3.4 用计算器进行数的开方
●教学目标:
知识目标:掌握用计算器求平方根和立方根。
能力目标:1、用计算器探求数学规律,发展合理推理的能力。2、会根据实际问题用计算器求平方根和立方根。
情感目标:1、培养学生认真,仔细的态度。2、在简单的操作活动中发展学生主动探究习惯和与他人合作、交流意识,在复杂的操作活动中让学生体验“成功”和“失败”。
●教学重点:会用计算器进行开方运算。
● 教学难点:正确掌握计算器的输入方法,用计算器解决数学实际问题。
●教学方法:本节课采取了建构主义教学理论中的抛锚式教学,即“情境教学”。以“问题情境——数学活动(包括观察、实验、猜测、尝试、推理、交流、反思等)——概括——巩固、应用和拓展”的叙述模式呈现数学内容,使学生通过主动探索、互动合作等活动发现问题、解决问题,学会数学地思考问题。
●教学准备:多媒体课件、演示科学计算器
● 教学过程:
教学环节 教师引导 学生活动 设计意图
创设情 境 提出问题 师:上课前先来放松一下,大家一起来欣赏一组美丽的图片。(电脑放映4张世界著名的高楼大厦图:马来西亚的佩重纳斯双塔、美国世贸大厦、香港国际金融中心、上海金茂大厦)师:站在这些高楼上肯定能看到周围旖旎的风光,你们想知道能看到多远的风景吗?师:俗话说,登高望远。从理论上说,当人站在距地面千米高处时,能看到的最远距离约为千米。上海金茂大厦观光厅高340米,人在观光厅里最多能看多远(结果保留3个有效数字)? 欣赏图片: 创设情境,吸引学生注意力,引起学生兴趣。引起学生求知欲抛出“锚”,即提出问题,引起学生观察、思考。 (即书上例3)
数学活动 师:引导学生建立数学模型:人站在千米高处能看到最远距离为千米,现在高度为340米,求最远距离(结果保留3个有效数字) 小组交流,教师巡回指导。师:各组派代表说明你们的讨论结果并说明原因。 师:如何用计算器计算?多媒体上显示正确顺序: 0 . 3 4 0 = 结果: 0.5830951 注:凡从计算器上得到的结果,我们约定统一使用等号。师:保留3位有效数字的话,此题的最终答案为65.3千米。有几小组答案完全正确?来点掌声! 思考、观察学生4人小组合作、交流,尝试着去解决问题。并尝试着去探索用计算器求数的开方的用法。学生自由发言,各抒己见有些小组答案正确有些小组答案错误找出错误的原因 从现实生活中的具体实例中抽象出数学问题,建立数学模型。学生在解决数学问题的同时也自主学会了如何用计算器进行数的开平方。体验成功解决数学问题的喜悦或失败的情感。
概括 师:我们用科学计算器进行数的开平方的按键顺序是:先按再按其里面的数字,最后按等号。注:不同的按键顺序会导致不同的结果。师:一起来练一下:师:用计算器运算所得的结果,有时是准确值,如,有时是近似值,如14213562注:不同的计算器显示结果的有效数字不一定相同。 边练边概括 对用计算器进行数的开方步骤及时概括,并提醒学生在用计算器时应注意的问题。例1的(1)(2)小题
拓展 师:既然我们会用计算器开平方,那么如何用计算器开立方?师:大家一起来: 按键顺序: 9 = 结果: 2.080083823 在学生已学会用计算器进行数的开平方的基础上,再用同样的道理进行开立方,就容易多了。例1的(3)小题。
巩固 比一比:师:各小组进行计算比赛。 课件出示例题: 试一试:师:用计算器计算(结果保留4个有效数字)(1) (2)练一练:书81页课内练习1、2、3 进行竞赛(1)按键顺序: 4 ab/c 5 =结果: 0.894427191 (2)按键顺序: 1 ab/c 2 ab/c 7 = 结果: 1.087380373 书本上的“做一做”书上的例2
应用 多媒体放映:议一议:1.(1)任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开方运算,对所得结果再进行开方运算……随着开方次数的增加,你发现了什么?(2)改用另一个小于1的正数试一试,看看是否仍有类似的规律?(若课堂时间不够,下面一题可当作业思考)2.(1)用计算器求值:,,(结果保留4个有效数字)(2)你发现了什么规律? 阅读题目、思考。学生独立完成后,小组交流所得结果。(1)随着开方次数的增加,运算结果越来越接近1。(2)仍有类似(1)中的规律。 这是一道蕴涵极限思想的数学问题,让学生动手去探索规律,目的是开拓有特殊数学需求的学生的数学思维,增加自主探究能力,教师不必作其他的拓展。
回顾小结布置作业 谈一谈本节课你有何收获?出示作业:作业本2、同步练 回顾、思考、交流、补充。自我测试、评价 课堂总结,不但要总结结论,而且还要强调过程,这里的总结,回顾过程,就让学生回忆这节课的学习历程和发现的一些规律或研究成果。
●教学反思:随着现代化科学技术的发展,计算工具的发展也十分迅速,学生对计算器的掌握是现代化社会发展的必然趋势。在本节教学中学生除了要掌握用计算器进行数的开方外,还要学会把实际问题抽象成数学问题,逐渐培养他们分析问题和解决问题的能力,从而树立数学意识。
按照传统的课堂教学应分成:复习铺垫——新课引入——讲解新课——巩固练习——回家作业,这样的环节来设计,由学生先回顾计算器的按键方法,然后从例1到例2有浅入深地逐步教会学生用计算器进行数的开方,再解决例3的实际数学问题。我在上面的设计中没有复习铺垫这一环节,这是因为我认为,在已有的、众多的知识中去找出与现在要解决的问题有关的信息,这是一种能力,而且是一种十分重要的信息提取能力。而复习常常是教师为学生已经做了一些要解决新问题时需要的知识铺垫,学生在解决问题时,常常只是把课开始时复习的知识拿来用即可,教师给学生搭了太多的“脚手架”反而不利于学生能力的培养。有些课堂教学的铺垫是有必要的,可给学生建起学习新知识的桥梁,但没有必要每节课都进行铺垫,铺垫会使学生沿着老师指定的思路走,也就不会有创新的思维。我这节课设计模式为:问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展——回顾小结——布置作业。试图让学生在遇到实际生活问题时如何想到利用已有的数学知识去探索和解决,而不是等到学了这节课的知识后再去解决相应的问题,从长远角度看可以培养学生主动的学习能力和学习态度。我认为由实际生活联系数学是学数学最高境界,所以本节设计我直接把实际例题3当作创设问题,然后学生由实际问题抽象成数学问题(即数学模型),学生在解决模型的过程中遇到了如何求,通过小组合作既可以自主探索用计算器求数的开方也可以解答模型,接下来的例1和例2就相对显得简单了。
(探索解析模型)第三章 实数
3.1 平方根
●教学目标:
知识目标:理解平方根和算术平方根的概念,了解平方与开平方的关系。
能力目标:学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根,并运用以上知识解决实际问题。
情感目标:学习从特殊到一般的数学思想方法,培养学生从实践到理论,从具体到抽象的辨证唯物主义观点。
● 教学重点:平方根的概念。
● 教学难点:平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象,是本节课的难点。
● 教学方法:本节课主要采用探究式和启发式的教学方法。
● 教学准备:实物投影
●教学过程:
一、创设情境,设疑引新
(媒体展示)做一做 :同学们,你能将手中两个相同的小正方形,剪一剪,拼一拼,拼成一个大正方形吗?
如果小正方形的边长是1,那大正方形的边长是多少呢?
(设疑之后,引导学生解决这个问题的本质,即求平方等于2的数是什么?)
二、 师生互动,探究新知 随后,设计以下练习:
由具体问题开始讲解:
∵ (±2)2=4 ∴±2叫做4的平方根
∵ x = a ∴ x叫做a的平方根
由学生在总结讨论中下定义,教师板书定义 (略)
三、概念巩固
1、比一比,看谁最聪明
如图,在左图和右图中的“?”表示的数
x x
在求?的过程中,引导学生明确,左边的数是右边对应的数的平方根,并及时提问“有没有平方得负数的数?为什么?
2、平方根的性质和表示
学生通过讨论、交流得出平方根的性质:(展示)一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
3、 练习巩固,理解性质:
(1)下列各数是否有平方根,请说明理由 ① (—3)2 ② 0 2 ③ —0.01
(2)下列说法对不对?为什么?①4有一个平方根 ②只有正数有平方根
③任何数都有平方根 ④若 a≥0,a有两个平方根,它们互为相反数
4、平方根的表示法和求一个非负数的平方根
四、运用新知,体验成功
通过引导、交流、提出平方根的表示法、读法以及开平方的概念,然后设计以下练习巩固
例1 求下列各数的平方根
(1)9 (2) (3)0.36 (4)(5) (6)3
(注明:(1)带分数作被开方数应化成假分数 (2)不能出现)
课本练习 p69 1 2
五、算术平方根的概念与表示、读法 课本练习 p69 3
六、 探究模型,领会思想 再次探究开头提出的模型,估计的值在哪两个整数之间
(充分应用直观模型,感觉数形结合思想)
● 小结:本节课你学习了哪些知识?在探索知识的过程中,你用了哪些方法?对你今后的学习有什么帮助?
①知识方面:这节课我们学方根、算术平方根的概念、表示方法、求法及平方根性质
②思维方法:平方运算和开平方运算互为逆运算,可以互相检验
③探究策略:由特殊到一般,再由一般到特殊,是发现问题和解决问题的基本方法和途径。
④用定义解决问题也是常用方法和有力工具。
●板书设计:
1 平方根1、一个正数有正、负两个平方根, 例1 求下列各数的平方根 它们互为相反数; 零的平方根是零; 练习:负数没有平方根。
● 布置作业:作业本
●教学反思:本课时设计拟通过学生的探究、发现、释疑、解疑完成教学任务,充分体现“做数学”念;学生用动手观察、分析、合作、交流等手段“做数学”,获得“做数学”的体验,并通过分析、归纳、抽象,帮助学生逐渐形成自己的数学知识。
有一部分学生还是错误地认为:像3、5这些数没有平方根和算术平方根。
-8
8
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121
0.36
03.2 实 数
●教学目标:
知识目标:1、通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。2、能判断给出的数是否是有理数;并能说出理由。
能力目标:1、让学生亲自动手做拼图活动,感受无理数存在的必要性和合理性,培养大家的动手能力和合作精神。2、通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力。
情感目标:1、激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情。2、引导学生充分进行交流、讨论与探索等教学活动,培养他们合作与钻研精神。3、了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的献身精神。
●教学重点: 1、让学生经历无理数发现的过程,感知生活中确实存在着不同于有理数的数。 2、会判断一个数是否为有理数。
●教学难点:1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。2、会判断一个数是否为有理数。
●教学方法:合作、交流、探索
●教学准备:幻灯片、投影仪 两个边长为1的正方形,剪刀
● 教学过程:
一、 创设问题情境,引入新课
今天我们就来共同研究这个问题,一起来学习3。2实数(写课题)。
(师)现在,有两个边长为1的小正方形, 请大家四个人为一组,拿出剪刀,把两个边长为1的小正方形通过剪、拼,设法得到一个大正方形。
(师)经过大家的共同努力,每个小组都完成了任务,请同学们把自己拼的图展示一下。
(师)下面再请大家共同思考一个问题,假设拼成的大正方形的边长为a,则a应该满足什么条件呢?
(生)a是正方形的边长,所以a肯定是正数
(生)因为两个正方形的面积之和等于大正方形的面积,所以根据正方形面积公式可以得出
∵ ∴
二、继续探索特征,得到无理数概念
(师)前面我们已经总结了有理数包括整数和分数,下面我们先依靠计算机来帮助我们看一下等于多少?然后我们再来判断是整数吗?是分数吗?(EXCEL表格)
(师)用这种方法可以得出一系列越来越接近的近似值。事实上,
=1.1414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6………
它是整数吗?既不是有限小数,也不是无限循环小数,所以它不是分数。
不是整数也不是分数,因此,我们可以判定它不是有理数。
我们把像这种无限不循环小数叫做无理数。无理数是广泛存在着,例如:
3.141 592 653 589 793 238 46…
是无限不循环小数。是一个无理数。
还有一些无限不循环小数,如1.01001000100001……(两个1之间依次多一个0)等,它们都是无理数,因为它们都是无限不循环小数。
二、反馈调整,巩固概念
1、例1:判断下列数哪些是有理数?哪些是有理数?
、、、、1.232232223…(2个3之间依次多一个2),
练习
2、和有理数一样,无理数也可以分为正无理数和负无理数,例如:、都是正无理数,而、、都是负无理数。 有理数和无理数统称为实数。
实数
把数从有理数扩充到实数以后,有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用于实数。例如:
和是互为相反数,
例2填空:(1) (2) 的相反数是
(3)= (4)绝对值等于的数是
(5)请你写出四个无理数,并写出它们各自的相反数、绝对值。
三、数形结合,突破难点,深化概念
例3 把下列实数表示在数轴上,并比较它们的大小(用“”号、连接)
-1.4 3.3 1.5
在实数范围内,每一个数都可以用数轴上的点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,我们说实数和数轴上的点一一对应。
在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大。启发学生提出新的疑问,培养学生创造性思维。
像每个有理数都可以在数轴上找到一个对应点一样,每个无理数也都可以在数轴上找到一个对应点,因此,可以说,每个实数都可以在数轴上找到一个对应点。(想一想:为什么?)反过来,数轴上的每一点也都对应一个有理数或无理数,也就是说,数轴上的每一点都对应一个实数。把这两件事合在一起,我们就说全体实数和数轴上的点一一对应。
利用课件显示帮助理解以上内容,数形结合,突破本课的难点:在数轴上用绿色闪烁圆点表示有理数,但这些并不能布满直线,说明数轴上的每一个点并不都表示有理数。再用红色闪烁圆点表示无理数,讲到有理数时绿色圆点闪烁,讲到无理数时绿色圆点闪烁,讲到实数时红、绿圆点同时闪烁,这才成为一整条直线,由此形象、直观展示实数除了有理数外还包括无理数,深化了实数的概念。
四、介绍无理数的历史:
(古今中外,许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值,一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。整个十九世纪,可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。进入二十世纪,随着计算机的发明,圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机,人们已经得到了圆周率的12411亿位精度。)
●小结:(1)知识方面:
正有理数 ( 有限小数、无限循环小数 )
有理数 { 零 } 可化为分数
实数{ 负有理数
正无理数 (无限不循环小数)
无理数 { }
负无理数 不能化为分数
实数与数轴上的点一一对应
(2)思维方法:用有理数逼近无理数,求无理数的近似值;数形结合的数学思想
●板书设计:
2 实数1、像这种无限不循环小数 例3 叫做无理数。 2、有理数和无理数统称为实数。
● 作业:作业本、同步练
●教学反思:本课精心设计问题情景,积极引导,启发学生进行概念剖析,从谈起,让学生合作探究其特征 ,进而得到实数的概念,实现了数的范围的进一步扩展 ,尽量让学生亲身体验知识的形成过程,同时掌握分析、解决问题的思想和方法。
对于浙江版教材实数这一章的编写,有些疑惑:对于无理数在数轴上的表示,因为还没有学过勾股定理,只能利用面积来表示等无理数,而对于更多的无理数学生只能估计。对于无理数的表示,不知编者的理念是怎样的?3.5 实数的运算
●教学目标:
知识目标:1、了解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用。
2、 进行简单的实数四则运算,进一步认识近似数与有效数学的概念。
3、 用计算器进行近似计算,并按问题要求对结果取近似值。
能力目标:提高运用实数的运算法则和运算律的能力。
情感目标:探索用实数的运算解决一些简单的实际问题。
●教学重点:实数的运算。
●教学难点:用计算器将实数按要求对结果取近似值。
●教学准备:科学计算器
●教学过程:
(1) 导入新课:
同学们,你们想飞出地球,遨游太空吗?这是长期以来人类的一种理想,可是地球的吸引力毕竟是太大了,飞机飞得再快也得回到地面,只有当物体速度达到一定值时,才能克服地球引力,围绕地球旋转,这个速度叫第一宇宙速度,计算公式是:(千米/秒),其中千米/秒2是重力加速度。R=6370千米。是地球半径。请你用计算器求出第一宇宙速度,看看有多大?
生:(千米/秒)。
师:可见计算器对实数的运算既快又准,那么本节课我们就学习实数的运算。
(2) 练一练:
电脑显示:
(1)由学生写出用字母表示有理数的五条运算律。
师:数从有理数扩展到实数后,有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。
(2)计算:__ ; __ ; __
(3)利用计算器计算:___ (精确到0.01)___ (保留3个有效数字) ___(精确到万分位) ___(精确到0.01) ___ (保留2个有效数字)
生:(1) ;;
(2);;;;
(4)计算:①; ②
(由学生板演):① 原式= ② 原式=
通过以上的练一练,由学生归纳实数的运算法则:
实数的运算顺序是先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果遇到有括号,则先进行括号里的运算。
(3) 议一议
例1.计算:① (精确到0.001) ② (结果保留4个有效数字)
生:先练习,再同桌交流计算结果。
师:写出解题的规范化:
① 按键顺序: 8 - 9 =
0.748343301
②
例2.计算: (精确到0.01)
解:原式=
=
==18.94427197
(四)做一做
1. 计算:① (精确到0.01) ② (结果保留3个有效数字)
③ (精确到0.01)
生:板演上面的3个小问题。 师:及时纠正。
2. (结果保留3个有效数字) 生:两种解法:
解法Ⅰ: 解法 Ⅱ:
=13.22875656 =
=13.22875656
师:应给予表扬。
生:(小结)实数的运算用计算器简便、准确,最后结果必须按问题的要求取近似值,这一点要引起足够重视。
(五)轻松时刻
①的绝对值是_ _ ② ____的倒数是
③ ()的值是 ____ ④____
⑤实数a、b满足 则a = ___ ,b= ___
㈥挑战时刻
1、借用计算器可以求出:①___ ②___
③___ ④___
仔细观察上面几小题的结果,试猜想:
______。 (答案:)
请阅读下面解题过程:
2、已知:实数a、b满足,,且,试求的值。
解:
故
师:请仿照上面的解题过程,解答下面问题:
已知实数x 满足,且 ,试求的值? (答案:2)
●小结:归纳本节课同学们学到了哪些新知识?
●作业:作业本、同步练
●教学反思:本节课没有向学生重点交代:在使用计算器的情况下,一般先算得最终的结果后,再将显示的数据按预定的精确度取近似值。如果无法回避中间运算取近似值,那么中间运算通常比预定精确度多取1位,或多取1个有效数字。3.3 立方根
● 教学目标
知识与技能:了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根,并能用立方根运算求某些数的立方根
能力目标:1、创设问题情境,学生进一步发展对数学知识的抽象概括力。
2、通过学生的积极参与培养学生独立思考的能力,提高数学表达和运算能力。
情感态度与价值观:在参与数学学习活动中,不断培养合作交流的良好习惯。
● 教学重点:立方根的意义、性质。
● 教学难点:本节难点是立方根的求法,立方根与平方根的联系及区别。
● 教学方法:引导、探索、归纳、巩固练习
● 教学准备:多媒体课件
● 教学过程:
一、创设情境:电脑显示一个魔方
师:你们喜欢玩魔方吗?这是由8个同样大小的单位立方体组成的魔方,这8个小立方体可以重新排列,组成魔方表面的各种不同的美丽图案。现在要做一个体积为8cm3的立方体魔方,它的棱要取多少长?你是怎么知道的?
生:思考后回答。
师:体积为27 cm3和体积为1000 cm3的立方体的棱又是要取多少长呢?
生:思考、讨论后回答。
电脑演示:
二、讲授新课
师:让学生在平方根基础上试述立方根概念。
师(总结):一般地,一个数x的立方等于a,即,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做a的三次方根),记做。如:,则2叫做8的立方根,即;,则是的立方根,即。其中a是被开方数,3是根指数,符号读做“三次根号”。
师:针对前面几个例子,由学生说出27和1000的立方根
三、练一练 求下列各数的立方根:
(1)27; (2); (3); (4); (5)0
解:(1)因为,所以27的立方根是3,即.
(2)因为,所以的立方根是,即.
(3)因为,所以的立方根是,即.
(4)因为,所以的立方根是,即.
(5)因为,所以0的立方根是0,即.
生:总结解题方法和在过程中需要注意的问题。
师:强调(1)求立方根用到立方运算。(2)负数的立方根注意符号。
四、议一议
电脑出示:
(1)一个正数有几个立方根?是正是负?为什么?(2)是否任何负数都有立方根?如有,有几个?是正是负?(3)0的立方根是什么?
师:引导各小组进行举例、猜想。可提示学生联系上面的“练一练”思考这些问题。
师:(板书结论)每个数a都只有一个立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。任意数a的立方根可表示为“”,读做“三次根号a”
五、做一做
计算:(1) ; (2)
解:(1) (2)
六、挑战自我
问题:表示a的立方根,那么等于什么?呢?
分析:应抓住立方根的定义去分析,如果,那么x就是a的立方根,即,所以。同样,根据定义,是a的三次方,所以的立方根就是a,即。
七、体验一刻
分别求下列各式的值:(1); (2); (3); (4)
评析:鼓励学生利用“想一想”中公式:,直接进行计算。
八、开心乐园——抢答竞赛
规则:全班分成四大组,每组有个记分人,那组人先举手先发言,并要说明问题的原因,答对加1分,答错减一分,最终获胜一组给予鼓励。
电脑陆续放题:
1. 判断正误:(1)的立方根是 (2)负数不能开立方(3)4的平方根是2
(4)的立方根是(5)负数有一个平方根 (6)0的立方根是0
2. 口算: (1)1的立方根是___ (2)的立方根是___
(3)的立方根是__ (4)___
(5)___ (6)___
●小结:先由学生小结,再有教师归纳:
1. 符号中的根指数“3”不能省略。
2. 对于立方根,被开方数没有限制,正数、零、负数都有唯一一个立方根。
3. 平方根和立方根的区别:(1)正数有两个平方根,但只有一个立方根;
(2)负数没有平方根,但却有一个立方根。
4. 灵活运用公式:(1);(2);(3)
5、 立方与开立方也互为逆运算。我们也可以用立方运算求一个数的立方根,或检验一个数是不是另一个数的立方根。
● 作业:作业本、同步练
●教学反思:通过这节课的教学,学生能掌握立方根的求法,立方根与平方根的联系及区别。但对于(1);(2);(3),有一部分学生还是觉得理解较困难,在后面的教学中应予以补充。