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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章平行四边形的性质压轴题训练卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在□ABCD中，点M为CD的中点，且DC=2AD，则AM与BM的夹角的度数为（ ）
A．100° B．95° C．90° D．85°
【答案】C
【解析】□ABCD中，
∴DC∥AB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，∠BAM=∠DMA，
∵点M为CD的中点，且DC=2AD，
∴DM=AD，
∴∠DMA=∠DAM，
∴∠DAM=∠BAM，
同理∠ABM=∠CBM，
即：
∴∠AMB=180°-90°=90°．
故答案为：C．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC上一点，连接BO、DO，△COD、△AOD、△AOB、△BOC的面积分别是S1、S2、S3、S4.下列关于S1、S2、S3、S4的等量关系式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，分别过B、D作BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠DCE=∠BAF，
在△CDE和△ABF中， ，
∴△DEC≌△ABF（AAS）
∴DE=BF，
∴ OA·DE= OA·BF， OC·DE= OC·BF，即S1=S4，S2=S3，
∴S1+S3=S2+S4， ， ，故A、B、C选项正确，
只有OA=2OC时，S2=2S1，故D选项错误.
故答案为：D.
3．如图，一个长方形 是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设标号为②和③的两块长方形的长为x、宽为y，
根据题意，标号为①的长方形的周长为 ，标号为④的长方形周长为 ，
所以标号为①和④两块长方形的周长之差为： ，
故只要知道线段 的长度.
故答案为：B.
4．如图所示，点E为平行四边形ABCD对角线AC上的一点，AE＝7，CE＝3，点F在BE的延长线上.且EF＝BE，EF与CD相交于点G，则DF＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】连接BD交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE＝7，CE＝3，
∴ ，
，
，
， ，
，
，故C正确.
故答案为：C.
5．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则以下结论：① ∠DCF= ∠BCD；②EF＝CF；③S△ABC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，一定成立的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【解析】∵F是AD的中点，
∴ AF=FD，
∵在 中，AD＝2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴ ∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF= ，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴ AF＝FD，
在 和 中
∵ ，
∴ ，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC= EM＝FE，故②正确；
∵EF=FM，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
故：S△ABC<2S△CEF，故③不成立；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC＝90°-x，
∴∠EFC＝180°—2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x＝270° -3x，
∵∠AEF＝90°-x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④正确.
故答案为：D.
6．如图所示，点E为内一点，连结，已知的面积为2，的面积为10，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】如图，过点作于点，
设和的和边上的高分别为和，
，，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点H，∠DCE的平分线交AE于点G．若AB＝2AD＝10，点H为CD的中点，HE＝6，则AC的值为（ ）
A．9 B． C．10 D．3
【答案】B
【解析】∵ AB＝2AD＝10，
∴AD=5，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
∵∠B=∠D，
∴∠B=∠DCE，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAH=∠E，
∴CD=AB=10，
∵点H为CD的中点，
∴CH=DH=5，
∴△AHD≌△ECH（AAS），
∴CE=AD=5=CH，AH=EH=6，
∵CG平分∠DCE，
∴CG⊥EH，HG=EG=3，
∴CG==4，AG=AH+HG=9，
∴AC=
故答案为：B.
8．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB= ，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当点P运动到边AC中点（如图），即CP= 时，
以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=4 ，BC=2 ，
∴根据勾股定理得：AC=6，
∵△DAC为等腰直角三角形，
∴DP=CP= AC=3，
∵BC∥DP，
∴PC是平行四边形DPBQ的高，
∴S平行四边形DPBQ=DP CP= =9．
故答案为：D.
9．如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】如图，延长HD交AG于点Q，
∵ DECF，
∴DF∥CE，ED∥CF，
∴∠CFH=∠EDQ
又∵BC∥AQ，
∴四边形HQEC为平行四边形，
∴EQ=CH，
又∠EQD=∠CHF，
∴△EDQ≌△CHF（AAS），
∴S△EDQ=S△CHF，
∴S HQEC=S DECF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△BEC=24，
又∵AD=CD，
∴S△BDC=S△ABC=16，
∴S△DEC=S△BEC-S△BDC=24-16=8，
∴S HQEC=S DECF=2S△DEC=16，
∴S△AHC=S HQEC=8.
故答案为：C.
10．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB= ，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF、EF.若∠EFD=90°，则AE长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】连接DE，延长EF，DA相交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠G=∠FEB，
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF，
在△AFG和△BFE中
∴△AFG≌△BFE（AAS）
∴GF=EF，
∵∠EFD=90°即DF⊥GE，
∴DF垂直平分GE，
∴DG=DE，
设AG=BE=x，
∴DE=DG=x+2
在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2，
在Rt△ADE中，AE2=DE2-AD2，
∴
解之：x=1（取正），
∴DE=1+2=3
∴AE2=32-22，
解之：AE=（取正）.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，小明用三个等腰三角形（图中①②③）拼成了一个平行四边形ABCD，且 ，则 = 度
【答案】72或
【解析】由题意可知：AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，设∠DAE=∠DEA=x.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∠C=∠DAB，∴∠DEA=∠EAB=x，∴∠C=∠DAB=2x.
①AE=AB时，若BE=BC，则有∠BEC=∠C，即 （180°﹣x）=2x，解得：x=36°，∴∠C=72°；
若EC=EB时，则有∠EBC=∠C=2x.
∵∠DAB+∠ABC=180°，∴4x+ （180°﹣x）=180°，解得：x= ，∴∠C= ，
②EA=EB时，同法可得∠C=72°.
综上所述：∠C=72°或 .
故答案为：72°或 .
12．如图，E、F分别是 ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝20cm2，则阴影部分的面积为 cm2.
【答案】30
【解析】连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP，
∵S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，
∴S四边形EPFQ=30cm2，
故阴影部分的面积为30cm2.
故答案为：30.
13．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则平行四边形ABCD的周长为 .
【答案】20
【解析】∵在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF＝60°，
∴∠AFB＝∠CEB＝90°，AD//CB，AB//CD，
∴∠CBF=∠AFB=90°，∠ABE=∠BEC=90°，
∴∠ABF=90°-∠EBF=30°，∠CBE=90°-∠EBF=30°，
∵在Rt△BCE中，CE＝2，
∴BC＝2CE＝4，
∴AD＝BC＝4，
∵DF＝1，
∴AF＝AD﹣DF＝3，
在Rt△ABF中，AB＝2AF＝6，
∴CD＝AB＝6，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，
故答案为：20.
14．如图，在 中， ，点D为 上一动点（不与点C重合），以 ， 为一组邻边作平行四边形 ，当 的值最小时，平行四边形 的周长为 .
【答案】4+
【解析】当DE⊥AE时，DE取得最小值，设此时CD=x，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴CD=AE，AD=CE，BC∥AE，
∵∠B=90°，DE⊥AE，
∴四边形BAED是矩形，
∴BD=AE，
∴BD=CD=x，
∵BC=BD+CD，BC=4，
∴BD=CD=2，
∵AB=3，∠B=90°，
∴AD= ，
∴当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为：2+ +2+ =4+ .
故答案为：4+ .
15．如图，在 ABCD中，AB＝7，AD＝9，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，①若 时，EF＝ ； ②若F恰好为BC的中点，则 ABCD的面积为 .
【答案】；
【解析】①如图1中，
∵∠B=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形， ∴ ，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠DAC=∠CAE，
∴∠ACF=∠CAF，
∴AF=CF，
设AF=CF=x，
在Rt△ABF中，AB＝7，则有x2=72+（9-x）2，
解得 ，
由折叠可得：
∴ .
②如图2中，
当BF=CF时， 同理可得：
AF=CF=BF，
∴ ∠BAC=90°，∴
∴S平行四边形ABCD=AB AC= .
故答案为： .
16．如图所示，在平行四边形中，点E在线段上且，点F是边的中点，若，，且，则的长是 .
【答案】
【解析】如图，过点作于点，过点作交于点，连接，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是三角形的中位线，
，，
，
点是边的中点，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，，
，
，
.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点Q，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形：
（2）若AB⊥AC，AB=3，BC=5，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE=OB，FO=OD，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，，
∴OA=AC=2；
在Rt△AOB中
，
∴BD=2BO=.
∴BD的长为.
18．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AD∥BC，AO＝CO．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度数．
【答案】（1）证明：∵ AD // BC ，
∴∠ADO =∠CBO
又∵∠AOD =∠BOC，OA=OC ，
∴△ADO ≌△CBO(AAS )
∴ AD=BC(或OB=OD)
∴四边形 ABCD 是平行四边形
（2）解：∵OB =OD，OE⊥BD，
∴ BE=ED ，
∴∠CBD =∠BDE=15°
∵∠CDE=15°，
∴∠BDC=30°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB // CD，
∴∠ABD =∠BDC=30°，
∴∠ABC =∠ABD +∠CBD=30°+15°=45°
19．如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）.
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的 时，求t的值.
【答案】（1）解：平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝ BC＝ cm，
∴BG＝ ＝ （cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6× ＝9 （cm2）.
答：平行四边形ABCD的面积为9 cm2；
（2）解：当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝ AF＝ （cm），
∴△AEF的面积为： ×AE×FH＝ ×2× ＝ （cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为 cm2；
（3）解：∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9 cm2.
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的 时，△AEF的面积为：9 × ＝3 （cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，（0＜t≤3），AE＝tcm，AF＝tcm，高为 AF＝ t（cm），
∴ ×t× t＝3 ，
∴t＝2 ＞3， ，不符合题意舍去；
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在CD上运动t秒，（3＜t≤6），
∴ ×t× ＝3 ，
∴t=4，符合题意；
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，（6＜t＜9）
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝ BE′＝ （t﹣6）（cm），E′H＝1.5 ﹣（t﹣6）＝ （9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9 ﹣ ×6× （t﹣6）﹣ ×[6﹣（t﹣3）]×[ （9﹣t）]﹣ （t﹣3）×1.5 ＝3 ，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴t=（不符合题意，舍）或t=，
当t=时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意.
综上所示，t的值为4或.
20．如图1，中，，点是边上两个动点，且，以为邻边作平行四边形分别交于点，设.
（1）当平行四边形的面积为时，求的值；
（2）求证：；
（3）如图2，连结，当与的一边平行时，求的面积.
【答案】（1）解：过点P作PH⊥BC于H，则∠PHC=90°，
∵，，
∴，
∵，，
∴，∠BPH=90°，
∵，
∴，，
∵BC=4，CQ=m，
∴BQ=4-m，
∵平行四边形的面积为，
∴
∴m=1或3
∵P点在AB上
∴m=1，
（2）解：∵四边形是平行四边形
∴PD=BQ=4-m，PD//BC，BP//QD
∴∠D=∠FQC，
∵∠C=90°，
∴∠AEP=90°，
∴，
∴，
∵∠DFE=∠QFC，
∴
（3）解：过点Q作QM⊥AB于M，则∠BMQ=90°，
∵∠ABC=60°，
∴，，
∵
∴QF=DF，
∴，
∴的面积=，
∵QF与AD相交于点D，则AD不平行QF，
①当AD//PF时，
∵BP//QD，
∴四边形是平行四边形，
∴DF=AP，
∴2m=8-4m，
∴，
∴的面积=，
②当AD//PQ时，
∵BP//QD，
∴四边形是平行四边形，
∴DQ=AP，
∴4m=8-4m，
∴，
∴的面积=，
综上所述：的面积为或；
21．如图，的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，已知OA＝3，OB＝5，OD＝4.
（1）的面积为 ；
（2）如图1，点E是BC边上的一点，若△ABE的面积是的，求点E的坐标；
（3）如图2，将△AOD绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OD1，在整个旋转过程中，能否使以点O、A1、D1、B为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点A1的坐标；若不能，请说明理由.
【答案】（1）32
（2）解：过点E作EF⊥AB于F，
∵，
∴×AB×EF＝8，
∴EF＝2，
∵OA＝3，OB＝5，OD＝4，
∴点B（5，0），点C（8，4），
设BC解析式：y＝kx+b
∴，
，
，
当y＝2时， ，
（3）解：共可以分三种情况：
第一种情况：
∵OA＝3，OD＝4，
∴AD＝5，
如图，若四边形OA1D1B是平行四边形，A1D1交y轴于点F，
∵将△AOD绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OD1，
∴A1O＝AO＝3，∠OAD＝∠A1，
∵四边形OA1D1B是平行四边形，
∴A1D1∥AB，
∴∠A1FD＝∠A1FO＝∠AOF＝90°，且∠A1＝∠OAD，
∴△A1FO∽△AOD，
∴，
∴，
，
∵点A1在第二象限，
.
第二种情况：
如图，若四边形A1D1OB是平行四边形，A1D1交y轴于点F，
∵将△AOD绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OD1，
∴A1O＝AO＝3，∠OAD＝∠D1A1O，
∵四边形OBA1D1是平行四边形，
∴A1D1∥AB，
∴∠A1FO＝∠AOF＝∠AOD＝90°，且∠OAD＝∠D1A1O，
∴△A1FO∽△AOD，
∴，
∴，
，
∵点A1在第四象限，
.
第三种情况：
如图，若OA1BD1是平行四边形，过点A1作A1E⊥BA于点E，
∵OA1BD1是平行四边形，且∠A1OD1＝90°，
∴OA1BD1是矩形，
∴OD1＝A1B＝4，∠OA1B＝90°，
，
∴3×4＝5×A1E，
，
∴OE＝＝＝ ，
∵点A1在第一象限，
.
或者或者.
【解析】（1）解：∵OA＝3，OB＝5，OD＝4，
∴AB＝8
∴的面积＝4×8＝32.
故答案为：32；
22．我们定义：有一组对边相等，另一组对边不相等的凸四边形叫做“单等对边四边形”。
（1）如图1，在 ABCD中，点E为AB上不与点A，B重合的一点，CE=CB。
求证：四边形AECD为单等对边四边形；
（2）如图2，在8×10的网格中，顶点A、B、C均是格点，请在此网格内找格点D，使四边形ABCD为单等对边四边形，请你在网格中画出所有满足条件的点D；
（3）如图3，在单等对边四边形ABCD中，AB=CD，BC=1，CD=5，∠BCD=90°，若单等对边四边形ABCD内有一点P，使四边形ABCP为平行四边形，且 ABCP与四边形ABCD的面积比为1：3，求 ABCP的面积。
【答案】（1）证明：在 ABCD中，AD=BC， AB=CD，
∵CE=CB，∴AD=CE，
∵点E为AB上不与点A、B重合的点，∴AB>AE，∴CD≠AE，
∴四边形AECD为单等对边四边形。
（2）解：点E位置如图所示
（3）解：延长AP交CD于点H，连结AC，
∵ ABCP，∴BC∥AP，
∵∠BCD=90°，∴∠PHC=90°，
设PH=x，则CH= ，
∵ ABCP与四边形ABCD的面积比为1：3，
∴S△ABC：S△ACD=1：5，∴
整理得x2+x-12=0，∴x1=-4 (舍)，x2=3，∴CH= =4，
∴ ABCP的面积为1×4=4
23．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH.设点F运动的时间为t.
（1）判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
（2）若CE＝AB.
①求点F由点A向点C匀速运动的过程中，线段GH所扫过区域的面积；
②若△FGH是等腰三角形，求t的值.
【答案】（1）解：∵AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，
∴AE= 4，
∵G，H分别是AF，EF的中点，
∴GH∥AE，GH= AE=2；
（2）解：①∵CE=AB=5，
∴AC= ，
取EC的中点M，AC的中点N，AE的中点O，线段GH所扫过区域是 AOMN，
EM= CE= ，
∴线段GH所扫过区域的面积=MN EM=GH EM=2× =5；
；
②当FH=FG时，△FGH是等腰三角形，
此时FE=FA，
∴∠FEA=∠FAE，
∵∠FEA+∠FEC=90°，∠FAE+∠FCE=90°，
∴∠FEC=∠FCE，
∴FE=FC，
∴FE=FA=FC，
∴AF= AC= ，
∴t的值为 （秒）；
当GH=FG时，△FGH是等腰三角形，
此时AE=FA=4，
∴t的值为4（秒）；
当GH=HF时，△FGH是等腰三角形，
此时AE=EF=4，连接EG，
∵G是AF的中点，
∴EG⊥AC，
∵S△AEC= AE EC= AC EG，
∴EG= ，
∴AG= ，
∴AF= 2AG ，
∴t的值为 （秒）；
综上，t的值为 秒或4秒或 秒.
24．如图1， 在平而直角坐标系中，直线AB：y= x+4与坐标轴交于A，B两点，点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造 CPDQ，设点P运动的时间为t秒．
（1）直接写出点C的坐标为 ．
（2）如图2，过点D作DG⊥y轴，过点C作CH⊥x轴．证明：△PDG≌△CQH．
（3）如图3，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
【答案】（1）（1.5， 2）
（2）证明：∵四边形CPDQ为平行四边形，
∴CQ∥PD，CQ=PD，∠DPC=∠CQD
又∵过点D作DG⊥y轴，过点C作CH⊥x轴，
∴CH∥PO，∠PGD=∠CHQ=90°，
∴∠GPC+∠PCH=∠DPC+∠PCQ=180°，
∴∠GPD+∠DPC+∠PCH=∠DPC+∠PCH+∠HCQ，
∴∠GPD=∠HCQ，
∴△PDG≌△CQH（AAS）；
（3）解：如图，
∵△PDG≌△CQH（已证明），
∴DG=QH，PG=CH，
∵C（1.5，2），A（0，4），B（3，0），
∴P（0，4-t），Q（2t，0），yOC=x，
∴PG=CH=2，OH=1.5，
∴DG=QH=2t-1.5，GO=4-t-2=2-t，
∴D（2t-1.5，2-t），
①点D落在OC上时，
∴2-t=（2t-1.5），
∴t=；
②点D落在OB上时，
2-t=0，
∴t=2；
③点D落在BC上时，
2-t=-（2t-1.5）+4，
∴t=，
综上，满足要求的t为或2或.
【解析】（1）∵y=x+4与坐标轴交于A，B两点，点C为AB的中点，
∴A（0，4），B（3，0），
∴C（，），即C（1.5，2）；
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章平行四边形的性质压轴题训练卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在□ABCD中，点M为CD的中点，且DC=2AD，则AM与BM的夹角的度数为（ ）
A．100° B．95° C．90° D．85°
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC上一点，连接BO、DO，△COD、△AOD、△AOB、△BOC的面积分别是S1、S2、S3、S4.下列关于S1、S2、S3、S4的等量关系式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一个长方形 是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，点E为平行四边形ABCD对角线AC上的一点，AE＝7，CE＝3，点F在BE的延长线上.且EF＝BE，EF与CD相交于点G，则DF＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（第4题） （第5题） （第6题） （第7题）
5．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则以下结论：① ∠DCF= ∠BCD；②EF＝CF；③S△ABC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，一定成立的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②④
6．如图所示，点E为内一点，连结，已知的面积为2，的面积为10，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点H，∠DCE的平分线交AE于点G．若AB＝2AD＝10，点H为CD的中点，HE＝6，则AC的值为（ ）
A．9 B． C．10 D．3
8．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB= ，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（ ）
A． B． C． D．
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB= ，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF、EF.若∠EFD=90°，则AE长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，小明用三个等腰三角形（图中①②③）拼成了一个平行四边形ABCD，且 ，则 = 度
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，E、F分别是 ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝20cm2，则阴影部分的面积为 cm2.
13．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则平行四边形ABCD的周长为 .
14．如图，在 中， ，点D为 上一动点（不与点C重合），以 ， 为一组邻边作平行四边形 ，当 的值最小时，平行四边形 的周长为 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在 ABCD中，AB＝7，AD＝9，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，①若 时，EF＝ ； ②若F恰好为BC的中点，则 ABCD的面积为 .
16．如图所示，在平行四边形中，点E在线段上且，点F是边的中点，若，，且，则的长是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点Q，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形：
（2）若AB⊥AC，AB=3，BC=5，求BD的长．
18．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AD∥BC，AO＝CO．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度数．
19．如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）.
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的 时，求t的值.
20．如图1，中，，点是边上两个动点，且，以为邻边作平行四边形分别交于点，设.
（1）当平行四边形的面积为时，求的值；
（2）求证：；
（3）如图2，连结，当与的一边平行时，求的面积.
21．如图，的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，已知OA＝3，OB＝5，OD＝4.
（1）的面积为 ；
（2）如图1，点E是BC边上的一点，若△ABE的面积是的，求点E的坐标；
（3）如图2，将△AOD绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OD1，在整个旋转过程中，能否使以点O、A1、D1、B为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点A1的坐标；若不能，请说明理由.
22．我们定义：有一组对边相等，另一组对边不相等的凸四边形叫做“单等对边四边形”。
（1）如图1，在 ABCD中，点E为AB上不与点A，B重合的一点，CE=CB。
求证：四边形AECD为单等对边四边形；
（2）如图2，在8×10的网格中，顶点A、B、C均是格点，请在此网格内找格点D，使四边形ABCD为单等对边四边形，请你在网格中画出所有满足条件的点D；
（3）如图3，在单等对边四边形ABCD中，AB=CD，BC=1，CD=5，∠BCD=90°，若单等对边四边形ABCD内有一点P，使四边形ABCP为平行四边形，且 ABCP与四边形ABCD的面积比为1：3，求 ABCP的面积。
23．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH.设点F运动的时间为t.
（1）判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
（2）若CE＝AB.
①求点F由点A向点C匀速运动的过程中，线段GH所扫过区域的面积；
②若△FGH是等腰三角形，求t的值.
24．如图1， 在平而直角坐标系中，直线AB：y= x+4与坐标轴交于A，B两点，点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造 CPDQ，设点P运动的时间为t秒．
（1）直接写出点C的坐标为 ．
（2）如图2，过点D作DG⊥y轴，过点C作CH⊥x轴．证明：△PDG≌△CQH．
（3）如图3，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
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