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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形
5.2菱形（1）
【知识重点】
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
2、菱形的性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平方一组对角.
【经典例题】
【例1】如图，菱形的对角线AC与BD相交于点O，若，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【例2】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，于H，连接OH，，，则（ ）．
A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6
【例3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为 ．
【例4】如图，在菱形中，对角线，的交点为，，.若点在上，且，则的长为 .
【例5】如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接．求证：．
【例6】如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边，上，顶点F，H在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若E为中点，，求菱形的周长．
【基础训练】
1．菱形ABCD的两条对角线AC＝8cm，BD＝6cm，那么菱形的边长是( )
A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm
2．如图，在菱形中，点是的中点，点是的中点，连接，如果，那么菱形的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3．如图，在菱形中，对角线，分别为16和12，于点E，则（ ）
A． B． C．10 D．8
4．如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
6．如图，在菱形中，，对角线，则菱形的周长是 ，面积是 ．
7．如图，点E是菱形的边上一点，且，则 ．
（第7题） （第8题） （第9题）
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD中点，F为AB中点，若，则菱形ABCD的周长为 ．
9．如图，菱形中，若AC=10，，则菱形的面积为 ．
10．如图，在菱形中，对角线与相交于点，为的中点，过点作交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形．
11．如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小．
12．如图，菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、AD的中点．求证：．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AB=，DE=3，求BD的值．
14．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【培优训练】
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF
（第15题） （第16题） （第17题） （第18题）
16．已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，将菱形绕点逆时针旋转，得到菱形，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
17．如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，若，则的度数是（ ）
A．60° B．75 C．80° D．110°
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15 B．20 C． D．
19．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AC上一点，连接DE，AB＝CE＝5AE，BD＝8，则DE的长为 ．
（第19题） （第20题） （第21题） （第22题）
20．如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则 °．
21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，顺次连接E、F、G、H．若，，则四边形EFGH的面积为 ．
22．如图，菱形ABCD的边长是4，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB．则PB= ．
23．小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”如图，菱形中，，四边形是矩形，若，则矩形的面积为 ．
24．已知，菱形ABCD（∠C＜90°）的对角线长分别为6和8，点E在边BC上，BE＝1，若点F在直线AB上，且AE＝DF，则BF的长为 .
25．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．
26．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，S菱形ABCD＝60，点E从点B出发在边BC上向终点C运动．过点E作边BC的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
（1）如图1，点G在AC上．
①求证：FA＝FG；
②若点G是AC的中点，求证：BF＝FG；
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
27．如图1，直线分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为（－3，0），D
为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E．
（1）点B的坐标为 ，不等式的解集为 ；
（2）若，求点D的坐标；
（3）如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°，连接AF、CF、AC，求证：CAF≌△CBD．
28．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求菱形的边长；
（2）求直线AC的解析式：
（3）如图2，动点P从点A出发，沿折线向终点C运动，过点P作轴交AC于点Q，设点P的横坐标为a，线段PQ的长度为l．
①求l与a之间的函数关系式；
②取OM的中点N，请问以P、Q、N、M四点构成的四边形能否成为平行四边形？如果能成为平行四边形，请求出点P点Q的坐标，如果不能，请说明理由．
【直击中考】
29．如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
（第29题） （第30题） （第31题）
30．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
31．如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
32．如图.将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 得到菱形 ， .当AC平分 时， 与 满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
（第32题） （第33题） （第34题）
33．如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为 ．
34．如图，菱形 的边长为 ， ，将该菱形沿AC方向平移 得到四边形 ， 交CD于点E，则点E到AC的距离为 .
35．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是 ；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是 ．
36．如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，则 = ．
（第36题） （第37题） （第38题）
37．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为 ．
38．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则BE的值为 。
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形（解析版）
5.2菱形（1）
【知识重点】
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
2、菱形的性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平方一组对角.
【经典例题】
【例1】如图，菱形的对角线AC与BD相交于点O，若，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】四边形是菱形，
，，，
，，
在中，，
，，，
故答案为：D．
【例2】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，于H，连接OH，，，则（ ）．
A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，BD=2BO，AO=AC=8，
在Rt△AOB中，BO=
∴BD=2BO=12
∵DH⊥AB，O为BD的中点
∴OH=BD=6
故答案为：D
【例3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】16
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA = OС，OB= OD，AC⊥ BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD = 90°，
∴BD = 2OH，
∵ОН=2，
∴BD=4，
∵OA=4，
∴AC= 8，
∴菱形ABCD的面积=．
故答案为：16．
【例4】如图，在菱形中，对角线，的交点为，，.若点在上，且，则的长为 .
【答案】
【解析】∵四边形ABCD为菱形，，，
∴，，
∴在中，由勾股定理可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【例5】如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接．求证：．
【答案】证明：菱形，
，
，
在和中，
，
，
．
【例6】如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边，上，顶点F，H在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若E为中点，，求菱形的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接EG，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴菱形的周长．
【基础训练】
1．菱形ABCD的两条对角线AC＝8cm，BD＝6cm，那么菱形的边长是( )
A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm
【答案】B
【解析】如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝OD＝BD＝6＝3cm，AO＝OC＝AC＝×8＝4cm，
∴AB＝＝5cm，即菱形的边长是5cm，
故答案为：B．
2．如图，在菱形中，点是的中点，点是的中点，连接，如果，那么菱形的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【解析】∵E为AB中点，F为AC中点，
∴线段EF为的中位线，
∴.
∵四边形ABCD为菱形，
∴该菱形的周长=4×8=32.
故答案为：D.
3．如图，在菱形中，对角线，分别为16和12，于点E，则（ ）
A． B． C．10 D．8
【答案】A
【解析】
∵四边形是菱形
∴且平分对角线
又∵，
∴AO=8，BO=6，
∴
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，等于底乘高
∴
∴
故答案为：A．
4．如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为，
故答案为：C．
5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解析】A. 对边平行且相等，菱形和矩形都具有，故该选项不符合题意；
B. 对角线互相平分，菱形和矩形都具有，故该选项不符合题意；
C. 对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故该选项不符合题意；
D. 对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有，故该选项符合题意．
故答案为：D．
6．如图，在菱形中，，对角线，则菱形的周长是 ，面积是 ．
【答案】40；
【解析】连接BD交AC于O，如图：
∵四边形是菱形，
∴AB=AC，，
∵，
∴是等边三角形，
∴AC=AB=10，AO=5，
由勾股定理得BO=，
∴菱形的周长为，菱形的面积为，
故答案为：40，．
7．如图，点E是菱形的边上一点，且，则 ．
【答案】
【解析】∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD中点，F为AB中点，若，则菱形ABCD的周长为 ．
【答案】
【解析】、分别为、的中点，
，
又，
，
四边形为菱形，，
、均为等边三角形，
，
菱形的边长为．
故答案为：．
9．如图，菱形中，若AC=10，，则菱形的面积为 ．
【答案】120
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，
∴菱形的面积=，
故答案为：120．
10．如图，在菱形中，对角线与相交于点，为的中点，过点作交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
11．如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小．
【答案】解：在菱形ABCD中，有，且，
∵DE垂直平分BC，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即∠ABC的度数为120°．
12．如图，菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、AD的中点．求证：．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形
∴
∵点E、F分别是边CD，AD的中点
∴ ，
∴
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）
∴．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AB=，DE=3，求BD的值．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，∵DE⊥BD，∴AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：∵ACED是平行四边形，∴AD=CE，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=BC=，∴BE=5 ，∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE中，BD=.
14．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，∴且，∵，∴，即，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，，，，，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理可得：∴，∴，∵，∴，∴．∴的长为．
【培优训练】
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF
【答案】A
【解析】要使四边形AEDF是菱形，则应有DE＝DF＝AE＝AF，
∵E，F分别为AC，BC的中点
∴AE＝BE，AF＝FC，
应有DE＝BE，DF＝CF，则应有△BDE≌△CDF，应有BD＝CD，
∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC，
∴△ABC应是等腰三角形，
∴应添加条件：AB＝AC或∠B＝∠C.
则当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形.
故答案为：A.
16．已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，将菱形绕点逆时针旋转，得到菱形，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点B作轴于点D，
∵，
∴，
∴，
∴点B(，)，
将菱形OABC绕O逆时针旋转，则点与点B关于点 O对称，
∴点的坐标为(，)，
故答案为：A.
17．如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，若，则的度数是（ ）
A．60° B．75 C．80° D．110°
【答案】B
【解析】连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，
∴BF=DF，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF=CF，
∴DF=CF，
∴∠CDF=∠DCF=35°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°，
∴∠ADF=110°-35°=75°，
故答案为：B．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15 B．20 C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接EF交AC于点O，连接CE，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OE＝OF，DCAB，
∴CF＝CE，，
在△CFO和△AEO中，，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴CF＝AE，
∴CE＝AE，
∴BE＝AB AE＝24 CE，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得，
∴，
解得CE＝15，
∴AE＝15，
故答案为：A．
19．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AC上一点，连接DE，AB＝CE＝5AE，BD＝8，则DE的长为 ．
【答案】2
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AB＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，
设AE＝x，则AB＝CE＝5x，
∴CO＝AC＝3x，
在Rt△COD中，由勾股定理得，OD＝4x，
∴4x＝4，
∴x＝1，
∴OD＝4，AE＝1，CE＝5，
∴OE＝2，
在Rt△ODE中，由勾股定理得，
DE＝＝，
故答案为：2．
20．如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则 °．
【答案】40
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF，
∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠BCF，
∵∠AED=40°，AD∥BC，
∴∠AED=∠BAF，
∴∠BCF=40°，
故答案为：40．
21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，顺次连接E、F、G、H．若，，则四边形EFGH的面积为 ．
【答案】
【解析】点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，，
，，
，
四边形是菱形，
，
∴，
，
连接，则是等边三角形，
四边形EFGH的面积为，
故答案为：．
22．如图，菱形ABCD的边长是4，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB．则PB= ．
【答案】
【解析】如图，连接BF、BD，
∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=CD=4，
∵∠A=60°，
∴∠C＝∠A＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，∠DBC=60°，
∴∠DBA=60°，
∵点G为AB的中点，
∴菱形BEFG的边长为2，
即BE=EF=BG=2，
∵点E在CB的延长线上，∠GBE=60°，
∴∠FBG=30°，
连接EG，交BF于O，
∵四边形BEFG是菱形，
∴EG⊥FB，∠OBG=30°，OB=OF，
∴OG=BG=1，∴OB=OG=，
∴FB=2OB=2，
∵∠DBF=∠DBA+∠FBG=90°，
∴DF=，
∵点P为FD的中点，
∴PB=DF=．
故答案为：．
23．小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”如图，菱形中，，四边形是矩形，若，则矩形的面积为 ．
【答案】
【解析】过点A作于M，过点G作于N，连接GM，
四边形EFGH是矩形，
，
，
，，
四边形ABCD是菱形，，
，，，
，，
，，，
，，，
在和中，
，
≌，
同理：≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
24．已知，菱形ABCD（∠C＜90°）的对角线长分别为6和8，点E在边BC上，BE＝1，若点F在直线AB上，且AE＝DF，则BF的长为 .
【答案】 或6
【解析】如图：
设菱形ABCD的对角线相交于点O，
∵对角线长分别为6和8，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，
∴AB=5，
当点F在线段AB的延长线上时，
过点D作DG∥AE交BC的延长线于点G，
∵四边形ABCD为菱形，且BE＝1，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴四边形AEGD为平行四边形，
∴AD=EG，DG=AE，
∴CG=BE=1，
延长BA至F，使AF=CG，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠FAD=∠GCD，
∴△FAD≌△GCD，
∴AF=CG=1，DF=DG，
∴DF=AE，
此时BF=BA+AF=6；
当点F在线段AB上时，
过点D作DH⊥AB于点H，
由面积法得AB×DH= AC×BD，
∴DH= ，
由勾股定理得BH= ，
∵DF=DF1，
∴FH=HF1，
设BF1=x，
∴ (6-x)+x= ，
∴x= ，
∴BF1= ，综上，BF的长为 或6.
故答案为： 或6.
25．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．
【答案】（1）解：点F到边DC的距离是定值．
理由：连接GE
∵ ，
∴∠AEG＝∠MGE
∵ ，
∴∠HEG＝∠FGE
∴∠AEG－∠HEG＝∠MGE－∠FGE，即∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM＝HA＝1，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1．
（2）解：由题易知： ，
要使△FCG的面积有最小值，
则需CG最小，所以DG应最大，
在Rt△DHG中，当HG最大时，DG最大，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 的最小值 ，
即当 时，△FCG的面积最小值为 ．
26．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，S菱形ABCD＝60，点E从点B出发在边BC上向终点C运动．过点E作边BC的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
（1）如图1，点G在AC上．
①求证：FA＝FG；
②若点G是AC的中点，求证：BF＝FG；
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
【答案】（1）①证明：∵菱形ABCD，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵矩形EFGH，
∴FG∥EH，
∴∠EGA=∠BCA，
∴∠BAC=∠EGA，即∠FAG=∠EGA，
∴FA=FG；
②解：如图1，连接BG，
∵FG∥BC，G为AC中点，
∴FG为△ABC中位线，
∴F为AB的中点，
∵G为AC中点，BA=BC，
∴BG⊥AC，即∠BGA=90°，
∴FG=BF.
（2）解：如图2，点E在BC上运动，过点E作边BC的垂线EF交AD于点F，交AC于点O，在EF的右侧作矩形EFGH，再过点A作AM⊥BC于点M，
∵S菱形ABCD＝60，AB=10
∴S△ABC=30，BC＝10，
∴AM=6，
∴BM==8，
∴MC=2，
∵矩形EFGH，
∵AF∥EC，AM⊥ME，
∴四边形AMEF为矩形，
∴AF=ME，AF∥ME，
又∵∠AOF=∠COE，OA=OC，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=EC，
∴ME=EC=1，
∴AF=1，
又∵EF=FG，EF=AM=6，
∴AG=AF+FG=1+6=7.
27．如图1，直线分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为（－3，0），D为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E．
（1）点B的坐标为 ，不等式的解集为 ；
（2）若，求点D的坐标；
（3）如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°，连接AF、CF、AC，求证：CAF≌△CBD．
【答案】（1）（3，0）；x＜3
（2）解：当x＝0时， = ，
解得y＝．∴点A的坐标为（0，）
∵S△COE＝S△ADE∴S△AOB＝S△CBD，
即，yD＝332
当y＝332时， 3x+33=332，
∴x=32
∴D （32， 332）
（3）解：连接CF ，
AC∵∠CDF＝60°，
∴△CDF为等边三角形，
∵AB＝AC＝BC＝6
∴△ABC为等边三角形，
∴∠FCA=∠DCB，
∴△CAF≌△CBD（SAS）
【解析】（1）当y＝0时， ，解得x＝3．
∴点B的坐标为（3，0）观察图象可知，当x<3时，直线AB在x轴上方，
∴不等式的解集是x＜3故答案为：（3，0），x＜3
28．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求菱形的边长；
（2）求直线AC的解析式：
（3）如图2，动点P从点A出发，沿折线向终点C运动，过点P作轴交AC于点Q，设点P的横坐标为a，线段PQ的长度为l．
①求l与a之间的函数关系式；
②取OM的中点N，请问以P、Q、N、M四点构成的四边形能否成为平行四边形？如果能成为平行四边形，请求出点P点Q的坐标，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点A的坐标为，
∴AH＝5，OH＝12，
由勾股定理得：OA＝，
∴菱形的边长为13；
（2）解：∵菱形的边长为13，
∴OC＝13，
∴C（13，0），
设直线AC的解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
把A（－5，12），C（13，0）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：；
（3）解：∵轴，点P的横坐标为a，
∴Q（a，），
①当时，此时点P在AB上，P（a，12），
∴；
当时，此时点P在BC上，
∵B点坐标为（8，12），C点坐标为（13，0），
设直线BC的解析式为：y＝mx＋n（m≠0），
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
∴此时P（a，），
∴，
综上所述，；
②能；
在中，令x＝0，得，
∴OM＝，
∴MN＝OM＝，
∵PQ∥MN，
∴当PQ＝MN时，四边形PQNM为平行四边形，
当时，有，
解得：，
∴P（，12），Q（，）；
当时，有，
解得：，
∴P（，6），Q（，），
综上所述，P（，12），Q（，）或P（，6），Q（，）．
【直击中考】
29．（2022·巴中）如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
【答案】B
【解析】连接AC、DM、CM，由作法得MN垂直平分CD，
∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD，
∴AB=BC=AC，
∴ΔABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB=3，则CE=DE=，
∵∠D=60°，
∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°
在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意；
∵菱形ABCD
∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵AB∥CD，AB=2DE，
∴，所以D选项的结论正确，不符合题意.
故答案为：B.
30．（2022·湘西）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
【答案】C
【解析】∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴点O是BD的中点
∴BD=2OH=2×4=8，OD=OH=4；
∵ 菱形ABCD的面积为32，
∴S菱形ABCD=AC·BD=32=AC×8
解之：
∴OC=AC=
在Rt△COD中
.
故答案为：C.
31．（2022·西藏）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，
∵将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，
∴∠BAE=∠B'EA=50°，AB'=AB，
∴∠BAB'=100°，AB'=AD，
∴=20°，
∴==（180°-20°）÷2=80°.
故答案为：C.
32．（2021·衢州）如图.将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 得到菱形 ， .当AC平分 时， 与 满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形， ，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA= = ，
∵将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 得到菱形 ，
∴∠CAC′=∠BAB′= ，
∵AC平分 ，
∴∠B′AC=∠CAC= ，
∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2 = ，
∴ ，
故答案为：C.
33．（2022·鞍山）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图，取OD的中点H，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝AB＝1，BO＝＝DO，
∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，
∴FH＝AO＝，FHAO，
∴FH⊥BD，
∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，
∴OE＝，OH＝，
∴EH＝，
∴EF＝，
故答案为：．
34．（2021·金华）如图，菱形 的边长为 ， ，将该菱形沿AC方向平移 得到四边形 ， 交CD于点E，则点E到AC的距离为 .
【答案】2
【解析】∵∠BAD=60°，
∴连接对角线AC,BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD,
∴在Rt△ADO中，
利用勾股定理得
又∵AC=2AO,
∴AC= ，
由题可知 = ，
∴A’C= ;
由平移可知 =∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,
∴ =∠DCA，即 = =30°，
∴ 是等腰三角形；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示：
则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC= ,在Rt△ECF中， ,设EF=x，则EC=2x，
由勾股定理得：
，解得x=2，
故填：2.
35．（2013·衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是 ；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是 ．
【答案】20；
【解析】∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1=5，C1D1= AC=5 ，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20，
同理可得出：A3D3=5× ，C3D3= C1D1= ×5 ，
A5D5=5×（ ）2，C5D5= C3D3=（ ）2×5 ，
…
∴四边形A2013B2013C2013D2013的周长是： = ．
故答案为：20； ．
36．（2013·丽水）如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，则 = ．
【答案】
【解析】∵∠BAD=135°，∠EAG=75°，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，
∴∠B=180°﹣∠BAD=45°，∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°，
过点E作EM⊥AB于点M，设EM=x，
在Rt△AEM中，AE=2EM=2x，AM= x，
在Rt△BEM中，BM=x，
则 = = ．
故答案为： ．
37．（2018·遵义）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为 ．
【答案】2.8
【解析】作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG=EA，
由题意得，BD=DG+BG=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
设BE=x，则EG=AE=8﹣x，
在Rt△EHB中，BH= x，EH= x，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即（8﹣x）2=（ x）2+（6﹣x）2，
解得，x=2.8，即BE=2.8，
故答案为：2.8．
38．（2018·宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则EB的值为 。
【答案】-1
【解析】延长DM交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=2，AD∥BC，
∴∠ADM=∠H，
又∵M是AB的中点，
∴AM=BM=1，
在△ADM和△BHM中，
∵ ，
∴△ADM≌△BHM（AAS），
∴DM=HM，AD=BH=2，
∵EM⊥DM，
∴EH=ED，
设BE=x，
∴EH=ED=2+x，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠EAD=90°，
∴AE2=AB2-BE2=ED2-AD2，
即22-x2=（2+x）2-22，
化简得：x2+2x-2=0，
解得：x=-1，
故答案为：-1.
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