
D
F
C
E
B
A
1
N
H
G
F
M
D
A
B
C
E
m
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